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1、小学奥数比例解行程问题比例解行程问题知识精讲知识精讲比例的知识是小学数学最后一个重要内容，从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学“压轴知识点”的角色。从一个工具性的知识点而言，比例在解很多应用题时有着“得天独厚”的优势，往往体现在方法的灵活性和思维的巧妙性上，使得一道看似很难的题目变得简单明了。比例的技巧不仅可用于解行程问题，对于工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。我们常常会应用比例的工具分析2 个物体在某一段相同路线上的运动情况，我们将甲、乙的速度、时s乙来表示，大体可分为以下两种情况：间、路程分别用v甲,v乙；t甲,t乙；s甲，1.当 2 个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过同一
2、段时间后，他们走过的路程之比就等于他们的速度之比。s甲 v甲t甲ss，这里因为时间相同，即t甲 t乙 t,所以由t甲甲，t乙乙v甲v乙s乙 v乙t乙得到t s甲s乙s甲v甲，甲乙在同一段时间 t 内的路程之比等于速度比v甲v乙s乙v乙2.当 2 个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相同的路程时，2 个物体所用的时间之比等于他们速度的反比。s甲 v甲t甲，这里因为路程相同，即s甲 s乙 s，由s甲 v甲t甲，s乙 v乙t乙s乙 v乙t乙得s v甲t甲 v乙t乙，v甲t乙，甲乙在同一段路程s 上的时间之比等于速度比的反比。v乙t甲模块一：比例初步利用简单倍比关系进行解题【例【例 1 1】
3、（难度等级（难度等级）上午）上午 8 8 点点 8 8 分，小明骑自行车从家里出发，分，小明骑自行车从家里出发，8 8 分钟后，爸爸骑摩托车去追分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家他，在离家 4 4 千米的地方追上了他千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是明的时候，离家恰好是 8 8 千米，这时是几点几分？千米，这时是几点几分？【巩固】【巩固】（难度等级（难度等级）欢欢和贝贝是同班同学，并且住在同一栋楼里早晨）欢欢和贝贝是同班同学，并且住在同一栋楼里早晨7:407:40，欢欢从家出，欢欢从家
4、出发骑车去学校，发骑车去学校，7:467:46 追上了一直匀速步行的贝贝；看到身穿校服的贝贝才想起学校的通知，追上了一直匀速步行的贝贝；看到身穿校服的贝贝才想起学校的通知，欢欢立即调头，并将速度提高到原来的欢欢立即调头，并将速度提高到原来的 2 2 倍，回家换好校服，再赶往学校；欢欢倍，回家换好校服，再赶往学校；欢欢 8:008:00 赶到学赶到学校时，贝贝也恰好到学校如果欢欢在家换校服用去校时，贝贝也恰好到学校如果欢欢在家换校服用去 6 6 分钟且调头时间不计，那么贝贝从家里分钟且调头时间不计，那么贝贝从家里出发时是几点几分出发时是几点几分小学奥数小学奥数【例【例 2 2】难度等级难度等级）
5、甲、乙两车分别同时从）甲、乙两车分别同时从 A A、B B 两地相对开出，第一次在离两地相对开出，第一次在离 A A 地地 9595 千米处相千米处相遇相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离遇相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B B 地地 2525 千米处相遇求千米处相遇求A A、B B 两地两地间的距离？间的距离？【巩固】【巩固】（难度等级（难度等级）地铁有）地铁有 A A，B B 两站，甲、乙二人都要在两站间往返行走两站，甲、乙二人都要在两站间往返行走.两人分别从两人分别从 A A，B B 两站同时出发，他们第一次相遇时距两站同时出发，他们第一次相遇时距 A A 站
