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1、http:/ 县乡考试加油站提供县乡考试加油站提供 第一讲（补）第一讲（补）数一数（一）数一数（一）例例 1 数一数，下图中有几个正方形、几个等边三角形、几个圆？例例 2 数一数，下图中共有多少点？1+3+6+9+12=31 共有 31 个点。例例 3 数一数，下图中有几条线段？照下面的方法数：3+2+1=6（条）。例例 4 数一数，下图中有几个锐角？照下面的方法数：3+2+1=6（个）。第五讲第五讲 数一数（二）数一数（二）数复杂的图形需要较强的观察能力，要细心，做到不重不漏。例例 1 数一数，右图中有多少个三角形？P D F 文件使用 p d f F a c t o r y 试用版本创建
2、http:/ 县乡考试加油站提供县乡考试加油站提供 照书上的方法数，共 4 个三角形。例例 2 数一数，右图中共有多少个三角形？照书上的方法数，共 8 个三角形。例例 3 数一数，右图中共有多少个正方形？照书上的方法数，共有 10 个正方形 4+5+1=10（个）。例例 4 数一数，右图中共有多少个长方形？照书上的方法数共有 5 个长方形。第十七讲第十七讲 发现图形的变化规律发现图形的变化规律 这是一种综合训练。通过对图形的仔细观察、反复比较、大胆猜测、严格检验和不断修正等思考程序，就能发现下列图形的变化规律，得出正确的答案。例例 1 下图是按一定规律排列的。找出它的变化规律后，试填出所缺少的
3、图形。P D F 文件使用 p d f F a c t o r y 试用版本创建 http:/ 县乡考试加油站提供县乡考试加油站提供 解：解：通过观察、比较可以发现，第一行和第二行的三个小图形是相同的，所不同的只是它们的排列顺序。还可以发现，从第一行变到第二行，每个小图形都往右移动了一个图形的位置，而且第一行最左边的图形占了第二行最右边的位置。所以第三行“？”处应填：例例 2 在下图的一组图形中，“？”处应填什么样的图形？解：解：仔细观察可发现，第一行和第二行中的最右边的完整图形是这样变来的：将最左边的半个图形，往右平移到中间图形位置，然后再去掉两个图形的重合部分。按这个规律可知“？”处就填：
4、例例 3 下图的一组图形的“？”应填什么样的图形？解：解：每行的第一和第二个平移重叠后变成第三个图形。可见第三行“？”处为：习题十七习题十七 下列各题中的图形都缺少一个，试根据对已给出的图形的观察思考，找出图形的变化规律，将所缺的图形补上 1 P D F 文件使用 p d f F a c t o r y 试用版本创建 http:/ 县乡考试加油站提供县乡考试加油站提供 习题十七解答习题十七解答 第一讲第一讲 速算与巧算（一）速算与巧算（一）一、凑十法：一、凑十法：同学们已经知道，下面的五组成对的数相加之和都等于 10：1+9=10 2+8=10 3+7=10 4+6=10 5+5=10 巧用这
5、些结果，可以使计算又快又准。例例 1 计算 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 解：解：对于这道题，当然可以从左往右逐步相加：1+2=3 3+3=6 6+4=10 10+5=15 15+6=21 21+7=28 28+8=36 36+9=45 45+10=55 这种逐步相加的方法，好处是可以得到每一步的结果，但缺点是麻烦、容易出错；而且一步出错，以后步步都错。若是利用凑十法，就能克服这种缺点。P D F 文件使用 p d f F a c t o r y 试用版本创建 http:/ 县乡考试加油站提供县乡考试加油站提供 二、凑整法二、凑整法 同学们还知道，有些数相加之和是整十、整百的数，如
6、：1+19=20 11+9=30 2+18=20 12+28=40 3+17=20 13+37=50 4+16=20 14+46=60 5+15=20 15+55=70 6+14=20 16+64=80 7+13=20 17+73=90 8+12=20 18+82=100 9+11=20 又如：15+85=100 14+86=100 25+75=100 24+76=100 35+65=100 34+66=100 45+55=100 44+56=100 等等 巧用这些结果，可以使那些较大的数相加又快又准。像 10、20、30、40、50、60、70、80、90、100 等等这些整十、整百的数就是
