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1、集合与函数概念 1.31.3函数的基本性函数的基本性质质1.3.31.3.3函数的奇偶性函数的奇偶性1结合具体函数，了解函数奇偶性的含义2会运用函数图象理解和研究函数的性质基础梳理基础梳理1奇偶性定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(x)f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(x)f(x)，则称f(x)为偶函数如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数例如：判断下列函数的奇偶性：yx2；yx3；yx2x；y0.2由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定
2、义域内的任意一个x，则x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)例 如：若 奇 函 数 f(x)的 定 义 域 为 p，q，则 p q_.偶函数 奇函数 非奇非偶函数 既是奇函数又是偶函数0 思考应用思考应用1奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性是否一致？偶函数呢？解析：奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性一致，而偶函数刚好相反2若函数f(x)满足f(1)f(1)，能否判断函数f(x)为偶函数？解析：不能，由定义可知，必须是定义域内任意x都有f(x)f(x)，不能用特殊性代替任意性自测自评自测自评1奇函数f(x)图象一定过原点吗？答答案案：当f(0)有意义时，由f(0)f(
3、0)得：f(0)0;当f(0)没有意义时，如函数f(x)，它的图象不过原点2函数y是偶函数吗？为什么？答案：答案：不是；因为定义域不关于原点对称.3设函数f(x)x|xa|b是奇函数，求实数a，b的值解析：因为函数f(x)x|xa|b为奇函数，所以f(0)0，f(a)f(a)0，解得ab0.判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性 判断下列函数是否具有奇偶性(1)f(x)xx3x5；(2)f(x)x21；(3)f(x)x1；(4)f(x)x2，x1,3分析：先求定义域，再判断f(x)与f(x)的关系解析：(1)函数f(x)xx3x5的定义域为R.当xR，xR.f(x)xx3x5(xx3x5)f(x)f
4、(x)xx3x5为奇函数(2)函数f(x)x21的定义域为R，当xR，xR.f(x)(x)21x21f(x)，f(x)x21是偶函数(3)函数f(x)x1的定义域是R，当xR时，xR，f(x)x1(x1)，f(x)(x1)，f(x)f(x)且f(x)f(x)，(xR)f(x)x1既不是奇函数，也不是偶函数(4)因为函数的定义域关于原点不对称，存在31,3，而3 1,3f(x)x2，x1,3既不是偶函数，也不是奇函数点评：定义域关于原点对称是函数具备奇偶性的前提跟踪训练跟踪训练解析：(1)函数的定义域为(，)，关于原点对称，因为f(x)|x1|x1|x1|x1|(|x1|x1|)f(x)所以f(
5、x)是奇函数(2)由于 0，得1x1，其定义域不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数(3)f(x)的定义域是(，0)(0，)，关于原点对称，当x0时，x0，f(x)1(x)1xf(x)；当x0时，x0，f(x)1(x)1xf(x)综上可知，对于x(，0)(0，)，都有f(x)f(x)，所以f(x)为偶函数奇偶函数的图象及应用奇偶函数的图象及应用 (1)奇函数yf(x)(xR)的图象必过点()A(a，f(a)B(a，f(a)C(a，f(a)D.(2)设偶函数f(x)的定义域为5,5，若当x0,5时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)0的解集是_解析：(1)根据奇函数图象的特征
6、：奇函数的图象关于原点对称，知点(a，f(a)在其图象上，则它关于原点的对称点(a，f(a)也必在其图象上(2)由于偶函数的图象关于y轴对称，所以可根据对称性确定不等式f(x)0的解当x0,5时，f(x)0的解为2x5，所以当x5,0时，f(x)0的解为5x2.f(x)0的解集是x|5x2或2x5答案：(1)C(2)x|5x2或2x5跟踪训练跟踪训练2偶函数f(x)(xR)满足：f(4)f(1)0，且在区间0,3与3，)上分别递减和递增，使f(x)0的自变量范围是()A(，4)(4，)B(4，1)(1,4)C(，4)(1,0)D(，4)(1,0)(1,4)解析：根据题目条件，想象函数图象如下：
7、答案：B利用函数的奇偶性求函数的解析式利用函数的奇偶性求函数的解析式 已知函数f(x)是定义在(，)上的偶函数，当x(，0)时，f(x)xx4，求当x(0，)时，f(x)的表达式解析：当x(0，)时，x(，0)，因为x(，0)时，f(x)xx4，所以f(x)(x)(x)4xx4，因为f(x)是定义在(，)上的偶函数，所以f(x)f(x)，所以f(x)xx4.跟踪训练跟踪训练3若f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x(1x)，求当x0时，函数f(x)的解析式分析：将x0上，这是解决本题的关键解析：由f(x)是奇函数，当x0时，f(x)f(x)(x)1(x)x(1x)；当x0时，f(0
8、)f(0)，即f(0)0.当x0时，f(x)x(1x)一、选择填空题1已知f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)的值为()A1 B0 C1 D无法确定解析：f(x)为R上的奇函数，f(x)f(x)，f(0)f(0)，f(0)0.答案：B2设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)2x3，则f(2)()C 1利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：(1)首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；(2)确定f(x)与f(x)的关系；(3)作出相应结论2若f(x)f(x)或 f(x)f(x)0，则f(x)是偶函数3若f(x)f(x)或 f(x)f(x)0，则f(x)是奇函数4函数是奇函数或是偶函数称为函数有奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质5由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)6奇函数在其对称区间上的单调性相同、函数值相反7偶函数在其对称区间上的单调性相反、函数值相同8设f(x)，g(x)有公共的定义域，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇祝您