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1、辽宁省丹东市2019-2020 学年高二上学期期末质量监测试题数学一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1直线3x70 的倾斜角为A 0oB60oC90oD 120o2已知复数z满足(2 i)z 1i，则z的共轭复数-zA3515i B3515i C1535i D 1535i3在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3)，B(2，1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是A平行B垂直C异面D 相交但不垂直4已知F1，F2分别为双曲线C：x29y2161 的左右焦点，M是C上的一点，若|MF1|
2、7，则|MF2|A 13 B1 或 13 C15 D 1 或 15 5一个正四棱锥的侧面是正三角形，斜高为3，那么这个四棱锥体积为A43B423C83D 8236过点P(2，0)作圆x2y2 4xy 30 的切线，切点为Q，则|PQ|A 2 B3 C3 D 6 7已知正四面体OABC，M，N分别是OA，BC的中点，则MN与OB所成角为A 30oB45oC60oD 90o8已知点A(0，1)，而且F1是椭圆x29y251 的左焦点，点P是该椭圆上任意一点，则|PF1|PA|的最小值为A 65 B62 C62 D 65 二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。在每小题给出的四个
3、选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5 分，部分选对的得3 分，有选错的得0 分。9圆x2y24x10 A关于点(2，0)对称B关于直线y 0 对称C关于直线x3y20 对称D关于直线xy20 对称10正三棱柱ABCA1B1C1中，AA13AB，则AAC1与底面ABC的成角的正弦值为12BAC1与底面ABC的成角的正弦值为32CAC1与侧面AA1B1B的成角的正弦值为34DAC1与侧面AA1B1B的成角的正弦值为13411已知抛物线y22px(p0)上一点M到其准线及对称轴的距离分别为10 和 6，则p的值可取A 1 B 2 C 9 D 18 12如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD为
4、正三角形，平面ECD平面ABCD，M是线段ED的中点，则A直线BM，EN是相交直线B直线EN与直线AB所成角等于90oC直线EC与直线AB所成角等于直线EC与直线AD所成角D直线BM与平面ABCD所成角小于直线EN平面ABCD所成角三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。13复数z1i1i的模|z|14已知双曲线C：x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线方程为2xy0，则C的离心率为15已知曲线C的为x2m2y26m1，若C是椭圆，则m的取值范围为，若C是双曲线，则m的取值范围为（本题第一空2 分，第二空3 分）16设A，B，C，D是半径为4 的球O表面上的四点，ABC是
5、面积为93的等边三角形，当三棱锥DABC体积最大时，球心O到平面ABC的距离为，此时三棱锥DABC的体积为（本题第一空2 分，第二空3 分）四、解答题：本题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17（10 分）已知直线l经过点P(4，1)（1）若l与直线x 2y7 0 平行，求l的方程；（2）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程18（12 分）已知圆C过点A(6，0)和B(1，5)，且圆心在直线2x7y 80 上（1）求AB的垂直平分线的方程；（2）求圆C的方程19（12 分）如图，在直棱柱ABCA1B1C1中，ACBCCC1，ACBC，D，E分别是棱AB，AC上的
6、点，且BC平面A1DE（1）证明：DEB1C1；（2）若D为AB中点，求直线A1D与直线AC1所成角的余弦值20（12 分）设直线l：xy1 0 与抛物线y24x交于A，B两点，O为坐标原点（1）求OAOB的值；（2）求OAB的面积21（12 分）如图，已知ABCD是直角梯形，DABABC90o，SA垂直于平面ABCD，SAABBC 2，AD 1（1）求直线SC与平面SAD所成角的正弦值；（2）求平面SAB与平面SCD所成锐二面角的正切值22（12 分）已知斜率为k的直线l与椭圆C：x24y231交于A，B两点，若线段AB的中点为M(1，m)(m 0)（1）证明：k34m；（2）设F为C的右焦
7、点，P为C上一点，且FPFAFB0证明：|FA|，|FP|，|FB|成等差数列一、单项选择题1C 2D 3A 4A 5B 6C 7B 8A 二、多项选择题9 ABC 10 BC 11 BD 12 ABD 三、填空题131 1415(6，)，(2，6)162，18 四、解答题17解：（1）由条件可设l：x2yc0点P(4，1)代入可得c 6，所以l的方程为x2y60（4 分）（2）设直线l在x，y轴上的截距均为a若a0，则l过点(0，0)和(4，1)，故l的方程为y41x若a0，设l：axay1，点P(4，1)代入得 a4a11，a5l的方程为xy5 0综上可知，直线l的方程为y41x或xy50
