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1、第 45 练分类讨论思想思想方法解读分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略.1.中学数学中可能引起分类讨论的因素：(1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等.(2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列an的前 n 项和公式等.(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单
2、调性、基本不等式等.(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等.(5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等.2.进行分类讨论要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论.其中最重要的一条是“不重不漏”.3.解答分类讨论问题时的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不重不漏、分类互斥(没有重复)；再对所分类逐步进行讨论，分级
3、进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论.体验高考1.(2015山东)设函数 f(x)3x1，x1，2x，x 1，则满足 f(f(a)2f(a)的 a 的取值范围是()A.23，1B.0，1C.23，D.1，)答案C解析由 f(f(a)2f(a)得，f(a)1.当 a1 时，有 3a1 1，a23，23a0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则()A.对任意的a，b，e1e2B.当 ab 时，e1e2；当 ab 时，e1e2C.对任意的a，b，e1b 时，e1e2；当 ae2答案D解析由题意 e1a2b2a21ba2；双曲线 C2的实半轴长为am，虚半轴长为bm，离心率 e
4、2a m2 bm2am21bmam2.因为bmambam aba am，且 a0，b0，m0，ab，所以当 ab 时，m aba am0，即b ma mba.又bmam0，ba0，所以由不等式的性质依次可得bmam2ba2，1bmam21ba2，所以1bmam21ba2，即 e2e1；同理，当ab 时，m aba am0，可推得e2b 时，e1e2；当 ae2.3.(2015天津)已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的左焦点为F(c，0)，离心率为33，点 M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆 x2y2b24截得的线段的长为c，|FM|433.(1)求直线 FM 的斜率；(2)求椭圆的方
5、程；(3)设动点 P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线 OP(O 为原点)的斜率的取值范围.解(1)由已知有c2a213，又由 a2b2c2，可得 a23c2，b2 2c2.设直线 FM 的斜率为k(k0)，F(c，0)，则直线FM 的方程为yk(xc).由已知，有kck2 12c22b22，解得 k33.(2)由(1)得椭圆方程为x23c2y22c21，直线 FM 的方程为y33(xc)，两个方程联立，消去y，整理得3x22cx 5c20，解得 x53c，或 xc.因为点 M 在第一象限，可得点M 的坐标为c，233c.由|FM|cc22 33c 02433.解得 c 1，所以椭圆
6、的方程为x23y22 1.(3)设点 P 的坐标为(x，y)，直线 FP 的斜率为t，得 tyx1，即 y t(x1)(x1).与椭圆方程联立，yt x1，x23y221，消去 y，整理得2x23t2(x1)26，又由已知，得t62x23 x122，解得32x 1 或 1x0.设直线 OP 的斜率为m，得 myx，即 ymx(x0)，与椭圆方程联立，整理得m22x223.当 x 32，1 时，有 y t(x1)0，因此 m0，于是 m2x223，得 m23，2 33.当 x(1，0)时，有 yt(x1)0，因此 m0，于是 m2x223，得 m ，2 33.综上，直线OP 的斜率的取值范围是，