6、站 800800 米，第二次相遇时距米，第二次相遇时距 B B 站站 500500 米米.问：两站问：两站相距多远？相距多远？【巩固】【巩固】（难度等级（难度等级）如右图，）如右图，A A，B B 是圆的直径的两端，甲在是圆的直径的两端，甲在 A A 点，乙在点，乙在 B B 点同时出发反向点同时出发反向而行，两人在而行，两人在 C C 点第一次相遇，在点第一次相遇，在 D D 点第二次相遇点第二次相遇.已知已知 C C 离离 A A 有有 8080 米，米，D D 离离 B B 有有 6060米，求这个圆的周长米，求这个圆的周长.【例【例 3 3】（难度等级（难度等级）甲、乙两人从相距）甲、
7、乙两人从相距 490490 米的米的 A A、B B 两地同时步行出发，相向而行，两地同时步行出发，相向而行，丙与甲同时从丙与甲同时从 A A 出发，在甲、乙二人之间来回跑步出发，在甲、乙二人之间来回跑步(遇到乙立即返回，遇到甲也立即返回遇到乙立即返回，遇到甲也立即返回)已已知丙每分钟跑知丙每分钟跑 240240 米，甲每分钟走米，甲每分钟走 4040 米，当丙第一次折返回来并与甲相遇时，甲、乙二人相米，当丙第一次折返回来并与甲相遇时，甲、乙二人相距距 210210 米，那么乙每分钟走米，那么乙每分钟走_米；甲下一次遇到丙时，甲、乙相距米；甲下一次遇到丙时，甲、乙相距_米米【巩固】【巩固】（难
8、度等级（难度等级）甲、乙两车同时从）甲、乙两车同时从 A A 地出发，不停地往返行驶于地出发，不停地往返行驶于 A A、B B 两地之间已知两地之间已知甲车的速度比乙车快，甲车的速度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中 C C 地地甲车的速度是乙车甲车的速度是乙车速度的多少倍？速度的多少倍？【例【例 4 4】（难度等级（难度等级）甲、乙两人同时从）甲、乙两人同时从A A 地出发，在地出发，在 A A、B B 两地之间匀速往返行走，甲的两地之间匀速往返行走，甲的速度大于乙的速度，速度大于乙的速度，甲每次到达甲每次到达 A A 地、地、B B
9、地或遇到乙都会调头往回走，地或遇到乙都会调头往回走，除此以外，除此以外，两人在两人在 A A、B B 之间行走方向不会改变，之间行走方向不会改变，已知两人第一次相遇点距离已知两人第一次相遇点距离 B B 地地18001800 米，米，第三次相遇点距离第三次相遇点距离 B B 地地800800 米，那么第二次相遇的地点距离米，那么第二次相遇的地点距离 B B 地多少米？地多少米？【例【例 5 5】（难度等级（难度等级）每天早晨，小刚定时离家步行上学，张大爷也定时出家门散步，他们相向）每天早晨，小刚定时离家步行上学，张大爷也定时出家门散步，他们相向而行，并且准时在途中相遇有一天，小刚提早出门，因此
10、比平时早而行，并且准时在途中相遇有一天，小刚提早出门，因此比平时早7 7 分钟与张大爷相遇已分钟与张大爷相遇已知小刚步行速度是每分钟知小刚步行速度是每分钟 7070 米，张大爷步行速度是每分钟米，张大爷步行速度是每分钟 4040 米，那么这一天小刚比平时早米，那么这一天小刚比平时早出门多少分钟？出门多少分钟？模块二：时间相同速度比等于路程比【例【例 6 6】（难度等级（难度等级）A A、B B 两地相距两地相距 72007200 米，甲、乙分别从米，甲、乙分别从 A A，B B 两地同时出发，结果两地同时出发，结果在距在距 B B 地地 24002400 米处相遇如果乙的速度提高到原来的米处相
11、遇如果乙的速度提高到原来的 3 3 倍，那么两人可提前倍，那么两人可提前 1010 分钟相遇，分钟相遇，则甲的速度是每分钟行多少米？则甲的速度是每分钟行多少米？【例【例 7 7】（难度等级（难度等级）甲、乙二人分别从）甲、乙二人分别从 A A、B B 两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度之比两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度之比是是 4:34:3，二人相遇后继续行进，甲到达，二人相遇后继续行进，甲到达 B B 地和乙到达地和乙到达 A A 地后都立即沿原路返回，已知二人第地后都立即沿原路返回，已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点二次相遇的地点距第一次相遇的地点 3030 千米，则千米，