8、（10 分）18解：（1）直线AB的斜率为 1，AB的中点坐标为(27，25)，所以AB的垂直平分线的斜率为1，其方程为yx1（6 分）（2）由垂径定理知圆心是直线yx1 与直线 2x7y80 的交点，解得圆心坐标C(3，2)圆的半径r|AC|，因此圆C的方程为(x3)2(y2)213（12 分）19解法 1：（1）如图，以C为坐标原点，CA的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Cxyz设ACBCCC12，CEa，则A(2，0，0)，D(a，a，0)，E(a，0，0)，A1(2，0，2)，B1(0，2，2)，C1(0，0，2)所以 DE(0，a，0)，B1C1(0，2，0)，所以 2 DEa
9、B1C1，DE 与 B1C1 共线因为DE?平面CBB1C1，所以DEB1C1（6 分）（2）因为D为AB中点，所以E为AC中点，故a1，于是 A1D(1，1，2)，AC1(2，0，2)所以 cos A1D，AC1 2022222 63，因此直线A1D与直线AC1所成角的余弦值为63（12 分）解法 2：（1）因为BC平面A1DE，BC?平面ABC，平面ABC平面A1DEDE，所以BCDE在直棱柱ABCA1B1C1中，BCB1C1，所以DEB1C1（6 分）（2）延长CA到F，使AFAC，连接A1F，BF则AFA1C1，AFA1C1，四边形A1C1 AF是平行四边形，所以AC1A1F故DA1F
10、直线A1D与直线AC1所成角设ACBCCC12，则A1F2，A1D因为D为AB中点，所以E为AC中点，故AE1因为ACBC，所以DEAC，因此DF在A1FD中，cosDA1F2 A1DA1FA1D 2 A1F2 DF 263所以直线A1D与直线AC1所成角的余弦值为63（12 分）20解法 1：（1）由y24x得x 4y2，代入xy10 得 4y2y1 0，20设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2 4，x1x2 4y12 4y221所以 OA OB x1x2y1y2 3（6 分）（2）由（1）知y1y24，因为抛物线y24x焦点F(1，0)在直线l上，所以|AB|x1x22 4y1
11、2 4y22 24y1 y222 y1y228O到直线l的距离为d22所以OAB的面积S 218222（12 分）解法 2：（1）同解法1（2）因为y1y24，所以|y1y2|4直线l与x轴交点为F(1，0)，|OF|1所以OAB的面积S21|OF|y1y2|2（12 分）21解法 1：（1）因为SABA，DABA，所以BA平面SAD，于是B到平面SAD的距离为BA2因为BCAD，所以C到平面SAD的距离等于B到平面SAD的距离等于2由题设SC2，所以直线SC与平面SAD所成角的正弦值为SCAB33（6 分）（2）延长BA，CD，设E点是它们的交点，连接SE，则所求二角角延展为二面角CBES因
12、为DABA，DASA，所以DA平面SAB在平面SAB内过A作AFSE于点F，连接DF，由三垂线定理得DFSE，于是AFD是二面角CBES的平面角由题设，AEABAS2，所以AF，所以tan AFD AFAD22故平面SAB与平面SCD所成二面角的正切值为22（12 分）解法 2：（1）如图，以A为坐标原点，AB的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Axyz由已知得A(0，0，0)，B(0，2，0)，C(2，2，0)，D(1，0，0)，S(0，0，2)，SC (2，2，2)平面SAD的一个法向量为AB(0，2，0)因为 cosSC，AB 0222022033，因此直线SC与平面SAD所成角的正弦
13、值为33（6 分）（2）设平面SCD的法向量为n(x，y，z)，DC(1，2，0)由 SC n0，DC n0 得x2y02x2y2z0，可取n(2，1，1)取平面SAB的法向量为AD(1，0，0)所以|cos AD，n|21|36所以|sin AD，n|33，|tan AD，n|22由图知平面SAB与平面SCD所成二面角锐二面角，所以其的正切值为22（12 分）22解：（1）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 3y12，3y22两式相减，并由x1x2y1y2得4x1x23y1y2k0由题设知x1x22，y1y2 2m，于是k 4m3（6 分）（2）由题意得F(1，0)设A(x3，y3)，则(x31，y3)(x21，y2)(x1 1，y1)(0，0)，故x1x2x33，y1y2y30因为x1x2 2，y1y22m，所以x31，y3 2m又点P在C上，所以m 43，从而P(1，23)，|FP|23于是|FA|4x12 2x12x12 2x1同理|FB|2 2x2所以|FA|FB|42x1x232|FP|因此|FA|，|FP|，|FB|成等差数列（12 分）