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1、第 31 练椭圆问题中最值得关注的基本题型题型分析 高考展望 椭圆问题在高考中占有比较重要的地位，并且占的分值也较多.分析历年的高考试题，在选择题、填空题、解答题中都有涉及到椭圆的题，所以我们对椭圆知识必须系统的掌握.对各种题型，基本的解题方法也要有一定的了解.体验高考1.(2015广东)已知椭圆x225y2m21(m0)的左焦点为F1(4，0)，则 m 等于()A.2 B.3 C.4 D.9答案B解析由题意知25m216，解得 m29，又 m0，所以 m3.2.(2015福建)已知椭圆E：x2a2y2b2 1(ab0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线 l：3x 4y0 交椭圆 E 于
2、A，B 两点.若|AF|BF|4，点 M 到直线 l 的距离不小于45，则椭圆 E的离心率的取值范围是()A.0，32B.0，34C.32，1D.34，1答案A解析设左焦点为F0，连接 F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形.|AF|BF|4，|AF|AF0|4，a2.设 M(0，b)，则4b545，1b2.离心率 ecac2a2a2 b2a24 b240，32，故选 A.3.(2016课标全国丙)已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左焦点，A，B分别为 C 的左，右顶点.P 为椭圆 C 上一点，且PFx 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点M
3、，与 y 轴交于点E.若直线 BM 经过 OE 的中点，则椭圆C 的离心率为()A.13B.12C.23D.34答案A解析设 M(c，m)，则 E 0，ama c，OE 的中点为 D，则 D 0，am2 ac，又 B，D，M 三点共线，所以m2 acma c，a3c，e13.4.(2015浙江)已知椭圆x22 y2 1 上两个不同的点A，B 关于直线 ymx12对称.(1)求实数 m 的取值范围；(2)求 AOB 面积的最大值(O 为坐标原点).解(1)由题意知 m0，可设直线 AB 的方程为y1mxb.由x22y2 1，y1mxb消去 y，得121m2x22bmxb210.因为直线y1mxb
4、 与椭圆x22y21 有两个不同的交点，所以 2b224m20，将线段 AB 中点 M2mbm22，m2bm22代入直线方程ymx12，解得 bm222m2，由 得 m63或 m63.(2)令 t1m 62，0 0，62，则|AB|t212t42t232t212，且 O 到直线 AB 的距离为dt212t2 1.设 AOB 的面积为S(t)，所以 S(t)12|AB|d122 t2122222.当且仅当t212时，等号成立.故 AOB 面积的最大值为22.5.(2016北京)已知椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为32，A(a，0)，B(0，b)，O(0，0)，OAB 的面积为1.(
5、1)求椭圆 C 的方程；(2)设 P 是椭圆 C 上一点，直线 P A 与 y 轴交于点M，直线 PB 与 x 轴交于点 N.求证：|AN|BM|为定值.(1)解由已知ca32，12ab 1.又 a2b2c2，解得 a2，b1，c3.椭圆 C 的方程为x24y21.(2)证明由(1)知，A(2，0)，B(0，1).设椭圆上一点P(x0，y0)，则x204y201.当 x00 时，直线PA 方程为 yy0 x02(x2)，令 x0 得 yM2y0 x02.从而|BM|1yM|12y0 x02.直线 PB 方程为 yy01x0 x1，令 y0 得 xNx0y01.|AN|2xN|2x0y01.|A
6、N|BM|2x0y0112y0 x02x02y02y01x02y02x02x204y204x0y04x08y04x0y0 x02y0 24x0y04x08y08x0y0 x02y02 4.当 x00 时，y0 1，|BM|2，|AN|2，|AN|BM|4.故|AN|BM|为定值.高考必会题型题型一利用椭圆的几何性质解题例 1如图，焦点在x 轴上的椭圆x24y2b21 的离心率e12，F，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，求PF PA的最大值和最小值.解设 P 点坐标为(x0，y0).由题意知 a2，eca12，c1，b2a2c23.所求椭圆方程为x24y231.2x02，3
7、y03.又 F(1，0)，A(2，0)，PF(1x0，y0)，PA(2x0，y0)，PF PA x20 x02y2014x20 x0114(x02)2.当 x02 时，PF PA取得最小值0，当 x0 2 时，PF P A取得最大值4.点评熟练掌握椭圆的几何性质是解决此类问题的根本，利用离心率和椭圆的范围可以求解范围问题、最值问题，利用a、b、c 之间的关系和椭圆的对称性可构造方程.变式训练1如图，F1、F2分别是椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，A 是椭圆 C 的顶点，B 是直线 AF2与椭圆 C 的另一个交点，F1AF260.(1)求椭圆 C 的离心率；(2)若 AF1B