7、2 3323，233.高考必会题型题型一由概念、公式、法则、计算性质引起的分类讨论例 1设集合 A xR|x24x0，BxR|x22(a1)xa210，aR，若 B?A，求实数 a 的取值范围.解A 0，4，B?A，于是可分为以下几种情况.(1)当 AB 时，B0，4，由根与系数的关系，得2 a1 4，a2 10，解得 a1.(2)当 BA 时，又可分为两种情况.当 B?时，即 B0 或 B4，当 x0 时，有 a1；当 x 4 时，有 a7 或 a1.又由 4(a1)24(a21)0，解得 a 1，此时 B0 满足条件；当 B?时，4(a1)2 4(a2 1)0，解得 a1.综合(1)(2)
8、知，所求实数a 的取值范围为a1 或 a1.点评对概念、公式、法则的内含及应用条件的准确把握是解题关键，在本题中，B?A，包括 B?和 B?两种情况.解答时就应分两种情况讨论，在关于指数、对数的运算中，底数的取值范围是进行讨论时首先要考虑的因素.变式训练1已知数列 an的前 n 项和 Sn pn1(p 是常数)，则数列 an 是()A.等差数列B.等比数列C.等差数列或等比数列D.以上都不对答案D解析Snpn1，a1p1，anSnSn1(p1)pn1(n2)，当 p1 且 p0 时，an是等比数列；当 p1 时，an 是等差数列；当 p0 时，a1 1，an0(n2)，此时 an 既不是等差数
9、列也不是等比数列.题型二分类讨论在含参函数中的应用例 2已知函数f(x)x22ax1a 在 x0，1上有最大值2，求 a 的值.解函数 f(x)x22ax1 a(xa)2a2a1，对称轴方程为xa.(1)当 a1 时，f(x)maxf(1)a，a2.综上可知，a 1 或 a2.点评本题中函数的定义域是确定的，二次函数的对称轴是不确定的，二次函数的最值问题与对称轴息息相关，因此需要对对称轴进行讨论，分对称轴在区间内和对称轴在区间外，从而确定函数在给定区间上的单调性，即可表示函数的最大值，从而求出a 的值.变式训练2已知函数f(x)2exax2(xR，aR).(1)当 a1 时，求曲线yf(x)在
10、 x1 处的切线方程；(2)求 x0 时，若不等式f(x)0 恒成立，求实数a 的取值范围.解(1)当 a1 时，f(x)2ex x2，f(x)2ex1，f(1)2e1，即曲线 yf(x)在 x1 处的切线的斜率k2e1，又 f(1)2e3，所以所求的切线方程是y(2e1)x2.(2)易知 f(x)2exa.若 a0，则 f(x)0 恒成立，f(x)在 R 上单调递增；若 a0，则当 x(，ln a2)时，f(x)0，f(x)单调递增.又 f(0)0，所以若a0，则当 x 0，)时，f(x)f(0)0，符合题意.若 a0，则当 ln a20，即 00，即 a2，则当 x(0，ln a2)时，f
11、(x)单调递减，f(x)f(0)0，不符合题意.综上，实数a 的取值范围是(，2.题型三根据图形位置或形状分类讨论例 3在约束条件x0，y0，yxs，y2x4下，当 3s5 时，z 3x2y 的最大值的变化范围是()A.6，15 B.7，15 C.6，8 D.7，8答案D解析由xys，y2x4?x4s，y2s 4，取点 A(2，0)，B(4 s，2s4)，C(0，s)，C(0，4).当 3 s4 时，可行域是四边形OABC(含边界)，如图(1)所示，此时，7zmax|PF2|，|PF14，|PF2 2，|PF1|PF22.综上知，|PF1|PF272或 2.高考题型精练1.若关于 x 的方程|
12、ax1|2a(a0 且 a1)有两个不等实根，则a 的取值范围是()A.(0，1)(1，)B.(0，1)C.(1，)D.0，12答案D解析方程|ax1|2a(a0 且 a1)有两个实数根转化为函数y|ax 1|与 y 2a 有两个交点.当 0a1 时，如图(1)，02a1，即 0a1 时，如图(2)，而 y2a1 不符合要求.综上，0a0 时，要使zyax 取得最大值的最优解不唯一，则a 2；当 a0)的焦点为F，P 为其上的一点，O 为坐标原点，若OPF 为等腰三角形，则这样的点P 的个数为()A.2 B.3 C.4 D.6答案C解析当|PO|PF|时，点 P 在线段 OF 的中垂线上，此时