7、凑整的目标。例例 2 计算 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 解：解：这是求 1 到 19 共 10 个单数之和，用凑整法做：例例 3 计算 2+4+6+8+10+12+14+16+18+20 解：解：这是求 2 到 20 共 10 个双数之和，用凑整法做：例例 4 计算 2+13+25+44+18+37+56+75 解：解：用凑整法：三、用已知求未知三、用已知求未知 利用已经获得较简单的知识来解决面临的更复杂的难题这是人们认识事物的一般过程，凑十法、凑整法的实质就是这个道理，可见把这种认识规律用于计算方面，可使计算更快更准。下面再举两个例子。例例 5 计算 1+2+3+4+5
8、+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20 解：解：由例 2 和例 3，已经知道从 1 开始的前 10 个单数之和以及从 2 开始的前 10 个双数之和，巧用这些结果计算这道题就容易了。1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20 =（1+3+5+7+9+11+13+15+17+19）+（2+4+6+8+10+12+14+16+18+20）=100+110（这步利用了例 2 和例 3 的结果）=210 例例 6 计算 5+6+7+8+9+10 解：解：可以利用前 10 个自然数之和等于 55 这一结
9、果。5+6+7+8+9+10 =（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）-（1+2+3+4）（熟练后，此步骤可省略）=55-10=45 四、改变运算顺序四、改变运算顺序 P D F 文件使用 p d f F a c t o r y 试用版本创建 http:/ 县乡考试加油站提供县乡考试加油站提供 在只有加减运算的算式中，有时改变加、减的运算顺序可使计算显得十分巧妙！例例 7 计算 10-9+8-7+6-5+4-3+2-1 解：解：这题如果从左到右按顺序进行加减运算，是能够得出正确结果的。但因为算式较长，多次加减又繁又慢且容易出错。如果改变一下运算顺序，先减后加，就使运算显得非常“漂亮”。下
10、式括号中的算式表示先算，10-9+8-7+6-5+4-3+2-1 =（10-9）+（8-7）+（6-5）+（4-3）+（2-1）=1+1+1+1+1=5 五、带着“五、带着“+”、“”、“-”号搬家”号搬家 例例 8 计算 1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11 解：解：这题只有加减运算，而且 1-2 不够减。我们可以采用带着加减号搬家的方法解决。要注意每个数自己的符号就是这个数前面的那个“+”号或“-”号，搬家时要带着符号一起搬。1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11 =1+3-2+5-4+7-6+9-8+11-10 =1+（3-2）+（5-4）+（7-6）+（9-8）+（1
11、1-10）先减后加 =1+1+1+1+1+1=6 在这道题的运算中，把“+3”搬到“-2”的前面，把“+5”搬到了“-4”的前面，把“+11”搬到了“-10”的前面，这就叫带着符号搬家。巧妙利用这种搬法，可以使计算简便。习题一习题一 1计算：13+14+15+16+17+25 2计算：2+3+4+5+15+16+17+18+20 3计算：21+22+23+24+25+26+27+28+29 4计算：5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20 5计算：22-20+18-16+14-12+10-8+6-4+2-0 6计算：10-20+30-40+50-60
12、+70-80+90 7计算：（2+4+6+8+10）-（1+3+5+7+9）8计算：（2+4+6+20）-（1+3+5+19）9计算：（2+4+6+100）-（1+3+5+99）习题一解答习题一解答 1解：解：见下图：2解：解：见下图：3解：解：见下图：4解：解：5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20 =1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20-(1+2+3+4)P D F 文件使用 p d f F a c t o r y 试用版本创建 http:/ 县乡考试加油站提供县乡考试加油站提供