8、的面积为403，求椭圆C 的方程.解(1)由题意可知，AF1F2为等边三角形，a2c，所以 e12.(2)方法一a24c2，b23c2，直线 AB 的方程可为y3(xc)，将其代入椭圆方程3x24y212c2，得 B(85c，335c)，所以|AB|13|85c0|165c，由1AF BS12|AF1|AB|sin F1AB12a85a322 35a2403，解得 a 10，b 5 3，所以椭圆C 的方程为x2100y2751.方法二设|AB|t，因为|AF2|a，所以|BF2|ta，由椭圆定义|BF1|BF2|2a 可知，|BF1|3at，再由余弦定理(3at)2a2t22atcos 60
9、可得，t85a，由1AF BS12|AF1|AB|sin F1AB12a85a322 35a2403知，a10，b5 3，所以椭圆 C 的方程为x2100y2751.题型二直线与椭圆相交问题例 2(2015 课标全国)已知椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为22，点(2，2)在 C 上.(1)求椭圆 C 的方程；(2)直线 l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点A，B，线段 AB 的中点为M，证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.(1)解由题意得a2 b2a22，4a22b21，解得 a28，b24.所以椭圆 C 的方程为x28y241.(2)证明设直
10、线 l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM).将 ykx b 代入x28y241，得(2k21)x2 4kbx2b2 80.故 xMx1x222kb2k21，yMk xMbb2k21.于是直线 OM 的斜率 kOMyMxM12k，即 kOM k12.所以直线 OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.点评解决直线与椭圆相交问题的一般思路：将直线方程与椭圆方程联立，转化为一元二次方程，由判别式范围或根与系数的关系解决.求范围或最值问题，也可考虑求“交点”，由“交点”在椭圆内(外)，得出不等式，解不等式.变式训练2椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心
11、率为32，且过其右焦点F 与长轴垂直的直线被椭圆 C 截得的弦长为2.(1)求椭圆 C 的方程；(2)设点 P 是椭圆C 的一个动点，直线l：y34x32与椭圆C 交于 A，B 两点，求 P AB面积的最大值.解(1)椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为32，eca32，2c3a，即 4c23a2，又 过椭圆右焦点F 与长轴垂直的直线被椭圆C 截得的弦长为2，c2a21b2 1，34a2a21b21，即 b24，又 a2b2c2，a2b2 c2434a2，即 a2 16，椭圆 C 的方程为x216y241.(2)联立直线l：y34x32与椭圆 C 的方程，得y34x32，x216y
12、241消去 y，整理可得7x212x 520，即(7x26)(x 2)0，解得 x2 或 x267，不妨设 A(2，3)，B(267，337)，则|AB|226723337210719，设过 P 点且与直线l 平行的直线L 的方程为 y34xC，L 与 l 的距离就是P 点到 AB 的距离，即 PAB 的边 AB 上的高，只要L 与椭圆相切，就有 L 与边 AB 的最大距离，即得最大面积.将 y34xC 代入x216y241，消元整理可得：7x28 3Cx16C2640，令判别式 (83C)247(16C264)256C228640，解得 C 2864256 7.L 与 AB 的最大距离为|7
13、32|3421219 27319，PAB 面积的最大值为12107192 19 2 7319107(273).题型三利用“点差法，设而不求思想”解题例 3已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的一个顶点为B(0，4)，离心率 e55，直线 l 交椭圆于M，N 两点.(1)若直线 l 的方程为yx4，求弦|MN|的长；(2)如果 BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线 l 方程的一般式.解(1)由已知得b 4，且ca55，即c2a215，a2b2a215，解得 a220，椭圆方程为x220y2161.则 4x25y280 与 yx4 联立，消去 y 得 9x240 x 0，x10，x2409，
