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1、 2023 届高考理科数学模拟试卷三十一（含参考答案）一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.）1.i为虚数单位，若11aiii，则a的值为 A.i B.i C.2i D.2i 2.已知变量,x y满足1,2,0.xyxy则xy的最小值是 A.2 B.3 C.4 D.5 3.已知集合|-22Axaxa，|24 Bx xx 或，则AB的充要条件是 A.02a B.22a C.02a D.02a 4为了得到函数的图象，可以将函数的图象 A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向左平移个
2、单位长度 5.设向量(cos55,sin55),(cos25,sin 25)ab，若t是实数，则|atb的最小值为 A.22 B.21 C.1 D.2 6已知函数是定义在 R 上的奇函数,且它的图像关于直线 x=1 对称,若函数,则 A B C D 7一个棱长为 2 的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图 所示，则该几何体的体积为 A7 B.223 C.476 D.233 8.已知4cossin365，则7sin6的值是 A2 35 B2 35 C45 D 45 9.设函数的定义域为，若所有点构成一个正方形区域，则的值为 A B C D不能确定 10.在ABC中，E，F分别为,A
3、B AC中点，P为EF上任意一点，实数,x y满足0PAxPByPC，设,ABCPCAPAB的 面 积 分 别 为1121,=SS S SS记，2212SS，则取得最大值时，23xy的值为 A.52 B.52 C.32 D.32 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分.11.由曲线2,xyxy所围成图形的面积是_。12.设向量)1,(),2,1(xba，)(2,2Rkbadbac，若dc/，则x 13.曲线33yxx在点1,3处的切线方程为_.14 若 xxxfaaloglog2对任意21,0 x恒意义,则实数a的范围 15.关于函数 cos22 3sincosf xxx
4、x，下列命题：、若存在1x，2x有12xx时，12f xf x成立；、f x在区间,6 3 上是单调递增；、函数 f x的图像关于点,012成中心对称图像；、将函数 f x的图像向左平移512个单位后将与2sin 2yx的图像重合其中正确的命题序号 （注：把你认为正确的序号都填上）三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16.（本小题满分 13 分）已知向量.4cos,4cos,2,4sin322xxnxm （I）若3cos,2xnm求的值；（II）记nmxf)(，在ABC中，角 A、B、C 的对边分别是cba,，且满足2
5、()(0)f xaxbxc aD(,()(,)s f ts tDa248 CbBcacoscos)2(，求)(Af的取值范围。17.（本小题满分 13 分）已知直三棱柱111CBAABC 中，ABC为等腰直角三角形，BAC 90，且AB1AA，D、E、F分别为AB1、CC1、BC的中点（I）求证：DE平面ABC；（II）求证：FB1平面AEF；（III）求二面角FAEB1的余弦值 18.（本小题满分 13 分）已知一家公司生产某种产品的年固定成本为 10 万元，每生产 1 千件该产品需另投入 2.7 万元，设该公司一年内生产该产品x千件并全部销售完，每千件的销售收入为)(xR万元,且)10(,
6、31000-108)100(,301810)(22xxxxx-.xR.(1)写出年利润 W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一产品的产销过程中所获得的年利润最大？19（本小题满分 13 分）如图，长方体 ABCDA1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，AD=m，E 为 BC 中点，且AEA1恰为二面角 A1EDA 的平面角.（1）求证：平面 A1DE平面 A1AE；（2）求异面直线 A1E、CD 所成的角；（3）设A1DE 的重心为 G，问是否存在实数，使得AM=AD，且 MG平面 A1ED 同时成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.D1 A
7、 B C D A1 B1 C1 E 20（本小题满分 14 分）已知函数)(xf满足2(2)()0f xf x,当2,0 x时,axxxf ln)(21a,当2,4 x时,)(xf的最大值为-4(I)求实数a的值；(II)设0b，函数bxbxxg331)(，2,1x若对任意的 2,11x,总存在 2,12x,使0)()(21xgxf,求实数b的取值范围 21本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题 7 分，请考生任选 2 题做答，满分 14 分如果多做，则按所做的前两题记分（1）选修 42：矩阵与变换在平面直角坐标系 xOy 中，直线ykx在矩阵0110对应的变换下得到的直线过点(4 1)