12、则 A A、B B 两地相距多少千米？两地相距多少千米？小学奥数小学奥数【巩固】【巩固】（难度等级（难度等级）甲、乙两车分别从）甲、乙两车分别从 A A、B B 两地出发，在两地出发，在 A A、B B 之间不断往返行驶，已知之间不断往返行驶，已知甲车的速度是乙车的速度的甲车的速度是乙车的速度的3，并且甲、乙两车第，并且甲、乙两车第 20072007 次相遇（这里特指面对面的相遇）的次相遇（这里特指面对面的相遇）的7地点与第地点与第 20082008 次相遇的地点恰好相距次相遇的地点恰好相距 120120 千米，千米，那么，那么，A A、B B 两地之间的距离等于多少两地之间的距离等于多少 千
13、米？千米？【例【例 8 8】（难度等级（难度等级）B B 地在地在 A A，C C 两地之间甲从两地之间甲从 B B 地到地到 A A 地去送信，甲出发地去送信，甲出发 1010 分后，分后，乙从乙从 B B 地出发到地出发到 C C 地去送另一封信，乙出发后地去送另一封信，乙出发后 1010 分，丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了，分，丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了，于是他从于是他从 B B 地出发骑车去追赶甲和乙，以便把信调过来已知甲、乙的速度相等，丙的速度是地出发骑车去追赶甲和乙，以便把信调过来已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的甲、乙速度的 3 3 倍，丙从出发到把信调过来后返
14、回倍，丙从出发到把信调过来后返回 B B 地至少要用多少时间。地至少要用多少时间。【例【例 9 9】（难度等级（难度等级）甲、甲、乙两人同时从乙两人同时从 A A、B B 两点出发，两点出发，甲每分钟行甲每分钟行 8080 米，米，乙每分钟行乙每分钟行 6060米，出发一段时间后，两人在距中点的米，出发一段时间后，两人在距中点的 C C 处相遇；如果甲出发后在途中某地停留了处相遇；如果甲出发后在途中某地停留了 7 7 分钟，分钟，两人将在距中点的两人将在距中点的 D D 处相遇，且中点距处相遇，且中点距 C C、D D 距离相等，问距离相等，问 A A、B B 两点相距多少米？两点相距多少米？
15、【例【例 10 10】（难度等级（难度等级）甲、乙两车分别从）甲、乙两车分别从 A A、B B 两地同时出发，相向而行出发时，甲、乙两地同时出发，相向而行出发时，甲、乙的速度之比是的速度之比是 5:45:4，相遇后甲的速度减少相遇后甲的速度减少 20%20%，乙的速度增加乙的速度增加 20%20%这样当甲到达这样当甲到达 B B 地时，地时，乙离乙离 A A 地还有地还有 1010 千米那么千米那么 A A、B B 两地相距多少千米？两地相距多少千米？【例【例 11 11】（难度等级（难度等级）早晨，小张骑车从甲地出发去乙地下午）早晨，小张骑车从甲地出发去乙地下午 1 1 点，小王开车也从甲地
16、点，小王开车也从甲地出发，前往乙地下午出发，前往乙地下午 2 2 点时两人之间的距离是点时两人之间的距离是 1515 千米下午千米下午 3 3 点时，两人之间的距离还点时，两人之间的距离还是是 l5 l5 千米下午千米下午 4 4 点时小王到达乙地，晚上点时小王到达乙地，晚上 7 7 点小张到达乙地小张是早晨几点出发？点小张到达乙地小张是早晨几点出发？【例【例 12 12】（难度等级（难度等级）从甲地到乙地，需先走一段下坡路，再走一段平路，最后再走一段上）从甲地到乙地，需先走一段下坡路，再走一段平路，最后再走一段上坡路。其中下坡路与上坡路的距离相等。陈明开车从甲地到乙地共用了坡路。其中下坡路与
17、上坡路的距离相等。陈明开车从甲地到乙地共用了 3 3 小时，其中第一小时小时，其中第一小时比第二小时多走比第二小时多走 1515 千米，第二小时比第三小时多走千米，第二小时比第三小时多走 2525 千米。如果汽车走上坡路比走平路每千米。如果汽车走上坡路比走平路每小时慢小时慢 3030 千米，走下坡路比走平路每小时快千米，走下坡路比走平路每小时快 1515 千米。那么甲乙两地相距多少千米？千米。那么甲乙两地相距多少千米？模块三：路程相同速度比等于时间的反比【例【例 13 13】（难度等级（难度等级）在一圆形跑道上，甲从）在一圆形跑道上，甲从 A A 点、乙从点、乙从 B B 点同时出发反向而行，
