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1、小学奥数知识精讲知识精讲知识点说明知识点说明一、两量重叠问题一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：AB A B AB(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥B，即阴影面积图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB，即阴影面积原理图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小
2、圆的公共部分，记为：A1先包含A B重叠部分AB计算了2次，多加了1次；2再排除A B AB把多加了1次的重叠部分AB减去包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集AB的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A然后加起来，即先求A B(意思是把A“包含”、B的元素个数，、B的一切元素都进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C AB(意思是“排除”了重复计算的元素个数)二、三量重叠问题二、三量重叠问题A类、B类与C类元素个数的总和 A类元素的个数B类元素个数C类元素个数既是A类又是B类的元素个数既是B类又是C类的元素个数既是A类又是C类的元素个数同时
3、是A类、B类、C类的元素个数用符号表示为：ABC A BC AB BC AC ABC图示如下：图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的个数，大圆表示C的元素的个数1先包含：A B C重叠部分AB、BC、CA重叠了2次，多加了1次2再排除：A BC ABBC AC重叠部分ABC重叠了3次，但是在进行A B C AB BC AC计算时都被减掉了3再包含：A BC AB BC AC ABC在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考例题精讲例题精讲板块一、两量重叠问题板块一、两量重叠问题小学奥数小学奥数【例【例 1 1】两张长两张长4厘米，宽厘米，宽2厘米的长方形纸摆放
4、成如图所示形状把它放在桌面上，覆盖面积有多少厘米的长方形纸摆放成如图所示形状把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？平方厘米？4厘厘米米2厘米厘米图图3【例【例 2 2】实验小学四年级二班，实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有参加语文兴趣小组的有28人，人，参加数学兴趣小组参加数学兴趣小组的有的有29人，人，有有12人两个小组都参加人两个小组都参加 这个班有多少人参加了语文或数学这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？兴趣小组？ACB【例【例 3 3】一个班一个班48人，完成作业的情况有三种：一种是完成语文作业没完成数学作业；一种是完成数学人，完成作业的情况有三种：一种是完成语文作业没完成
5、数学作业；一种是完成数学作业没完成语文作业；一种是语文、数学作业都完成了已知做完语文作业的有作业没完成语文作业；一种是语文、数学作业都完成了已知做完语文作业的有37人；做完数人；做完数学作业的有学作业的有42人这些人中语文、数学作业都完成的有多少人？人这些人中语文、数学作业都完成的有多少人？【例【例 4 4】(第二届小学迎春杯数学竞赛第二届小学迎春杯数学竞赛)有有100位旅客，其中有位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英人懂英语，语，83人懂俄语问既懂英语又懂俄语的有多少人？人懂俄语问既懂英语又懂俄语的有多少人？【例【例 5 5】在在46人参加的采摘活
6、动中，只采了樱桃的有人参加的采摘活动中，只采了樱桃的有18人，既采了樱桃又采了杏的有人，既采了樱桃又采了杏的有7人，既没采樱桃人，既没采樱桃又没采杏的有又没采杏的有6人，问：只采了杏的有多少人？人，问：只采了杏的有多少人？既采既采樱桃樱桃AB【例【例 6 6】甲、乙、丙三个小组学雷锋，为学校擦玻璃，其中甲、乙、丙三个小组学雷锋，为学校擦玻璃，其中68块玻璃不块玻璃不又采又采杏的杏的是甲组擦的，是甲组擦的，52块玻璃不是乙组擦的，且甲组与乙组一共擦了块玻璃不是乙组擦的，且甲组与乙组一共擦了既没采樱桃既没采樱桃60块玻璃那么，甲、乙、丙三个小组各擦了多少块玻璃？块玻璃那么，甲、乙、丙三个小组各擦了
7、多少块玻璃？又没采杏的又没采杏的1【例【例 7 7】一次数学测验，甲答错题目总数的一次数学测验，甲答错题目总数的，乙答错，乙答错 3 3 道题，两人都道题，两人都41答错的题目是题目总数的答错的题目是题目总数的。求甲、乙都答对的题目数。求甲、乙都答对的题目数.6【例【例 8 8】在在1100的全部自然数中，不是的全部自然数中，不是3的倍数也不是的倍数也不是5的倍数的数有多少个？的倍数的数有多少个？板块二、三量重叠问题板块二、三量重叠问题【例【例 9 9】某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有34人，手中有
