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1、第 39 练概率的两类模型题型分析 高考展望 概率是高中数学的重要内容，也是高考的必考知识点.在高考中，概率部分的命题主要有三个方面的特点：一是以古典概型的概率公式为考查对象，二是以几何概型的概率公式为考查对象，三是古典概型与其他知识相交汇，题目多以选择题或填空题的形式出现.体验高考1.(2015课标全国)如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3 个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5 中任取 3 个不同的数，则这3 个数构成一组勾股数的概率为()A.310B.15C.110D.120答案C解析从 1，2，3，4，5 中任取 3 个不同的数共有如下10 个不同的结果：(1
2、，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，其中勾股数只有(3，4，5)，所以概率为110.故选 C.2.(2015山东)在区间 0，2上随机地取一个数x，则事件“1log21x121”发生的概率为()A.34B.23C.13D.14答案A解析由 1log21x121，得12x12 2，0 x32.由几何概型的概率计算公式得所求概率P3202034.3.(2015福建)如图，矩形ABCD 中，点 A 在 x 轴上，点B 的坐标为(1，0)，且点 C 与点 D在函数 f(x)x1，x0
3、，12x1，x0的图象上.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于()A.16B.14C.38D.12答案B解析由图形知C(1，2)，D(2，2)，S四边形ABCD6，S阴123132.P32614.4.(2016课标全国乙)某公司的班车在7：00，8：00，8：30 发车，小明在7：50 至 8：30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10 分钟的概率是()A.13B.12C.23D.34答案B解析如图所示，画出时间轴：小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或 DB 时，才能保证他等车的时间不超过10
4、 分钟，根据几何概型得所求概率P10104012，故选 B.5.(2016天津)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为()A.56B.25C.16D.13答案A解析事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件，所以甲不输的概率为121356.高考必会题型题型一古典概型问题例 1(1)(2016 课标全国丙)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N 中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5 中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是()A.815B.18C.115D.130答案C解析第一位是M，I，N 中的一个字
5、母，第二位是1，2，3，4，5 中的一个数字，所以总的基本事件的个数为15，密码正确只有一种，概率为115，故选 C.(2)某班级的某一小组有6 位学生，其中 4 位男生，2 位女生，现从中选取2 位学生参加班级志愿者小组，求下列事件的概率：选取的2 位学生都是男生；选取的2 位学生一位是男生，另一位是女生.解设 4 位男生的编号分别为1，2，3，4，2 位女生的编号分别为5，6.从 6 位学生中任取 2 位学生的所有可能结果为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，
6、(5，6)，共 15 种.从 6 位学生中任取2 位学生，所取的 2 位全是男生的方法数，即从 4 位男生中任取2 个的方法数，共有6 种，即(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4).所以选取的2 位学生全是男生的概率为P161525.从 6 位学生中任取2 位，其中一位是男生，而另一位是女生，其取法包括(1，5)，(1，6)，(2，5)，(2，6)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，共 8 种.所以选取的2 位学生一位是男生，另一位是女生的概率为P2815.点评求解古典概型问题的三个步骤(1)判断本次试验的结果是不是等可能的，设出所求事件A.(2)