14、所求弦长|MN|112|x2x1|40 29.(2)如图，椭圆右焦点F 的坐标为(2，0)，设线段MN 的中点为 Q(x0，y0)，由三角形重心的性质知BF2FQ，又 B(0，4)，(2，4)2(x02，y0)，故得 x03，y0 2，即得 Q 的坐标为(3，2).设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1x26，y1 y2 4，且x2120y21161，x2220y22161，以上两式相减得x1x2x1x220y1y2y1y2160，kMNy1y2x1x245x1x2y1y2456 465，故直线 MN 的方程为y 265(x3)，即 6x5y280.点评当涉及平行弦的中点轨迹，过定点
15、的弦的中点轨迹，过定点且被定点平分的弦所在直线方程时，用“点差法”来求解.变式训练3已知椭圆x2a2y2b21(ab0)，焦点在直线x2y20 上，且离心率为12.(1)求椭圆方程；(2)过 P(3，1)作直线 l 与椭圆交于A，B 两点，P 为线段 AB 的中点，求直线l 的方程.解(1)椭圆x2a2y2b2 1(ab0)，焦点在直线x2y20 上，令 y 0，得焦点(2，0)，c2，离心率 eca12，2a12，解得 a 4，b2 164 12，椭圆方程为x216y2121.(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，过 P(3，1)作直线 l 与椭圆交于A，B 两点，P 为线段 AB
16、的中点，由题意，x1x26，y1y22，x2116y21121，x2216y22121，x2x1x2x116y2y1y2y112 0，kly2y1x2x194，l 的方程为y194(x3)，即 9x4y310.高考题型精练1.(2016课标全国乙)直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为()A.13B.12C.23D.34答案B解析如图，由题意得，BFa，OFc，OBb，OD142b12b.在 RtOFB 中，|OF|OB|BF|OD|，即 cba12b，代入解得a24c2，故椭圆离心率eca12，故选 B.2.已知椭圆x29y251，
17、F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点A(1，1)为椭圆内一点，点P 为椭圆上一点，则|PA|PF1|的最大值是()A.6 B.62 2 C.62 D.62答案D解析|PA|PF1|PA|2a|PF2|2a|AF2|62，当 P，A，F2共线时取最大值，故选D.3.已知椭圆x29y251 的右焦点为F，P 是椭圆上一点，点A(0，2 3)，当 APF 的周长最大时，直线 AP 的方程为()A.y33x23 B.y33x2 3C.y3x23 D.y3x23答案D解析椭圆x29y251 中 a3，b5，ca2b22，由题意，设F是左焦点，则 APF 周长|AF|AP|PF|AF|AP|2a|PF|4
18、6|PA|PF|10|AF|(A，P，F三点共线，且P 在 AF的延长线上时，取等号)，直线 AP 的方程为x2y231，即 y3x23，故选 D.4.如果椭圆x236y291 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是()A.x2y0B.x2y40C.2x 3y140D.x2y80答案D解析设这条弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，斜率为 k，则x2136y2191，x2236y2291，两式相减再变形得x1 x236 ky1y290，又弦中点坐标为(4，2)，故 k12，故这条弦所在的直线方程为y212(x 4)，整理得 x2y8 0，故选 D.5.设 F1、F2分别是椭
19、圆C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，点P 在椭圆 C 上，线段PF1的中点在 y 轴上，若 PF1F2 30，则椭圆的离心率为()A.33B.36C.13D.16答案A解析线段 PF1的中点在y 轴上，设 P 的横坐标为x，F1(c，0)，cx0，xc，P 与 F2的横坐标相等，PF2x 轴，PF1F2 30，|PF2|12|PF1|，|PF2|PF1|2a，|PF2|23a，tan PF1F2|PF2|F1F2|2a32c33，ac3，eca33.6.过点 M(0，1)的直线 l 交椭圆 C：x24y231 于 A，B 两点，F1为椭圆的左焦点，当ABF1周长最大时，直线l 的方
20、程为 _.答案xy10解析设右焦点为F2(1，0)，则|AF1|4|AF2|，|BF1|4|BF2|，所以|AF1|BF1|AB|8|AB|(|AF2|BF2|)，显然|AF2|BF2|AB|，当且仅当 A，B，F2共线时等号成立，所以当直线l 过点 F2时，ABF1的周长取最大值8，此时直线方程为y x1，即 xy 10.7.(2016江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x2a2y2b21(ab0)的右焦点，直线 yb2与椭圆交于B，C 两点，且 BFC90，则该椭圆的离心率是_.答案63解析联立方程组x2a2y2b21，yb2，解得 B、C 两点坐标为B 32a，b2，C32
