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1、第 13 练必考题型 导数与单调性题型分析 高考展望 利用导数研究函数单调性是高考每年必考内容，多以综合题中某一问的形式考查，题目承载形式多种多样，但其实质都是通过求导判断导数符号，确定单调性.题目难度为中等偏上，一般都在最后两道压轴题上，这是二轮复习的得分点，应高度重视.体验高考1.(2015福建)若定义在R 上的函数f(x)满足 f(0)1，其导函数f(x)满足 f(x)k1，则下列结论中一定错误的是()A.f1k1kB.f1k1k1C.f1k11k1D.f1k1kk 1答案C解析由已知条件，构造函数g(x)f(x)kx，则 g(x)f(x)k0，故函数g(x)在 R 上单调递增，且1k1
2、 0，故 g(1k1)g(0)，所以 f(1k1)kk1 1，f(1k1)1k1，所以结论中一定错误的是C，选项 D 无法判断；构造函数h(x)f(x)x，则 h(x)f(x)10，所以函数h(x)在 R 上单调递增，且1k0，所以 h(1k)h(0)，即 f(1k)1k 1，f(1k)1k1，选项 A，B 无法判断，故选C.2.(2015课标全国)设函数 f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当 x0 时，xf(x)f(x)0，则使得f(x)0 成立的 x 的取值范围是()A.(，1)(0，1)B.(1，0)(1，)C.(，1)(1，0)D.(0，1)(1，)答案A解析记函数
3、 g(x)f xx，则 g(x)xf x f xx2，因为当 x0 时，xf(x)f(x)0，故当 x 0 时，g(x)0，所以 g(x)在(0，)单调递减；又因为函数f(x)(xR)是奇函数，故函数 g(x)是偶函数，所以 g(x)在(，0)单调递增，且g(1)g(1)0.当 0 x1 时，g(x)0，则 f(x)0；当 x 1 时，g(x)0，则 f(x)0.综上所述，使得f(x)0 成立的 x 的取值范围是(，1)(0，1)，故选 A.3.(2016浙江)设函数 f(x)x311x，x0，1.证明：(1)f(x)1xx2；(2)34f(x)32.证明(1)因为 1xx2x31 x41 x
4、1x41x，由于 x 0，1，有1 x41x1x1，即 1xx2x31x1，所以 f(x)1xx2.(2)由 0 x1 得 x3x，故 f(x)x31x1x1x1x1x13232x1 2x 12 x13232，所以 f(x)32.由(1)得 f(x)1xx2 x1223434，又因为 f12192434，所以 f(x)34.综上，34f(x)32.4.(2016课标全国乙)已知函数f(x)(x2)exa(x1)2.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)若 f(x)有两个零点，求a 的取值范围.解(1)f(x)(x1)ex2a(x1)(x1)(ex2a).()设 a0，则当 x(，1)时，f(x)
5、0.所以 f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增.()设 ae2，则 ln(2a)0；当 x(ln(2a)，1)时，f(x)0.所以 f(x)在(，ln(2a)，(1，)上单调递增，在(ln(2a)，1)上单调递减.若 a1，故当 x(，1)(ln(2a)，)时，f(x)0；当 x(1，ln(2a)时，f(x)0，则由(1)知，f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增.又 f(1)e，f(2)a，取 b 满足 b0 且 ba2(b2)a(b1)2a b232b 0，所以 f(x)有两个零点.()设 a0，则 f(x)(x2)ex，所以 f(x)只有一个零点.()设 a0，
6、若 a e2，则由(1)知，f(x)在(1，)上单调递增.又当 x1 时，f(x)0，故 f(x)不存在两个零点；若ae2，则由(1)知，f(x)在(1，ln(2a)单调递减，在(ln(2a)，)上单调递增.又当 x1 时 f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；解不等式f(x)0，得 0 x1；由 f(x)1.故函数 f(x)的单调增区间是(0，1)，单调减区间是(1，).(2)f(x)3a4x1x.若函数 f(x)在区间 1，2上为单调函数，则f(x)0 或 f(x)0 在区间1，2上恒成立.于是 3a4x1x0 或 3a4x1x 0 在区间 1，2上恒成立，即 3a4x1x或 3