13、=210-10（利用例 5 的结果）=200 5解：解：22-20+18-16+14-12+10-8+6-4+2-0 =（22-20）+（18-16）+（14-12）+（10-8）+（6-4）+（2-0）=2+2+2+2+2+2=12 6解：解：10-20+30-40+50-60+70-80+90 =10+30-20+50-40+70-60+90-80 =10+（30-20）+（50-40）+（70-60）+（90-80）=10+10+10+10+10=50 7解：解：（2+4+6+8+10）-（1+3+5+7+9）=（2-1）+（4-3）+（6-5）+（8-7）+（10-9）=1+1+1+1
14、+1=5 8解：解：（2+4+6+20）-（1+3+5+19）=10 9解：解：（2+4+6+100）-（1+3+5+99）=50 第二讲第二讲 速算与巧算（二）速算与巧算（二）例例 1 哥哥和妹妹分糖。哥哥拿 1 块，妹妹拿 2 块；哥哥拿 3 块，妹妹拿 4 块；接着哥哥拿 5块、7 块、9 块、11 块、13 块、15 块，妹妹拿 6 块、8 块、10 块、12 块、14 块、16 块。你说谁拿得多，多几块？解：解：方法 1：先算哥哥共拿了多少块？再算妹妹共拿了多少块？72-64=8（块）方法 2：这样想：先算每次妹妹比哥哥多拿几块，再算共多拿了多少块。(2-1)+(4-3)+(6-5)
15、+(8-7)+(10-9)+(12-11)+(14-13)+(16-15)=1+1+1+1+1+1+1+1=8（块）可以看出方法 2 要比方法 1 巧妙！P D F 文件使用 p d f F a c t o r y 试用版本创建 http:/ 县乡考试加油站提供县乡考试加油站提供 平时注意积累，记住一些有趣的和重要的运算结果，非常有助于速算。比如，请同学记住几个自然数相加之和：1+2=3 1+2+3=6 1+2+3+4=10 1+2+3+4+5=15 1+2+3+4+5+6=21 1+2+3+4+5+6+7=28 1+2+3+4+5+6+7+8=36 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45
16、1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55 例例 2 星期天，小明家来了 9 名小客人。小明拿出一包糖，里面有 54 块。小明说：“咱们一共 10 个人，每人都要分到糖，但每人分到的糖块数不能一样多，谁会分？”结果大家都无法分，你能帮他们分好吗？解：解：按小明提的要求确实无法分。因为要使得每个人都得到糖，糖块数人人不等，需要糖块数最少的分法是：第一人分到1 块，第二人分到 2 块，第十人分到 10 块。但是，这种分法共需要有 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55（块）而小明这包糖一共才 54 块，所以按这种方法无法分。如果改变一下，有一人少得 1 块糖，比如说，应该得 10 块糖
17、的小朋友只分到了 9 块，但是这样一来，他就和另一个先分得9 块糖的那个小朋友一样多了，这又不符合小明提出“每人分到的糖块数不能一样多”的要求。（注意：“按小明提的要求无法分”就是此题的答案。在数学上“无解”也叫问题的答案。）例例 3 时钟 1 点钟敲 1 下，2 点钟敲 2 下，3 点钟敲 3 下，照这样敲下去，从 1 点到 12点，这 12 个小时时钟共敲了几下？解：解：这是一道美国小学奥林匹克试题，要求在 3 分钟内就要得出答案。方法 1：凑十法 方法 2：如果能记住从 1 到 10 前十个自然数之和是 55，计算会更快。（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）+11+12 =55+
18、11+12=78（下）习题二习题二 1 三个小朋友分 5 块糖。要求每人都分到糖，但每人分到的糖块数不能一样多，你能分吗？2把 16 只小鸡分别装进 5 个笼子里，每个笼子里都要有鸡，而且每个笼子里的鸡的只数也不能相同，如何分装？按同样要求，把 15 只小鸡装进 5 个笼子能办得到吗？按同样要求，把 14 只小鸡分装到 5 个笼子能办得到吗？3把 100 块糖分给 10 个小朋友。要求每人都分到单数块糖，而且每人分到糖块数都不一样，如何分？把 99 块糖按同样要求分给 10 个小朋友，你能分吗？4从 1 到 20 这 20 个数中，所有的双数之和与所有的单数之和的差是多少？P D F 文件使用