8、黄旗的人，手中有黄旗的共有共有26人，人，手中有蓝旗的共有手中有蓝旗的共有18人人 其中手中有红、其中手中有红、黄、黄、蓝三种小旗的有蓝三种小旗的有6人人 而手中只有红、而手中只有红、黄两种小旗的有黄两种小旗的有9人，手中只有黄、蓝两种小旗的有人，手中只有黄、蓝两种小旗的有4人，手中只有红、蓝两种小旗的有人，手中只有红、蓝两种小旗的有3人，人，那么这个班共有多少人？那么这个班共有多少人？【例【例 10 10】四年级一班有四年级一班有 4646 名学生参加名学生参加 3 3 项课外活动其中有项课外活动其中有2424 人参加了数学小组，人参加了数学小组，2020 人参加了语文小人参加了语文小组，参
9、加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的3 35 5 倍，倍，又是又是 3 3 项活动都参项活动都参加人数的加人数的 7 7 倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于 3 3 项都参加的人数的项都参加的人数的 2 2 倍，既参倍，既参加数学小组又参加语文小组的有加数学小组又参加语文小组的有 1010 人求参加文艺小组的人数人求参加文艺小组的人数 小学奥数小学奥数【例【例 11 11】三个面积均为三个面积均为50平方厘米的圆纸片放在桌面上平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图如图)，三
10、个纸片共同重叠，三个纸片共同重叠的面积是的面积是10平方厘米三个纸片盖住桌面的总面积是平方厘米三个纸片盖住桌面的总面积是100厘米问：图中阴厘米问：图中阴BA影部分面积之和是多少？影部分面积之和是多少？10【例【例 12 12】如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于 60 平方厘平方厘C米阴影部分的面积总和是米阴影部分的面积总和是 40 平方厘米，平方厘米，3 张板盖住的总面积是张板盖住的总面积是 100 平方平方厘米，厘米，3 张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？【例【例 13 13
11、】在某个风和日丽的日子，在某个风和日丽的日子，10个同学相约去野餐，个同学相约去野餐，每个人都带了吃的，每个人都带了吃的，其中其中6个人带了汉堡，个人带了汉堡，6个个人带了鸡腿，人带了鸡腿，4个人带了芝士蛋糕，有个人带了芝士蛋糕，有3个人既带了汉堡又带了鸡腿，个人既带了汉堡又带了鸡腿，1个人既带了鸡腿又带了个人既带了鸡腿又带了芝士蛋糕芝士蛋糕2个人既带了汉堡又带了芝土蛋糕问：个人既带了汉堡又带了芝土蛋糕问：三种都带了的有几人？三种都带了的有几人？只带了一种的有几个？只带了一种的有几个？【例【例 14 14】(2008(2008 年西城实验考题年西城实验考题)新年联欢会上，新年联欢会上，共有共有
12、 9090 人参加了跳舞、人参加了跳舞、合唱、合唱、演奏三种节目的演出演奏三种节目的演出如如果只参加跳舞的人数三倍于只参加合唱的人数；同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少果只参加跳舞的人数三倍于只参加合唱的人数；同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少 7 7人；只参加演奏的比同时参加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多人；只参加演奏的比同时参加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多4 4 人；人；5050 人没有参加演奏；人没有参加演奏；1010人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏；人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏；4040 人参加了合唱；那么，同时参加了演奏、合唱但人参加了合唱；那么，同时参加了演奏
13、、合唱但没有参加跳舞的有没有参加跳舞的有_人人【例【例 15 15】全班有全班有25个学生，其中个学生，其中17人会骑自行车，人会骑自行车，13人会游泳，人会游泳，8人会滑冰，这三个运动项目没有人全人会滑冰，这三个运动项目没有人全会，至少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了，但又都不是优秀若全班有会，至少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了，但又都不是优秀若全班有6个人数学个人数学不及格，那么，不及格，那么，数学成绩优秀的有几个学生？数学成绩优秀的有几个学生？有几个人既会游泳，又会滑冰？有几个人既会游泳，又会滑冰？【例【例 16 16】以以 105105 为分母的最简真分数共有多少个？它们的和为多少？为分母的最简真分数共有多少个？它们的和为多少？【例【例 17 17】(2008(2008 年西城实验考题年西城实验考题)在在 1 1 至至 20082008 这这 20082008 个自然数中，恰好是个自然数中，恰好是 3 3、5 5、7 7 中两个数的倍数的中两个数的倍数的数共有数共有个个小学奥数