13、，点 P 的位置有两个；当|OP|OF|时，点 P 的位置也有两个；对|FO|FP|的情形，点P 不存在.事实上，F(p，0)，若设 P(x，y)，则|FO|p，|FP|x p2y2，若xp2y2p，则有 x22pxy20，又y24px，x22px0，解得 x0 或 x 2p，当 x0 时，不构成三角形.当 x 2p(p0)时，与点P 在抛物线上矛盾.符合要求的点P 一共有 4 个.4.函数 f(x)log21x，x1，2x，x1的值域为 _.答案(，2)解析当 x1 时，f(x)log21x 是单调递减的，此时，函数的值域为(，0；当 x1 时，f(x)2x是单调递增的，此时，函数的值域为(
14、0，2).综上，f(x)的值域是(，2).5.已知集合Ax|1x5，C x|axa3.若 CAC，则 a 的取值范围是_.答案(，1解析因为 CAC，所以 C?A.当 C?时，满足C?A，此时 aa3，得 a32；当 C?时，要使C?A，则aa3，a1，a 35，解得32a1.综上，a 的取值范围是(，1.6.已知函数f(x)x2ax3a，若 x2，2时，f(x)0 恒成立，求a 的取值范围.解要使 f(x)0 恒成立，则函数在区间2，2上的最小值不小于0，设 f(x)的最小值为g(a).(1)当a24 时，g(a)f(2)73a0，得 a73，故此时a 不存在.(2)当a2 2，2，即 4a
15、4 时，g(a)f a2 3aa240，得 6a2，又 4a4，故 4a2.(3)当a22，即 a4 时，g(a)f(2)7a0，得 a 7，又 a4，故 7a4，综上得 7 a2.7.已知 ax2(a1)x10，求不等式的解集.解若 a0，原不等式等价于x11.若 a0，解得 x1.若 a0，原不等式等价于(x1a)(x1)0.当 a 1时，1a 1，(x1a)(x1)1 时，1a1，解(x1a)(x1)0 得1ax1；当 0a1，解(x1a)(x1)0 得 1x1a.综上所述：当a0 时，解集为 x|x1；当 a0 时，解集为 x|x1；当 0a1 时，解集为 x|1x1 时，解集为 x|
16、1ax1.8.已知首项为32的等比数列 an不是递减数列，其前n 项和为 Sn(nN*)，且 S3a3，S5a5，S4a4成等差数列.(1)求数列 an的通项公式；(2)设 TnSn1Sn(nN*)，求数列 Tn的最大项的值与最小项的值.解(1)设等比数列 an 的公比为 q，因为 S3a3，S5a5，S4a4成等差数列，所以 S5a5S3a3S4a4S5a5，即 4a5a3，于是 q2a5a314.又 an 不是递减数列且a132，所以 q12.故等比数列 an的通项公式为an32 12n1(1)n132n.(2)由(1)得 Sn112n112n，n为奇数，112n，n为偶数.当 n 为奇数
17、时，Sn随 n 的增大而减小，所以 1SnS132，故 0Sn1SnS11S1322356.当 n 为偶数时，Sn随 n 的增大而增大，所以34S2SnSn1SnS21S23443712.综上，对于nN*，总有712Sn1Sn56.所以数列 Tn 最大项的值为56，最小项的值为712.9.已知函数f(x)x2axaex，其中 a 为常数，a2.(1)当 a1 时，求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)是否存在实数a，使 f(x)的极大值为2？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.解(1)a 1，f(x)x2x1ex，f(0)1，f(x)2x1 exexx2x1e2xx2xex
18、x x1ex，f(0)0，则曲线在(0，f(0)处的切线方程为y1.(2)f(x)2xa exexx2ax ae2x xx 2aex，f(x)0 的根为 0，2a，a2，2a 0，当 a2 时，f(x)x2ex0，f(x)在(，)内递减，无极值；当 a0，f(x)在(，0)，(2a，)内递减，在(0，2a)内递增；f(2a)(4a)ea2为 f(x)的极大值，令 u(a)(4a)ea2(a0，u(a)在 a(，2)上递增，u(a)0)，当 a0 时，f(x)0 时，由 f(x)0 得 0 xa，由 f(x)a，f(x)递增区间为(0，a)，递减区间为(a，).(2)由(1)知：当 a 0 时，f(x)在(0，)上为减函数，而 f(1)0，f(x)0 在区间 x(0，)上不可能恒成立；当 a0 时，f(x)在(0，a)上递增，在(a，)上递减，f(x)maxf(a)aln aa1，令 g(a)aln aa1，依题意有g(a)0，而 g(a)ln a，且 a0，g(a)在(0，1)上递减，在(1，)上递增，g(a)ming(1)0，故 a 1.