21、a，b2，又 F(c，0)，则FB 32ac，b2，FC32ac，b2，又由 BFC90，可得 FB FC0，代入坐标可得：c234a2b240，又因为 b2a2c2.代入 式可化简为c2a223，则椭圆离心率为eca2363.8.P 为椭圆x29y281 上的任意一点，AB 为圆 C：(x1)2y21 的任一条直径，则PA PB的取值范围是 _.答案3，15解析圆心 C(1，0)为椭圆的右焦点，PA PB(PCCA)(PCCB)(PCCA)(PCCA)PC2CA2|PC|21，显然|PC|ac，ac2，4，所以 PA PB|PC|213，15.9.设椭圆的中心为原点O，焦点在x轴上，上顶点为
22、A(0，2)，离心率为255.(1)求该椭圆的标准方程；(2)设 B1(2，0)，B2(2，0)，过 B1作直线l 交椭圆于P，Q 两点，使PB2QB2，求直线l的方程.解(1)设椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0)，ca255，1b2a245，即b2a215，又 b24，a220，椭圆的标准方程为x220y241.(2)由题意知直线l 的倾斜角不为0，故可设直线l 的方程为：xmy2.代入椭圆方程得(m25)y24my160，设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 y1y24mm25，y1 y216m25，又B2P(x12，y1)，B2Q(x22，y2)，所以 B2P B2Q(x
23、12)(x2 2)y1y2(my14)(my24)y1y2(m21)y1y24m(y1y2)1616 m2 1m2516m2m251616m264m25，由 PB2QB2得B2P B2Q0，即 16m264 0，解得 m2，直线 l 的方程为x2 y2，即 x2 y 20.10.(2016课标全国乙)设圆 x2 y2 2x150 的圆心为A，直线 l 过点 B(1，0)且与 x 轴不重合，l 交圆 A 于 C，D 两点，过点B 作 AC 的平行线交AD 于点 E.(1)证明|EA|EB|为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点 E 的轨迹为曲线C1，直线 l 交 C1于 M，N 两点，过点B
24、 且与 l 垂直的直线与圆A 交于 P，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.解(1)因为|AD|AC|，EBAC，故EBD ACDADC，所以|EB|ED|，故|EA|EB|EA|ED|AD|.又圆 A 的标准方程为(x1)2y216，从而|AD|4，所以|EA|EB|4.由题设得 A(1，0)，B(1，0)，|AB|2，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：x24y231(y0).(2)当 l 与 x 轴不垂直时，设l 的方程为yk(x1)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2).由yk x1，x24y231得(4k23)x28k2x4k2120.则 x1x28k24k23，x1x2
25、4k2124k23，所以|MN|1 k2|x1x2|12 k2 14k23.过点 B(1，0)且与 l 垂直的直线m：y1k(x1)，点 A 到 m 的距离为2k21，所以|PQ|2422k2 1244k23k21.故四边形MPNQ 的面积 S12|MN|PQ|12114k23.可得当 l 与 x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为(12，8 3).当 l 与 x 轴垂直时，其方程为x1，|MN|3，|PQ|8，四边形MPNQ 的面积为12.综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为12，8 3).11.(2015安徽)设椭圆 E 的方程为x2a2y2b21(ab0)，点 O 为坐标原点
26、，点 A 的坐标为(a，0)，点 B 的坐标为(0，b)，点 M 在线段 AB 上，满足|BM|2|MA|，直线 OM 的斜率为510.(1)求椭圆 E 的离心率e；(2)设点 C 的坐标为(0，b)，N 为线段 AC 的中点，证明：MN AB.(1)解由题设条件知，点M 的坐标为2a3，b3，又 kOM510，从而b2a510.进而 a5b，ca2b2 2b，故 eca2 55.(2)证明由 N 是 AC 的中点知，点N 的坐标为a2，b2，可得 NMa6，5b6，又AB(a，b)，从而有 AB NM16a256b216(5b2 a2).由(1)的计算结果可知a25b2，所以 AB NM0，故 MNAB.