19、 p d f F a c t o r y 试用版本创建 http:/ 县乡考试加油站提供县乡考试加油站提供 5小方家的钟除了几点钟敲几下外，每半点钟也敲一下。比如说，0 点半敲 1 下，1 点钟敲1 下，1 点半敲 1 下，2 点敲 2 下，2 点半敲 1 下，照这样敲下去，从夜里 0 点开始，计到白天中午 12 点钟，在这 12 个小时之内时钟共敲了多少下？习题二解答习题二解答 1答案是不能分。所需糖块数最少的一种分法是：第 1 个人分 1 块，第 2 个人分 2 块，第 3 个人分 3 块，这样三个人共需要有 1+2+3=6（块），但总的糖块数只有 5 块，不够分。如果第 3 个人也分得
20、2 块，这样糖是够分了，但是这样就有 2 个人分得糖块数一样多了，又不符合分糖的要求了。25 只笼子装 16 只小鸡的装法是 1，2，3，4，6。1+2+3+4+6=16（只）5 只笼子装 15 只小鸡的装法是 1，2，3，4，5。1+2+3+4+5=15（只）5 只笼子装 14 只小鸡，要求每笼都有鸡，而且笼笼鸡数不等，无法分装。3 记住 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100 立即可知 100 块糖按要求分给 10 个人的分法是：各人所得糖块数分别为 1，3，5，7，9，11，13，15，17，19。99 块糖按要求分给 10 个小朋友无法分。4解：解：方法 1：单数之和
21、：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100 双数之和：2+4+6+8+10+12+14+16+18+20=110 差：110-100=10 方法 2：改变运算顺序 (2+4+6+8+10+12+14+16+18+20)-(1+3+5+7+9+11+13+15+17+19)=(2-1)+(4-3)+(6-5)+(8-7)+(10-9)+(12-11)+(14-13)+(16-15)+(18-17)+(20-19)=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=10 5解：解：先记录时钟敲的整点数和半点数如下：列算式求和，并改变运算顺序：1+1+1+2+1+3+1+4 十 1+5+1+6
22、+1+7+1+8+1+9+1+10+1+11+1+12 =(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12)+(1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1)=78+12=90（下）第三讲第三讲 数数与计数（一）数数与计数（一）例例 1 请你数一数，下图中共有多少个“”?P D F 文件使用 p d f F a c t o r y 试用版本创建 http:/ 县乡考试加油站提供县乡考试加油站提供 解：解：分层数 先按“实心”三角形计算，再减去“空白”三角形中“”的个数 （1+3+5+7+9+11+13+15+17）-（5+3+1）例例 2 下图所示的“塔”由 4 层没有缝隙的小立方块垒
23、成，求塔中共有多少小立方块？从顶层开始数，各层小立方块数是：第一层：1 块；第二层：3 块；第三层：6 块；第四层：10 块；总块数 1+3+6+10=20（块）。从上往下数，第一层：1 块；第二层：第一层的 1 块加第二层“看得见”的 2 块等于第二层的块数：1+2=3 块；第三层：第二层的 3 块加第三层“看得见”的 3 块等于第三层的块数：3+3=6 块；第四层：第三层的 6 块加第四层“看得见”的 4 块等于第四层的块数：6+4=10 块。总块数 1+3+6+10=20（块）例例 3 右图是由小立方体码放起来的，其中有一些小立方体被压住看不见。请你数一数共有多少小立方体？解：解：从右往
24、左数，并且编号 第一排：1 块；第二排：7 块；第三排：5 块；P D F 文件使用 p d f F a c t o r y 试用版本创建 http:/ 县乡考试加油站提供县乡考试加油站提供 第四排：9 块；第五排：16 块；总数：1+7+5+9+16=38（块）。例例 4 数一数下面的立体图形的面数、棱数和顶点数各是多少？面数：4 棱数：6 顶点数：4 面数：5 棱数：8 顶点数：5 习题三习题三 1请你数一数，下图中共有多少？2如下图所示，一单层砖墙下雨时塌了一处，请你数一数，需要多少块砖才能把墙补好？3如右图所示是一个由小立方体构成的塔，请你数一数并计算出共有多少块。4如右图所示是由小立