7、分别计算基本事件的总数n 和所求事件A 所包含的基本事件的个数m.(3)利用古典概型的概率公式P(A)mn求出事件A 的概率.若直接求解比较困难，则可以利用间接的方法，如逆向思维，先求其对立事件的概率，进而再求所求事件的概率.变式训练1(2016 北京)从甲，乙等5 名学生中随机选出2 人，则甲被选中的概率为()A.15B.25C.825D.925答案B解析从甲，乙等5 名学生中随机选2 人共有 10 种情况，甲被选中有4 种情况，则甲被选中的概率为41025.题型二几何概型问题例 2(1)设不等式组0 x2，0y2表示的平面区域为D，在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2
8、的概率是()A.4B.22C.6D.44(2)在区间 0，内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)x22axb2有零点的概率为()A.78B.34C.12D.14答案(1)D(2)B解析(1)如图所示，正方形 OABC 及其内部为不等式组表示的区域D，且区域D 的面积为4，而阴影部分表示的是区域 D 内到坐标原点的距离大于2 的区域.易知该阴影部分的面积为4.因此满足条件的概率是4 4，所以选D.(2)所求概率为几何概型，测度为面积，则 4a24b24 0?a2b2得所求概率为1142234.点评(1)几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验，如果一个随机试验有无限多个等可能的
9、基本结果，每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示，而所有基本结果对应于一个区域，这时，与试验有关的问题即可利用几何概型来解决.(2)几何概型的概率求解，一般要将问题转化为长度、面积或体积等几何问题.在转化中，面积问题的求解常常用到线性规划知识，也就是用二元一次不等式(或其他简单不等式)组表示区域.几何概型的试验中事件A 的概率 P(A)只与其所表示的区域的几何度量(长度、面积或体积)有关，而与区域的位置和形状无关.变式训练2(1)已知 P 是 ABC 所在平面内一点，PBPC2PA0，现将一粒黄豆随机撒在 ABC 内，则黄豆落在PBC 内的概率是()A.14B.13C.23D.1
10、2(2)如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为 _.答案(1)D(2)2e2解析(1)由PBPC2PA0，可得 PBPC 2P A，由向量加法的几何意义可知点P 在 ABC 的中线 AD 上，且 PBPCPE，如图所示，由共线向量定理知PE2PD 2P A，所以 PD PA，所以 P 为 AD 的中点，所以 PBC 的面积是 ABC 面积的12，根据几何概型可知黄豆落在PBC 内的概率是PSPBCSABC12，故选 D.(2)由题意知，所给图中两阴影部分面积相等，故阴影部分面积为S201(eex)dx2(exex)102ee(01)2.又该正
11、方形面积为e2，故由几何概型的概率公式可得所求概率为2e2.高考题型精练1.从 1，2，3，4 中任取 2 个不同的数，则取出的2 个数之差的绝对值为2 的概率是()A.12B.13C.14D.16答案B解析从 1，2，3，4 中任取 2 个不同的数共有6(种)不同取法，其中取出的2 个数之差的绝对值为 2 的有 2 种不同取法，故所求概率为2613，选 B.2.(2015广东)袋中共有15 个除了颜色外完全相同的球，其中有10 个白球，5 个红球.从袋中任取 2 个球，所取的2 个球中恰有1 个白球，1 个红球的概率为()A.521B.1021C.1121D.1答案B解析从袋中任取2 个球共
12、有C215105(种)取法，其中恰好1 个白球 1 个红球共有C110C1550(种)取法，所以所取的球恰好1 个白球 1 个红球的概率为501051021.3.(2016课标全国甲)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15 秒才出现绿灯的概率为()A.710B.58C.38D.310答案B解析至少需要等待15 秒才出现绿灯的概率为40154058，故选 B.4.在区间 0，10内随机取出两个数，则这两个数的平方和在区间0，10内的概率为()A.40B.1010C.110D.4答案A解析设这两个数为x，y，则 0 x10
13、，0y10，构成一个正方形，面积为102，这两个数的平方和x2y20，10，在正方形中形成的阴影面积为104，因此所求概率为10410240，选 A.5.设 a1，4，b1，4，现随机地抽出一对有序实数对(a，b)使得函数f(x)4x2a2与函数 g(x)4 bx 的图象有交点的概率为()A.527B.516C.554D.19答案A解析因为 a1，4，b1，4，所以(a，b)所在区域面积为9，f(x)4x2 a2与函数 g(x)4 bx 的图象有交点，等价于 4x2 4 bxa20 有解，即是 b a2，此时(a，b)所在区域如图阴影部分，其面积为312(a21)da3(13a3a)2153，