7、a 4x1x在区间1，2上恒成立.令 h(x)4x1x，则 h(x)在区间 1，2上是增函数.因此 h(x)maxh(2)152，h(x)minh(1)3.即 3a152或 3a3，故 a52或 a 1.所以 a 的取值范围为52，(，1.点评已知函数yf(x)在区间(a，b)的单调性，求参数的取值范围的方法(1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集.(2)转化为不等式的恒成立问题求解：即“若函数单调递增，则f(x)0 恒成立；若函数单调递减，则f(x)0”恒成立.变式训练2设函数 f(x)13x3a2x2 bxc，曲线 yf(x)在点(
8、0，f(0)处的切线方程为y1.(1)求 b，c 的值；(2)若 a0，求函数f(x)的单调区间；(3)设函数 g(x)f(x)2x，且 g(x)在区间(2，1)内存在单调递减区间，求实数 a 的取值范围.解(1)f(x)x2axb，由题意得f 0 1，f 0 0，即c1，b0.(2)由(1)得，f(x)x2ax x(xa)(a0)，当 x(，0)时，f(x)0；当 x(0，a)时，f(x)0.所以函数f(x)的单调递增区间为(，0)，(a，)，单调递减区间为(0，a).(3)g(x)x2ax2，依题意，存在x(2，1)，使不等式g(x)x2ax 20 成立，即 x(2，1)时，a(x2x)m
9、ax 22，当且仅当x2x即 x2时等号成立.所以满足要求的a 的取值范围是(，22).题型三与函数导数、单调性有关的图象问题例 3已知函数y xf(x)的图象如图所示(其中 f(x)是函数 f(x)的导函数)，下面四个图象中，yf(x)的图象可能是()答案B解析由函数 y xf(x)的图象知，x0，f(x)为增函数；1x0 时，f(x)0，f(x)为减函数；0 x1 时，f(x)1 时，f(x)0，f(x)为增函数.故选项 B的图象符合.点评利用导数判断图象，应先分清原函数图象与导函数图象；看导函数图象，要看哪一部分大于 0，哪一部分小于0，看原函数图象要看单调性.变式训练3设函数 f(x)
10、在 R 上可导，其导函数为f(x)，且函数f(x)在 x 2 处取得极小值，则函数yxf(x)的图象可能是()答案C解析由函数 f(x)在 x 2 处取得极小值，可得 f(2)0，且当 x(a，2)(a 2)时，f(x)单调递减，即f(x)0；当 x(2，b)(b 2)时，f(x)单调递增，即f(x)0.所以函数yxf(x)在区间(a，2)(a 2)内的函数值为正，在区间(2，b)(2b 0)内的函数值为负，由此可排除选项A，B，D.高考题型精练1.函数 f(x)(x 3)ex的单调递增区间是()A.(，2)B.(0，3)C.(1，4)D.(2，)答案D解析函数 f(x)(x3)ex的导数为f
11、(x)(x3)ex ex(x3)ex(x2)ex.由函数导数与函数单调性的关系，得当f(x)0 时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f(x)(x2)ex0，解得 x2.2.若函数 f(x)2x33mx26x 在区间(2，)上为增函数，则实数m 的取值范围为()A.(，2)B.(，2 C.(，52)D.(，52答案D解析f(x)6x26mx6，当 x(2，)时，f(x)0 恒成立，即 x2mx10 恒成立，m x1x恒成立.令 g(x)x1x，g(x)11x2，当 x2 时，g(x)0，即 g(x)在(2，)上单调递增，m21252，故选 D.3.设 f(x)是函数 f(x)的导函数，yf(x
12、)的图象如图所示，则 yf(x)的图象最有可能是()答案C解析由 yf(x)的图象易知当x 0 或 x2 时，f(x)0，故函数yf(x)在区间(，0)和(2，)上单调递增；当0 x2 时，f(x)0，故函数yf(x)在区间(0，2)上单调递减.4.定义在R 上的函数f(x)满足：f(x)f(x)恒成立，若x1e2xf(x1)B.e1xf(x2)0，所以 g(x)单调递增，当 x1x2时，g(x1)g(x2)，即f x1e1xe2xf(x1).5.已知函数f(x)的导函数 f(x)的图象如图所示，那么函数f(x)的图象最有可能是()答案A解析由导函数图象可知，f(x)在(，2)，(0，)上单调
