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1、第 44 练数形结合思想思想方法解读数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决.数形结合的思想
2、，其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合.如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的.体验高考1.(2015北京)如图，函数f(x)的图象为折线ACB
3、，则不等式f(x)log2(x 1)的解集是()A.x|1 x0 B.x|1x1 C.x|1x 1 D.x|1x2答案C解析令 g(x)ylog2(x1)，作出函数g(x)的图象如图.由x y2，y log2x 1，得x1，y1.结合图象知不等式f(x)log2(x 1)的解集为 x|1x1.2.已知f(x)2x1，g(x)1x2，规定：当|f(x)|g(x)时，h(x)|f(x)|；当|f(x)|g(x)时，h(x)g(x)，则 h(x)()A.有最小值 1，最大值1B.有最大值1，无最小值C.有最小值 1，无最大值D.有最大值 1，无最小值答案C解 析由 题意 得，利 用平 移 变化 的知
4、 识 画出 函数|f(x)|，g(x)的 图 象 如图，而h(x)|f x|，|f x|g xg x，|f x|1 时，f(x)3x2a1 xa.作出 f(x)的大致图象如图所示，由函数f(x)的图象可知f(a)5，即 a15，a4.同理，当a1 时，a15，a 6.高考必会题型题型一数形结合在方程根的个数中的应用例 1方程 sin xx4的解的个数是()A.5 B.6 C.7 D.8答案C解析在同一平面直角坐标系中画出y1sin x 和 y2x4的图象，如下图：观察图象可知y1 sin x 和 y2x4的图象在第一象限有3 个交点，根据对称性可知，在第三象限也有3 个交点，在加上原点，共7
5、个交点，所以方程sin xx4有 7 个解.点评利用数形结合求方程解应注意两点(1)讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性，否则会得到错解.(2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合.变式训练1若函数f(x)xx1 kx2，x0，ln x，x0有且只有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是()A.(4，0)B.(，0 C.(4，0 D.(，0)答案B解析当 x0 时，f(x)ln x 与 x 轴有一个交点，即 f(x)有一个零点.依题意，显然当x0
6、 时，f(x)xx1kx2也有一个零点，即方程xx1kx20 只能有一个解.令 h(x)xx1，g(x)kx2，则两函数图象在x 0 时只能有一个交点.若 k0，显然函数h(x)xx1与 g(x)kx2在 x0 时有两个交点，即点 A 与原点 O(如图所示).显然 k0 不符合题意.若 k0，显然函数h(x)xx1与 g(x)kx2在 x0 时只有一个交点，即原点O(如图所示).若 k0，显然函数h(x)xx1与 g(x)kx2在 x0 时只有一个交点，即原点O.综上，所求实数k 的取值范围是(，0.故选 B.题型二利用数形结合解决不等式函数问题例 2已知函数f(x)2x，x2，x13，x2，
7、若关于 x 的方程 f(x)k 有两个不等的实根，则实数k 的取值范围是 _.答案(0，1)解析当 x2 时，f(x)2x，此时 f(x)在 2，)上单调递减，且0f(x)1.当 x2 时，f(x)(x1)3，此时 f(x)过点(1，0)，(0，1)，且在(，2)上单调递增.当 x2 时，f(x)1.如图所示作出函数yf(x)的图象，由图可得f(x)在(，2)上单调递增且f(x)1，f(x)在2，)上单调递减且0f(x)1，故当且仅当0k1 时，关于 x 的方程 f(x)k有两个不等的实根，即实数 k 的取值范围是(0，1).点评利用数形结合解不等式或求参数的方法求参数范围或解不等式问题经常联
8、系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题，往往可以避免烦琐的运算，获得简捷的解答.变式训练2若存在正数x 使 2x(xa)0，所以由2x(xa)1 得 xa0 时的图象，如图.当 x0 时，g(x)2x0，使 2x(xa)1，则有 f(0)1，即 a1，所以选 D.题型三利用数形结合求最值例 3已知 a，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(ac)(bc)0，则|c|的最大值是()A.1 B.2 C.2 D.22答案C解析如图，设OAa，OB b，OCc，则 CAac，CBbc.由题意知 CA CB，
9、O、A、C、B 四点共圆.当 OC 为圆的直径时，|c|最大，此时，|OC|2.点评利用数形结合求最值的方法步骤第一步：分析数理特征，确定目标问题的几何意义.一般从图形结构、图形的几何意义分析代数式是否具有几何意义.第二步：转化为几何问题.第三步：解决几何问题.第四步：回归代数问题.第五步：回顾反思.应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：(1)比值 可考虑直线的斜率；(2)二元一次式 可考虑直线的截距；(3)根式分式 可考虑点到直线的距离；(4)根式 可考虑两点间的距离.变式训练3已知圆 C：(x3)2(y4)21 和两点 A(m，0)，B(m，0)(m0)，