14、由几何概型概率公式得到函数f(x)4x2a2与函数 g(x)4bx 的图象有交点的概率为539527，故选 A.6.一只蚂蚁在三边长分别为3，4，5 的三角形的内部爬行，某时间该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1 的概率为()A.62B.612C.112D.212答案C解析因为三角形的面积为12346，离三角形的三个顶点的距离不超过1 的面积为12 122，所以某时间该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1 的概率 P626112，故选 C.7.(2016四川)从 2、3、8、9 任取两个不同的数字，分别记为a，b，则 logab 为整数的概率是_.答案16解析从 2、3、8、9 任取两个
15、数分别为记为(a，b)，则有(2，3)，(3，2)，(2，8)，(8，2)，(2，9)，(9，2)，(3，8)，(8，3)，(3，9)，(9，3)，(8，9)，(9，8)，共有 12 种情况，其中符合 logab 为整数的有log3 9 和 log2 8 两种情况，所以P21216.8.若袋中 5 个外形相同的小球，其中红球2 个，白球3个，现从中任取2 个球，则取出的球中有红球的概率为_.答案710解析5 个外形相同的小球，记其中的2 个红球为1，2，3 个白球为a，b，c.从中任取2 个球，共有10 种可能的结果，其中没有红球有3 种可能的结果.所以有红球的概率为1310710.9.(20
16、16上海)某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为_.答案16解析甲同学从四种水果中选两种，选法有C24种，乙同学的选法有C24种.两同学相同的选法有 C24种，由古典概型概率计算公式可得，甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为C24C24C2416.10.一个三位自然数abc 的百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当ab且 cb时称为“凹数”.若a，b，c4，5，6，7，8，且 a，b，c 互不相同，任取一个三位数abc，则它为“凹数”的概率是_.答案13解析根据题意，当且仅当ab且 cb 是称为“凹数”，在 4，5，6，7，
17、8的 5 个整数中任取 3 个不同的数组成三位数，有A3560(种)取法，在 4，5，6，7，8中任取 3 个不同的数组成“凹数”有以下 3 种取法，将4 放在十位上，再排2 个数排在百、个位上，有A2412(种)；将 5 放在十位上，再排2 个数排在百、个位上，有A236(种)；将 6 放在十位上，再排 2 个数排在百、个位上，有A222(种)；根据分类加法计数原理，可得共有126220(种)，所以构成“凹数”的概率为206013.11.甲、乙、丙三人组成一组，参加一个闯关游戏团体赛，三人各自独立闯关，其中甲闯关成功的概率为13，甲、乙都闯关成功的概率为16，乙、丙闯关成功的概率为15，每人
18、闯关成功得 2 分，三人得分之和记为小组团体总分.(1)求乙、丙各自闯关成功的概率；(2)求团体总分为4 分的概率；(3)若团体总分不小于4 分，则小组可参加复赛，求该小组可参加复赛的概率.解记甲、乙、丙三人各自独立闯关成功的事件依次为A、B、C，则由已知条件得P(A)13，P(A B)16，P(B C)15.(1)P(A B)P(A)P(B)，P(B)12.同理，P(C)25.(2)每人闯关成功记2 分，要使团体总分为4分，则需要两人闯关成功，两人都闯关成功的概率P1231225131225131235310，即团体总分为4 分的概率P1310.(3)团体总分不小于4 分，则团体总分可能为4
19、 分，可能为6 分，团体总分为6 分，需要三人都闯关成功，三人闯关都成功的概率P2131225115.由(2)知团体总分为4 分的概率P1310，团体总分不小于4 分的概率 PP1P23101151130.12.如图是一个方形迷宫，甲、乙两人分别位于迷宫的A、B 两处，两人同时以每一分钟一格的速度向东、西、南、北四个方向行走，已知甲向东、西行走的概率都为14，向南、北行走的概率为13和 p，乙向东、西、南、北四个方向行走的概率均为q.(1)求 p 和 q 的值；(2)问最少几分钟，甲乙二人相遇？并求出最短时间内可以相遇的概率.解(1)141413p1，p16，又 4q1，q14.(2)最少需要2 分钟，甲乙二人可以相遇(如图，在C、D、E 三处相遇).设在 C、D、E 三处相遇的概率分别为pC、pD、pE，则 pC(1616)(1414)13616，pD 2(1614)2(1414)1616，pE(1414)(1414)11616，pCpDpE132(1181318)372 304，即所求的概率为372 304.