25、方体构成的“宝塔”，请你数一数共多少块？P D F 文件使用 p d f F a c t o r y 试用版本创建 http:/ 县乡考试加油站提供县乡考试加油站提供 5右图所示是由小立方体堆起来的，请你数一数，共有多少小立方体？6数一数，下面的立体图形的面数、棱数和顶点数各是多少？习题三解答习题三解答 1解：解：方法 1：从最上边的一行往下数 方法 2：假设“”填满整个长方形的图形，应该共有“”：208=160（个）。“空白”三角形处应有“”：2+4+6+8=20（个）。“空白”长方形处应有“”:54=20（个）。实际上“”的总数是：160-20-20=120（个）。2解：解：从下往上数，墙
26、洞所缺少的砖块数是：1+2+2+1+2+2=10（块）。3解：解：从上往下数，注意：不要漏掉那些看不见的小立方体。第一层：1 块；第二层：4 块；第三层：9 块；第四层：16 块；总数：1+4+9+16=30（块）。4解：解：从上往下数 第一层：1 块；第二层：9 块；第三层：25 块；总数：1+9+25=35（块）。5解：解：由前往后数，并进行编号 P D F 文件使用 p d f F a c t o r y 试用版本创建 http:/ 县乡考试加油站提供县乡考试加油站提供 第一排：5 块；第二排：6 块；第三排：8 块；总数：5+6+8=19（块）。6解：解：图（1）是六棱柱；面数 8，棱
27、数 18，顶点数 12。图（2）是由两个四面体组成；面数 6，棱数 9，顶点数 5。图（3）是五棱柱；面数 7，棱数 15，顶点数 10。图（4）是由两个四棱锥和一个四棱柱组成；面数 12，棱数 20，顶点数 10。第四讲第四讲 数数与计数（二）数数与计数（二）数数与计数时，注意不应漏掉，不应重复。如果漏掉了，要加上；如果重复了，要减掉。例例 1 小朋友排队，小红前面 4 个人，后面 3 个人，问这队共有几个人？解：解：这队的总人数要数上小红，所以是 4+3+1=8（人）。例例 2 排好队，来报数，正着报数我报七，倒着报数我报九，一共多少小朋友？解：解：见下图 正着报数“我”报了一次，倒着报数
28、“我”又报了一次，所以把两次报数加起来时，“我被加了两次。因此算这队的总人数时，应从两次报数之和减 1。7+9-1=15（人）。也可以这样想：正着报数报到我为止，倒着报数时，我就不报了，只报到我的后面相邻的那个人他应该报 8，所以全队总人数是：7+（9-1）=15（人）。例例 3 少先队员排成队去参观科技馆。从排头数起刘平是第 20 个；从排尾数起，张英是第 23个。已知刘平的前一个是张英。问这队少先队员共有多少人？解：解：画示意图，用点代表少先队员。由图可见，从排头数起时，把张英和刘平数了一次。由排尾数起时，又把刘平和张英数了一次，可见把他两人多数了一次，所以点总人数时，应减去多数的那一次才
29、对。20+23-2=41（人）。例例 4 45 个小朋友排成一队去春游。从排头往后数，小刚是第 19 个；从排尾往前数，小莉是第 12 个，问小刚和小莉中间有几个人？解：解：画示意图。用点“”代表人 P D F 文件使用 p d f F a c t o r y 试用版本创建 http:/ 县乡考试加油站提供县乡考试加油站提供 由图可见，小刚和小莉中间的人数是：45-（19+12）=14（人）。例例 5 一班同学做花，做红花的有 38 人，做黄花的有 39 人，没有做花的有 3 人。如果全班55 人，那么既做红花又做黄花的有多少人？解：解：画图如下：由图可见，做花的人：55-3=52（人）。图中
30、阴影部分表示两色花都做的人：38+39-52=25（人）。习题四习题四 1学生排成一队，在小进的前面有 6 人，后面有 8 人，问这队共有多少人？212 辆汽车组成一列车队向前行进。从前面数起，红色的小轿车是第 7 辆。问从后面数它是第几辆？3游泳池里男生都戴蓝帽，女生都戴红帽。池中一个男生小强边看边数，他看见蓝帽 4 个，红帽 5 个。问池中男女生共多少人？4说稀奇、道稀奇，鸭子队里有只鸡。正着数它第六，倒着数它第七。请你帮助算一算，小鸭一共有几只？5一个小组的小学生共有 5 人，已知他们都做了语文作业或数学作业。又知做完语文作业的有 3 人，做完数学作业的有 4 人。问语文和数学作业都做完
31、的有几人？6在 100 名学生中统计，有 65 人会骑自行车，有 73 人会游泳，有 10 人既不会骑自行车又不会游泳。问既会骑自行车又会游泳的人有多少？7某班有学生 45 人，订阅中国少年报的有 29 人，订阅小朋友的有 28 人，其中两种都订阅的有 16 人，问两种刊物都没有订阅的人有多少？习题四解答习题四解答 1解解 由图可知：总人数是 6+8+1=15 人。2解：解：方法 1：数一数；先画示意图如下，用代表红色小轿车，用代表其他车。从后面往前数一数，红色小轿车是第 6 辆。方法 2：算一算；这队车共有 12 辆，从前面往后数，红色小轿车是第 7 辆，所以红色小轿车前面有 7-1=6 辆