18、点同时出发反向而行，6 6 分后两分后两人相遇，再过人相遇，再过 4 4 分甲到达分甲到达 B B 点，又过点，又过 8 8 分两人再次相遇分两人再次相遇.甲、乙环行一周各需要多少分？甲、乙环行一周各需要多少分？【例【例 14 14】（难度等级（难度等级）上午）上午 8 8 点整，甲从点整，甲从 A A 地出发匀速去地出发匀速去 B B 地，地，8 8 点点 2020 分甲与从分甲与从 B B 地出地出发匀速去发匀速去 A A 地的乙相遇；地的乙相遇；相遇后甲将速度提高到原来的相遇后甲将速度提高到原来的 3 3 倍，倍，乙速度不变；乙速度不变；8 8 点点 3030 分，分，甲、甲、乙两人同时
19、到达各自的目的地那么，乙从乙两人同时到达各自的目的地那么，乙从 B B 地出发时是地出发时是 8 8 点几分点几分【例【例 15 15】（难度等级（难度等级）小芳从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路，）小芳从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路，一半下坡路小芳上学走这两条路所用的时间一样多已知下坡的速度是平路的一半下坡路小芳上学走这两条路所用的时间一样多已知下坡的速度是平路的 1.61.6 倍，那么倍，那么上坡的速度是平路速度的多少倍？上坡的速度是平路速度的多少倍？小学奥数小学奥数【例【例 16 16】（难度等级（难度等级）一列火车出发）一列火车出发
20、1 1 小时后因故停车小时后因故停车 0.50.5 小时，然后以原速的小时，然后以原速的3前进，最前进，最4终到达目的地晚终到达目的地晚 1.51.5 小时若出发小时若出发 1 1 小时后又前进小时后又前进 9090 公里再因故停车公里再因故停车 0.50.5 小时，然后同样小时，然后同样以原速的以原速的3前进，则到达目的地仅晚前进，则到达目的地仅晚 1 1 小时，那么整个路程为多少公里小时，那么整个路程为多少公里？4【例【例 17 17】（难度等级（难度等级）王叔叔开车从北京到上海，）王叔叔开车从北京到上海，从开始出发，车速即比原计划的速度提高了从开始出发，车速即比原计划的速度提高了1/91
21、/9，结果提前一个半小时到达；返回时，按原计划的速度行驶，结果提前一个半小时到达；返回时，按原计划的速度行驶 280280 千米后，将车速提高千米后，将车速提高 1/61/6，于是提前于是提前 1 1 小时小时 4040 分到达北京北京、上海两市间的路程是多少千米？分到达北京北京、上海两市间的路程是多少千米？【巩固】【巩固】（难度等级（难度等级）一辆汽车从甲地开往乙地，一辆汽车从甲地开往乙地，如果车速提高如果车速提高 20%20%可以提前可以提前 1 1 小时到达小时到达 如如果按原速行驶一段距离后，再将速度提高果按原速行驶一段距离后，再将速度提高 30%30%，也可以提前，也可以提前 1 1
22、 小时到达，那么按原速行驶了小时到达，那么按原速行驶了全部路程的几分之几？全部路程的几分之几？模块四、比例综合题【例【例 18 18】（难度等级（难度等级）甲、乙两人同时从）甲、乙两人同时从 A A 地出发到地出发到 B B 地，经过地，经过 3 3 小时，甲先到小时，甲先到 B B 地，乙地，乙还需要还需要 1 1 小时到达小时到达 B B 地，此时甲、乙共行了地，此时甲、乙共行了 3535 千米求千米求 A A，B B 两地间的距离两地间的距离【例【例 19 19】（难度等级（难度等级）甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的）甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山速度的下山速度都是各自上山速度的 1.51.5 倍，而且甲比乙速度快。两人出发后倍，而且甲比乙速度快。两人出发后 1 1 小时，甲与乙在离小时，甲与乙在离山顶山顶 600600 米处相遇，当乙到达山顶时，甲恰好到半山腰。那么甲回到出发点共用多少小时？米处相遇，当乙到达山顶时，甲恰好到半山腰。那么甲回到出发点共用多少小时？小学奥数