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1、一元二次方程的解法一元二次方程的解法本节内容2.22.2.12.2.1 配方法配方法动脑筋动脑筋如何解本章如何解本章2.1节节“动脑筋动脑筋”中的方程中的方程：x2-2500=0？把方程把方程写成写成 x2=2500.因此，原方程的解为因此，原方程的解为=-50.=50，这表明这表明x是是2500的平方根，根据平方根的意义，得的平方根，根据平方根的意义，得x=或或 x=，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根根.对于实际问题中的方程对于实际问题中的方程而言，而言，x2=-=-50 不合题意，不合题意，应当舍去应当舍去而而 =50符合题意，因此该圆的半径为符合
2、题意，因此该圆的半径为50cm.举举例例例例1解方程：解方程：4x2-25=0.根据平方根的意义，根据平方根的意义，得得 或或x=x=原方程可化为原方程可化为 x2解解因此，因此，原方程的根为原方程的根为4x2-25=0.动脑筋动脑筋 如何解方程如何解方程(1+x)2=81?若把若把1+x看作一个整体，则由看作一个整体，则由(1+x)2=81，得得1+x=或或1+x=，即即1+x=9或或1+x=-9解得解得 =8，=-10.例例2 2解方程：解方程：（2x+1）2=2.举举例例（2x+1）2=2解解根据平方根的意义，得根据平方根的意义，得 或或 因此，原方程的根为因此，原方程的根为（2x+1）
3、2=2 通过通过“降次降次”，将一个一元二次方程将一个一元二次方程转化为两个一元一次转化为两个一元一次方程方程.做一做做一做解方程：解方程：1.解下列方程：解下列方程：（1）；（2）；（3）（4）练习练习（1）；解解移项，得移项，得所以所以因此，原方程的根为因此，原方程的根为（2）；解解移项，得移项，得因此，原方程的根为因此，原方程的根为（3）因此，原方程的根为因此，原方程的根为所以所以 或或解解移项，得移项，得（4）原方程可化为原方程可化为解解因此，原方程的根为因此，原方程的根为所以所以或或（古代数学问题）（古代数学问题）直田七亩半，忘了长和短直田七亩半，忘了长和短.记得立契时，长阔争一半记
4、得立契时，长阔争一半.今问俊明公，此法如何算今问俊明公，此法如何算.意思是：有一块面积为意思是：有一块面积为7亩半的长方形田，忘了亩半的长方形田，忘了长与宽各是多少长与宽各是多少.只记得在立契约的时候说过，宽是只记得在立契约的时候说过，宽是长的一半长的一半.现在请你帮他算出它的长和宽各是多少步现在请你帮他算出它的长和宽各是多少步.（1亩亩=240平方步平方步2）2.所以所以所以所以即长方形田的宽是即长方形田的宽是30步，长是步，长是60步步.解解设宽是设宽是x步，则长是步，则长是2x步步.根据题意，得根据题意，得所以所以又又 不符合题意，舍去不符合题意，舍去.把完全平方公式从右到左地使用，在下
5、列各题中，把完全平方公式从右到左地使用，在下列各题中，填上填上适当的数，使等式成立：适当的数，使等式成立：x2+6x+（x+）2；x2-6 x+（x-）2；x2+6x+5=x2+6x+-+5 =（x+）2-.-.；（2）（2）（2）（2）做一做做一做（1）探究探究解方程解方程：我们已经知道，如果能把方程我们已经知道，如果能把方程写成写成 =d（d 0）的形式，）的形式，那么就可那么就可以根据平方根的意义来求解以根据平方根的意义来求解.因此，需要在方程因此，需要在方程的左边加上一次项系的左边加上一次项系数的一半的平方，即加上数的一半的平方，即加上 ；为了使等；为了使等式仍然成立，应当再减去式仍然
6、成立，应当再减去 .为此，把方程为此，把方程写成：写成：因此，因此，有有即即 根据平方根的意义，根据平方根的意义，得得 或或解得解得 可以将可以将“2”换换成其他数的平方吗？成其他数的平方吗？配方、整理后就可以直接根据平方根的意义来配方、整理后就可以直接根据平方根的意义来求解了求解了这样解一元二次方程的方法叫作这样解一元二次方程的方法叫作配方法配方法结论结论 配方是为了直接运用平方根的意义，从而把一配方是为了直接运用平方根的意义，从而把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.一般地，像上面这样，在方程一般地，像上面这样，在方程 的左边加上一次项系数的
7、一半的平方，再减去这的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫作这种做法叫作配方配方.举举例例例例3 用配方法解下列方程：用配方法解下列方程：（1）+10 x+9=0；（2）-12x-13=0.（1）+10 x+9=0；（2）-12x-13=0.（1）+10 x+9=0；由此得由此得 x+5=4 或或 x+5=-4，解得解得因此因此 配方，配方，得得 解解 配方，配方，得得 （2）-12x-13=0.配方，配方，得得 解解因此因此 由此得由此得 或或解得解得练习练习1.填空填空：（1）x2+4x+1=