32、车，因此从后面往前数，红色小轿车是第 12-6=6 辆。3解：解：画示意图如下：P D F 文件使用 p d f F a c t o r y 试用版本创建 http:/ 县乡考试加油站提供县乡考试加油站提供 因为男生小强边看边数时，没有看见自己的蓝帽，他把自己漏数了。所以算总人数时，要把他加上，即 4+5+1=10（人）。4解：解：画示意图，用代表小鸭，用代表小鸡。由图可见，正数算上了小鸡，倒数也算上了小鸡。这样两数之和 6+7=13 中，把小鸡计算了两次。所以求小鸭的数目时就要减去两个小鸡。6+7-2=11（只）。5解：解：画示意图如下：两种作业都做完的人既算在了做完语文作业的3人中，又算在
33、了做完数学作业的4人中，因此这部分人被多算了一次，（如图中阴影部分所示）所以两种作业都做完的人数是：3+4-5=2（人）。6解：解：画图如下：由图可知：会骑车或是会游泳的总人数是 100-10=90（人）。两种都会的人数是 65+73-90=48（人）。（图中阴影部分所示）7解：解：画示意图如下：因为至少订 1 份刊物的人：28+29-16=41（人）。两种刊物都没有订的人：45-41=4（人）。第五讲第五讲 数数与计数（三）数数与计数（三）例例 1 小朋友，张开手，五个手指人人有。手指之间几个“空”，请你仔细瞅一瞅？（注）“瞅一瞅”就是“看一看”的意思。解：解：见右图看一看、数一数可知：5
34、个手指间有 4 个“空”。“空”又叫“间隔”，也就是，人的一只手有 5 个手指 4 个间隔。P D F 文件使用 p d f F a c t o r y 试用版本创建 http:/ 县乡考试加油站提供县乡考试加油站提供 例例 2 小朋友在一段马路的一边种树。每隔 1 米种一棵，共种了 11 棵，问这段马路有多长？解：解：画示意图如下：由图可见，这段马路的 11 棵树之间有 10 个“空”，也就是 10 个间隔。每个间隔长 1米，10 个间隔长 10 米。也就是说这段马路长 10 米。像这类问题一般叫做“植树问题”。可以得出一个公式：当两头都种树时：例例 3 把一根粗细一样的木头锯成 5 段，需
35、要 4 分钟。如果把这根木头锯成 10 段，需要几分钟？如果把这根木头锯成 100 段，需要几分钟？解：解：画出示意图：由图可见，把木头锯成 5 段，只需锯 4 次。所以锯一次需 1 分钟。同样道理，把这根木头锯成 10 段，只需锯 9 次，所以需 9 分钟。同理，把这根木头锯成 100 段，只需锯 99 次，所以需 99 分钟。例例 4 鼓楼的钟打点报时，5 点钟打 5 下需要 4 秒钟。问中午 12 点时打 12 下需要几秒钟？解：解：画示意图。钟打一下用一个点代表，打 5 下画 5 个点。由图可见，钟打 5 下中间有 4 个时间间隔，4 个间隔是 4 秒钟，每个间隔就是 1 秒钟。由此推
36、理钟打 12 下时有 12-1=11 个时间间隔，故用 11 秒钟。习题五习题五 1一队男生 8 人。老师要求在 2 名男生中间插进 1 名女生，问可插进多少女生？2小冬用 12 张纸订成一个本子。从头数起，每隔 3 纸夹进一片树叶，问这个本子内共放进多少片树叶？3在一条 20 米长的小路两旁种小松树，如果每隔 5 米种一棵，而且两头都种树，问这段小路上共种多少棵？4一根钢管长 6 米，每分钟锯下 1 米，几分钟锯完？5 一根木头锯成 4 段，要付锯工费 1 元。如果要把这根木头锯成 13 段，要付锯工费多少元？6小明与爸爸一同上楼。小明上得快、爸爸上得慢，小明上 2 层，爸爸上 1 层。问小
37、明上到五楼时，爸爸上到几楼？7沿着跑道插着 11 面旗，旗与旗离得一样远，第一面旗插在起点。运动员从起点起跑经过6 秒钟到达第 6 面旗，问运动员到达第 11 面旗时，需要跑 11 秒钟吗？8三点钟时，挂钟打响三下，用了 12 秒。到六点钟时，挂钟打响六下，要用几秒钟？P D F 文件使用 p d f F a c t o r y 试用版本创建 http:/ 县乡考试加油站提供县乡考试加油站提供 习题五解答习题五解答 1 解：解：方法 1：按老师要求，在 2 名男生中间插进 1 名女生后，写出队伍的排外情况是：男女男女男女男女男女男女男女男数一数，可知插进的女生共 7 人。方法 2：也可以这样想