13、递减，在(2，0)上单调递增，故选 A.6.(2016课标全国乙)若函数 f(x)x13sin 2xasin x 在(，)单调递增，则 a 的取值范围是()A.1，1B.1，13C.13，13D.1，13答案C解析方法一(特殊值法)不妨取 a 1，则 f(x)x13sin 2xsin x，f(x)123cos 2xcos x，但 f(0)1231230，不具备在(，)上单调递增的条件，排除A，B，D.故选 C.方法二(综合法)函数 f(x)x13sin 2xasin x 在(，)上单调递增，f(x)123cos 2xacos x123(2cos2x1)acos x43cos2xacos x53
14、0，即 acos x43cos2x53在(，)恒成立.当 cos x0 时，恒有053，得 aR；当 0cos x1 时，得 a43cos x53cos x，令 t cos x，f(t)43t53t在(0，1上为增函数，得 af(1)13；当 1cos x0，解得 x3.当 x2 时，g(x)0，g(x)x2x6 在(，2)上为减函数.函数 ylog2x223bxc3的单调递减区间为(，2).9.若函数 f(x)13x312x22ax 在23，)上存在单调递增区间，则a 的取值范围是_.答案(19，)解析对 f(x)求导，得 f(x)x2x2a x122142a.当 x23，)时，f(x)的最
15、大值为f(23)292a，令292a0，解得 a19.所以 a 的取值范围是(19，).10.已知函数y f(x1)的图象关于点(1，0)对称，且当x(，0)时，f(x)xf(x)0成立(其中 f(x)是 f(x)的导函数)，若 a30.3 f(30.3)，blog3 f(log3)，clog319 f log319，则 a，b，c 从大到小的次序为_.答案cab解析因为当 x(，0)时，f(x)xf(x)0 成立，所以 y(xf(x)0 在(，0)上成立，所以函数yxf(x)在(，0)上单调递减.因为函数yf(x1)的图象关于点(1，0)对称，所以函数yf(x)关于原点对称，所以函数yf(x
16、)是奇函数，所以函数yxf(x)是偶函数，且在(0，)上单调递增.又 30.31log30log319 2，2 log31930.31log30，所以 log319flog31930.3f(30.3)log3 f(log3)，又 log319flog319log319 f log319，所以 log319 f log31930.3 f(30.3)log3 f(log3)，即 cab.11.已知函数f(x)ln xaxa1x1.(1)当 a1 时，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)当12 a0 时，讨论f(x)的单调性.解(1)当 a1 时，f(x)ln xx2x1，此时 f
17、(x)1x12x2，f(2)121241.又因为 f(2)ln 22221ln 22，所以切线方程为y(ln 2 2)x2，整理得 xyln 20.(2)f(x)1xa1ax2ax2xa1x2axa1x1x2(x0).当 a0 时，f(x)x1x2.此时，在(0，1)上，f(x)0，f(x)单调递增.当12a0 时，f(x)a xa1ax1x2.当1aa1，即 a12时，f(x)x122x20 在(0，)上恒成立，所以f(x)在(0，)上单调递减.当12a1，此时在(0，1)或 1aa，上，f(x)0，f(x)单调递增.综上，当a0 时，f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增；当
18、12af(x)32对于任意的x1，2成立.(1)解f(x)的定义域为(0，)，f(x)aax2x22x3ax22 x1x3.当 a0 时，x(0，1)时，f(x)0，f(x)单调递增，x(1，)时，f(x)0 时，f(x)a x 1x3x2ax2a.0a1，当 x(0，1)或 x2a，时，f(x)0，f(x)单调递增；当 x1，2a时，f(x)2 时，02a0，f(x)单调递增；当 x2a，1 时，f(x)0，f(x)单调递减.综上所述，当a0 时，f(x)在(0，1)内单调递增，在(1，)内单调递减；当 0a2 时，f(x)在0，2a内单调递增，在2a，1 内单调递减，在(1，)内单调递增.(2)证明由(1)知，a 1时，f(x)f(x)xln x2x 1x2 11x2x22x3xln x3x1x22x31，x1，2.设 g(x)xln x，h(x)3x1x22x31，x1，2，则 f(x)f(x)g(x)h(x).由 g(x)x 1x0，可得 g(x)g(1)1，当且仅当x1 时取得等号.又 h(x)3x2 2x6x4.设 (x)3x2 2x6，则 (x)在 x1，2内单调递减.因为 (1)1，(2)10，所以?x0(1，2)，使得 x(1，x0)时，(x)0，x(x0，2)时，(x)g(1)h(2)32，即 f(x)f(x)32对于任意的x1，2成立.