10、若圆 C 上存在点 P，使得 APB 90，则 m 的最大值为()A.7 B.6 C.5 D.4答案B解析根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心 C 的坐标为(3，4)，半径 r1，且|AB|2m.因为 APB90，连接 OP，易知|OP|12|AB|m.要求 m 的最大值，即求圆 C 上的点 P 到原点 O 的最大距离.因为|OC|32425，所以|OP|max|OC|r6，即 m 的最大值为6.高考题型精练1.若过点 A(4，0)的直线 l 与曲线(x 2)2y21 有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是()A.3，3 B.(3，3)C.33，33 D.(33，33)答案C解析设直线方程
11、为y k(x4)，即 kxy4k0，直线 l 与曲线(x2)2y2 1 有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径，即 d|2k4k|k211，得 4k2k21，k213.所以33k33.2.已知 f(x)|xex|，又 g(x)f2(x)t f(x)(tR)，若满足 g(x)1 的 x 有四个，则 t 的取值范围为()A.(e21e，)B.(，e21e)C.(e21e，2)D.(2，e21e)答案B解析依题意 g(x)f2(x)t f(x)1，即 t1f2xf x f(x)1f x 2，可排除 A，C，D.也可以画出函数f(x)1f x图象如下图所示，要有四个交点，则选B.3.已知函数f(x)满
12、足下列关系：f(x1)f(x1)；当 x 1，1时，f(x)x2，则方程 f(x)lg x 解的个数是()A.5 B.7 C.9 D.10答案C解析由题意可知，f(x)是以 2 为周期，值域为0，1的函数.又 f(x)lg x，则 x(0，10，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数.由图象可知共9 个交点.4.设函数f(x)是定义在R 上的偶函数，对任意xR，都有f(x)f(x4)，且当x2，0时，f(x)(12)x1，若在区间(2，6内关于 x 的方程 f(x)loga(x2)0(a1)恰有三个不同的实数根，则a 的取值范围是()A.(3，2)B.(34，2)C.34，2)D.(34，2答
13、案B解析作出 f(x)在区间(2，6上的图象，可知 loga(22)3?34a2，选 B.5.若方程 xk1x2有且只有一个解，则k 的取值范围是()A.1，1)B.k 2 C.1，1 D.k2或 k1，1)答案D解析令 y1xk，y21x2，则 x2y221(y0).作出图象如图，在 y1xk 中，k 是直线的纵截距，由图知：方程有一个解?直线与上述半圆只有一个公共点?k2或 1k1.6.已知函数f(x)|4xx2|a，当函数有4 个零点时，则a 的取值范围是 _.答案(0，4)解析函数 f(x)|4xx2|a 有 4 个零点，方程|4xx2|a 有 4 个不同的解.令 g(x)|4xx2|
14、4 x22，0 x4，x224，x4.作出 g(x)的图象，如图，由图象可以看出，当h(x)a 与 g(x)有 4 个交点时，0a4，a 的取值范围为(0，4).7.设 f(x)|lg(x1)|，若 0a2ab(由于 a4.8.已知函数y|x21|x1的图象与函数ykx2 的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是_.答案(0，1)(1，4)解析根据绝对值的意义，y|x21|x1x1 x1或x1，x1 1x1.在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示.根据图象可知，当 0k1 或 1k4 时有两个交点.9.已知实数x，y 满足x2y50，x1，y0，x2y30，则yx的最大值为 _.答案
15、2解析画出不等式组x2y50，x1，y0，x2y 30，对应的平面区域(含边界)为图中的四边形ABCD，yxy 0 x 0表示平面区域上的点 P(x，y)与原点的连线的斜率，显然OA 的斜率最大.10.给出下列命题：在区间(0，)上，函数 yx1，yx21，y(x1)2，yx3中有三个是增函数；若logm3logn30，则 0nm1；若函数f(x)是奇函数，则f(x1)的图象关于点(1，0)对称；若函数f(x)3x 2x3，则方程 f(x)0 有两个实数根，其中正确的命题是_.答案解析对于，在区间(0，)上，只有 yx21，yx3是增函数，所以 错误.对于，由 logm3logn30，可得1log3m1log3n0，即 log3nlog3m0，所以 0nm1，所以 正确.易知 正确.对于，方程 f(x)0即为 3x2x30，变形得 3x2x3，令 y1 3x，y22x3，在同一坐标系中作出这两个函数的图象，如图.由图象可知，两个函数图象有两个交点，所以正确.