38、：这道题中，把男生看成“树”，把女生看成“间隔”，就能按植树问题的公式解这道题。因为两头都是男生，就像两头都有树一样，女生数应等于男生数减 1，即 8-1=7（人）。2解：解：画示意图如下：可以这样想：把每 3 张纸粘在一起成为一张“厚纸”，12 张纸共粘成 4 张厚纸。按题目要求，相当于每两张厚纸之间放入一片树叶，可知共放入 3 片树叶。3解：解：画示意图如下：（只画一旁种树情况）由图可见，每 5 米为一段，20 米长的路可分为 4 段，由于路两端都要种树，所以种的棵树等于段数加 1，即一旁种树 4+1=5（棵），两旁共种 5+5=10（棵）。4解：解：画示意图如下：由图可见，把 6 米长的
39、钢管锯成 1 米长的 6 段，只需锯 6-1=5（次），题中说，每分钟锯下 1 米，就是说锯 1 次需要 1 分钟，所以锯 5 次需 5 分钟即 5 分钟把钢管锯完。5解：解：把一根木头锯成 4 段只需锯 4-1=3 次，按题意付锯工费 1 元。当把这根木头锯成 13段时只需锯 13-1=12 次，每锯 3 次付费 1 元，锯 12 次应付锯工费 4 元。6解：解：见右图当小明跑五楼时，实际上跑过了 4 层楼梯，所以爸爸此时只走过了 2 层楼梯，即走到了三楼。7解：解：画出示意图：P D F 文件使用 p d f F a c t o r y 试用版本创建 http:/ 县乡考试加油站提供县乡考
40、试加油站提供 在起点插着第一面旗，但在起点运动员起跑时，时间是从 0 秒开始计时的。运动员跑到第六面旗时，实际上是跑了 5 段间隔，这时他用了 6 秒钟的时间；当他跑到第 11 面旗时，实际上又跑了 5 段间隔，所以又用了 6 秒钟，总起来共用了 12 秒钟，而不是 11 秒钟。8解：解：“当当当”钟打响了三下，三响之间的间隔是两次，两个时间间隔用 12 秒，一个时间间隔就是 122=6（秒）。如果钟打六下，六响之间的间隔是 5 次，因而钟打六下要65=30（秒）。第六讲第六讲 数数与计数（四）数数与计数（四）本讲采用枚举法解决数数与计数的问题。比如老奶奶数鸡蛋，她小心翼翼地把鸡蛋从蓝子里一个
41、一个地往外拿，边拿边数。篮子里的鸡蛋拿光了，有多少个鸡蛋也就数出来了。这种最简单的数数与计数的方法就叫做枚举法。例例 1 用分别写有数字 1 和 2 的两张纸片，能够排出多少个不同的二位数？解：解：用代表这两张纸片。把所有可能的排法枚举出来，可知能排出两个二位数来。它们是：例例 2 用分别写有数字 0，1，2 的三张纸片能排出多少个不同的二位数？解：解：因为“0”不能作为首位数字，所以只能排出 4 个二位数，它们是：1 作十位数字，0 或 2 作个位数字：2 作十位数字，0 或 1 作个位数字：例例 3 用分别写有数字 1，2，3 的三张纸片能排出多少不同的三位数？解：解：用枚举法，即把所有可
42、能排出的每一个三位数都写出来。再数一数共有多少个。共 6 个不同的三位数。例例 4 小明左边抽屉里放有三张数字卡片右边抽屉里也放有三张卡片。如果他每次从左右两边抽屉里任意各拿一张出来，组成一个二位数，在纸上记下来之后，再把卡片放回各自原来的抽屉里。然后再拿、再组数、再记、再放回这样一直做下去，问他一共可能组成多少个不同的二位数？解：解：不妨假设小明先从左边抽屉拿，把拿出的数字卡片排在十位；再从右边抽屉拿，把拿出的数字卡片排在个位。下面是记下来的所有不同的二位数：11，12，13，21，22，23，31，32，33。共 9 个不同的二位数。例例 5 有一群人，若规定每两个人都握一次手而且只握一次
43、手，求他们共握多少次手？假设这群人是：两个人，三个人，四个人 解：解：画图。用点“”代表人。如果两人握一次手就在两个点之间连一条线。那么，点和点之间连线的条数就代表握手的次数。见以下的图。两个人：P D F 文件使用 p d f F a c t o r y 试用版本创建 http:/ 县乡考试加油站提供县乡考试加油站提供 两点之间只能连一条线，表示两个人共握 1 次手。三个人：三点之间有三条连线，表示三个人共握 3 次手。四个人：四点之间有六条连线，表示四个人共握 6 次手。例例 6 铁路上的火车票价是根据两站距离的远近而定的，距离愈远，票价愈高。如果一段铁路上共有五个车站，每两站间的距离都不
44、相等，问这段铁路上的火车票价共有多少种？解：解：如图所示，用一条线段表示这段铁路，用线段上的五个点代表五个车站，各点间距离不同表示各车站间距离不同，因而票价不同。由图可见，各段长度不同的线段就表示各种不同的票价。数一数，票价种数是：4+3+2+1=10 种。例例 7 小明到小华家有甲、乙两条路，小华到小英家有 a，b，c 三条路（如下图所示）。小明经过小华家去找小英，他想每次都不走完全重复的路线，问有多少种不同的走法？解：共有 6 种不同的走法，见下图。P D F 文件使用 p d f F a c t o r y 试用版本创建 http:/ 县乡考试加油站提供县乡考试加油站提供 习题六习题六