8、x2+4x+-+1 =(x+)2-；（2）x2-8x-9=x2-8x+-9 =(x-)2-；（3）x2+3x-4=x2+3x+-4 =(x+)2-.4 4 2 3 16 16 4 25 2.用配方法用配方法解下列方程：解下列方程：（1）x2+4x+3=0；（2）x2+8x-9=0；（3）x2+8x-2=0；（4）x2-5x-6=0.把方程左边因式分把方程左边因式分解，得解，得(x+2+1)()(x+2-1)=0.（1）x2+4x+3=0；解得解得 ，由此得出由此得出 x+3=0 或或 x+1=0.解解 把原方程的左边配方，得把原方程的左边配方，得(x+2)2-1=0，（2）x2+8x-9=0；
9、解解 把原方程的左边配方，得把原方程的左边配方，得 (x+4)2-25=0，把方程左边因式分解，得把方程左边因式分解，得(x+4+5)()(x+4-5)=0.由此得出由此得出 x+9=0 或或 x-1=0.解得解得 ，解解 把原方程的左边配方，得把原方程的左边配方，得 (x+4)2-18=0，（3）x2+8x2=0；把方程左边因式分解，得把方程左边因式分解，得(x+4+)()(x+4-)=0.由此得出由此得出 x+4+=0 或或x+4-=0.解得解得 ，即即 （4）x2-5x-6=0.解得解得 ，解解 把原方程的左边配方，得把原方程的左边配方，得 把方程左边因式分解，得把方程左边因式分解，得由
10、此得出由此得出 或或如果二次项系数为如果二次项系数为1，那就好办了，那就好办了!动脑筋动脑筋 如何用配方法怎样解本章如何用配方法怎样解本章 2.1 节节“动脑筋动脑筋”中的方程中的方程：呢呢？25 x2+50 x-11=0 由于方程由于方程 的二次项系数的二次项系数不为不为 1，为了便于配方，我们可根据等式的性质，为了便于配方，我们可根据等式的性质，在方程两边同除以在方程两边同除以 25，将二次项系数化为，将二次项系数化为 1，得，得25 x2+50 x-11=0 配方，配方，得得因此因此 由此得由此得 或或 解得解得 对于实际问题的方程对于实际问题的方程而言，而言，不合不合题意，应当舍去题意
11、，应当舍去.而而 符合题意，因此年平符合题意，因此年平均增长率为均增长率为 20%.举举例例例例4 用配方法解方程：用配方法解方程：4x2-12x-1=0.由此得由此得 或或 配方，配方，得得因此因此 解解将二次项系数化为将二次项系数化为 1，得，得解得解得解方程：解方程：议一议议一议议一议议一议议一议议一议 因为在实数范围内任因为在实数范围内任何实数的平方都是非负数何实数的平方都是非负数.因此，因此，不成立，不成立，即原方程无实数根即原方程无实数根.将上述方程的二次项系数化为将上述方程的二次项系数化为1，得，得将其配方得将其配方得 即即练习练习用配方法解下列方程：用配方法解下列方程：（1）2
12、x2=3x-1；（2）3x2+2x-3=0；（3）4x2-x-9=0；（4）-x2+4x-12=0.（1）2x2=3x-1；移项，得移项，得解解方程方程两边同除以两边同除以2，得，得 把方程左边配方得把方程左边配方得 由此得出由此得出解得解得 ,（2）3x2+2x-3=0；方程方程两边同除以两边同除以3，得，得解解 把方程左边配方，得把方程左边配方，得 由此得出由此得出 .解得解得 ，（3）4x2-x-9=0；方程方程两边同除以两边同除以4，得，得解解 把方程左边配方，得把方程左边配方，得 由此得出由此得出解得解得 （4）-x2+4x-12=0.解解方程方程两边同除以两边同除以-1，得，得配方
13、配方，得，得 所以此方程无解所以此方程无解.中考中考 试题试题例例1 一元二次方程一元二次方程9(x+1)2=25的根为的根为（）.A.x=B.x=C.x1=，x2=D.x1=0，x2=C解解方程两边同除以方程两边同除以9，得，得(x+1)2=.x+1=.x1=,x2=.故应选择故应选择C.中考中考 试题试题例例2 用配方法解方程用配方法解方程2x2-4x+1=0.解解方程两边同除以方程两边同除以2，得，得x2-2x+=0.配方，得配方，得x2-2x+1-1+=0,即即(x-1)2=.解得解得 x-1=,或或x-1=.所以所以x1=,x2=.中考中考 试题试题例例3 解解将将x2+6x-5=0的常数项移到右边，的常数项移到右边，得得 x2+6x=5.两边同时加上两边同时加上 ，即，即9，得，得 x2+6x+9=5+9.即即 (x+3)2=14.故应选择故应选择A.方程方程x2+6x-5=0的左边配成完全平方后所得方的左边配成完全平方后所得方程为（程为（）.A.(x+3)2=14，B.(x-3)2=14，C.(x+6)2=，D.以上答案都不对以上答案都不对.A结结 束束