45、1用三张数字卡片，可以排出多少个不同的三位数？其中最大的比最小的大多少？2有四张数字卡片从中抽出三张组成三位数，问这些卡片可能组成多少个不同的三位数？3用两套数字卡片可组成多少个不同的二位数？4 在一次小学数学竞赛的领奖台上有五名同学上台领奖，他们每两个人都互相握了一次手。问他们共握了多少次手？5全区六所小学举行小足球赛，每个学校派出一个代表队，要求规定每两个校队之间都要赛一场，问一共要赛多少场？6右图是小英家和学校之间的街道图。问小英去上学时，共有多少种不同的走法？（不准故意绕远走）7如右图所示，一只蚂蚁从一个正方体的 A 点沿着棱爬向 B 点，如不故意绕远，一共有几种不同的走法？习题六解答
46、习题六解答 1解：解：注意，0 不能当作首位数字。所能排出的三位数字共有 4 个。它们是：407，470，704，740。最大的数是 740，最小的数是 407。最大的数比最小的数大 740-407=333。2解：解：注意 0 不能当作首位数字。所能排出的三位数字共 18 个。102，104，120，124，140，142；201，204，210，214，240，241；401，402，410，412，420，421。3解：解：共组成 25 个不同的二位数。11，12，13，14，15；21，22，23，24，25；31，32，33，34，35；41，42，43，44，45；51，52，53，
47、54，55。4解：解：画图。用点代表人，用两点之间的连线代表两个人的一次握手。按这种规定连线的总条数就是握手的总次数。数一数，共有 10 条连线，所以共握手 10 次。P D F 文件使用 p d f F a c t o r y 试用版本创建 http:/ 县乡考试加油站提供县乡考试加油站提供 5解：解：共赛 15 场。见下图。方法 1：如右图所示这样数：一小和二小、三小、四小、五小、六小共赛 5 场；二小再和三小、四小、五小、六小共赛 4 场；（二小不能再和一小赛，因为它们已经比赛过了，下同）三小再和四小、五小、六小共赛 3 场；四小再和五小、六小共赛 2 场；五小再和六小共赛 1 场。比赛
48、场次总数：5+4+3+2+1=15（场）。方法 2：每个学校都要和其他的五个学校各赛一场，共 5 场。因而六个学校所赛的场次是56=30 场。但是这样计算还有个问题，比如说一小和二小赛了一场，这一场比赛被两个学校都计算在了自己所赛的场次里，因而被计了两次。所以总场数也就多计了一倍。也就是说，六个学校实际赛的总场次数是 302=15（场）。6解：解：小英由家到学校共有 6 种走法，见下图粗黑线所示。7解：解：蚂蚁沿着棱由 A 点爬到 B 点有 6 种不同的走法，见下图粗黑线所示。第七讲第七讲 填图与拆数（一）填图与拆数（一）例例 1 如右图，把 3、4、6、7 四个数填在四个空格里，使横行、竖行
49、三个数相加都得 14。怎样填？解：解：先看竖行，最上格中已有个 5。要使 5+（）=14，括号里的数就要填 9。把 9 拆成两个数：9=3+6，（因为 3 和 6 是题中给出的数）分别填在竖行的两个空格里。但进一步想，应该把哪一个填在中间空格里呢？这就需要看横行。横行两头的空格应填剩下的两个数4和7，因为 4 和 7 相加和为 11，而 11+3=14，可见中间空格应填 3。P D F 文件使用 p d f F a c t o r y 试用版本创建 http:/ 县乡考试加油站提供县乡考试加油站提供 例例 2 如图所示。在圆圈里填上不同的数，使每条直线上三个数相加之和都等于 12。解：解：见下
50、图（1）、（2）、（3）。把 12 分拆成三个不同的数相加之和，得七种分拆方式：12=9+2+1 12=8+3+1 12=7+4+1 12=7+3+2 12=6+5+1 12=6+4+2 12=5+4+3 从各式中选择有一个相同加数的两个式子。12=1+5+6 和 12=1+4+7 两式，将相同的加数1 填在中间圆圈里，不同的加数分别填在横行和竖行的其他圆圈里。答案有很多种不同的填法，这里只填了三种，同学们还可以自己选择另外的填法。例例 3 如右图所示。把 1、2、3、4、5 五个数填入五个圆圈里，要求分别满足以下条件：（1）使横行、竖行圆圈里的数加起来都等于 8；（2）使横行、竖行圆圈里的数