8、P,，求实数k的值（2）选修 44：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知圆sina（0a）与直线cos1相切，求实数 a 的值（3）选修 45：不等式选讲 已知正数a，b，c满足1abc，求证：(2)(2)(2)27abc 参考答案 一、填空题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A B B C D C B B 二、填空题 1113 12.12 13.2x-y+1=0 14.1,1)16 15.三、解答题 16.（1）mn=22 3sincos2cos444xxx=3sincos122xx =2sin()126x mn=2,4 分=6 分 （2）（2a-c）cosB=
9、bcosC,由正弦定理得,，且,8 分 10 分 又f（x）=mn2sin()126x，f（A）=2sin()126A 故 f（A）的取值范围是（2,3）13 分 17.解：方法 1：如图建立空间直角坐标系 Oxyz，令 ABAA14，则 A（0，0，0），E（0，4，2），F（2，2，0），B（4，0，0），B1（4，0，4），D（2，0，2），（2 分）（I）DE（2，4，0），面 ABC 的法向量为1OA（0，0，4），DE01OA，DE平面 ABC，DE平面 ABC （4 分）（II）)222()422(1，EFFB 0)2()4()2(22)2(1 EFFB 1sin()262x2c
10、os()12sin()326xx 12(2sinsin)cossincosACBBC2sinsincossincosAcosBCBBC2sincossin()ABBCABCsin()sinBCAsin0A1cos,23BB203A1,sin()16262 226AA 00)4(222)2(1 AFFB（6 分）AFFBAFFB，11 AEFFBFFEAF平面，1 （8 分）（III）平面 AEF 的法向量为)422(1，FB，设平面 B1AE 的法向量为 nxyznAEnB A()，001 即002zxzy （10 分）令x2，则212(12，nyz662496|cos111，FBnFBnFB
11、n 二面角 B1AEF 的余弦值为66 （13 分）18.综合知：当9x 时，W 取得最大值为 38.6 万元，故当年产量为 9 千件时，该公司在这一产品的产销过程中所获的年利润最大 19.如图建立空间直角坐标系，则)0,0,1(),2,0,0(),0,0,0(1BAA)0,2,1(),0,0(mEmD （1）1AEA为二面角 A1EDA 的平面角.EDAEEDEA,1 AEAEDEAEEA面,1 EDAED1面，AEAEDA11平面平面 4 分（2）)0,2,1(),0,2,1(),2,2,1(1mAEmEDmEA 1AEA为二面角 A1EDA 的平面角.EDAE，即0EDAE 2m，取 A
12、D 中点 F，则)0,1,0(F )0,0,1(),2,1,1(1EFEA，21,cos111EFEAEFEAEFEA 所以0160EFA，即异面直线 A1E、CD 所成的角为060 8 分 （3）依题意)0,2,0(,),32,1,31(MADAMG 假设存在满足题设条件，则01EAMG且0EDMG 即0320)21(13110322)21()1(311 31 13 分 20.(I)由已知,得2(2)()f xf x,)4(4)2(2)(xfxfxf 4 分2,0 x时,axxxf ln)(,设2,4 x,则2,04x,)4()4ln()4(xaxxf,2,4 x时,)4(4)4ln(4)4
13、(4)(xaxxfxf,所以0444)(axxf,2,4 x，44 16axa，21a，41ax又由21a,可得2414a,)(xf在41,4a上是增函数,在)241(，a上是减函数,max111(x)(4)4ln()4a(4ffaaa ）a=-1 7分（II）设)(xf的值域为 A，)(xg的值域为 B，则由已知，对于任意的)21(1，x，总存在)2,1(2x，使0)()(21xgxf得，BA 9 分 由（I）a=-1，当)21(，x时,xxxf ln)(,11()1xfxxx,），（21x,0)(xf，)(xf在），（21x上单调递减函数,)(xf的值域为 A=)1,22(ln 10 分)
14、1)(1()(2xxbbbxxg,（1）当0b时，)(xg在)21(，上是减函数，此时，)(xg的值域为)3232(bbB，为满足BA，又.1032b.22ln32b即32ln23b 12 分（2）当0b时，)(xg在)21(，上是单调递增函数，此时，)(xg的值域为)3232(bbB，为满足BA，又,22ln32b,2ln233)22(ln23b,综上可知 b 的取值范围是33,ln233ln2,22 14 分 21.解：设变换 T：xxyy ，则0110 xxyyyx ，即.xyyx ，3 分 代入直线ykx，得xky将点(4 1)P，代入上式，得 k47 分 解：将圆sina化成普通方程为22xyay，整理，得22224aaxy 将直线cos1化成普通方程为20 xy 4 分 由题意，得2222aa解得42 2a 7 分 证明：(2)(2)(2)abc(1 1)(1 1)(1 1)abc 3 分 333333abc 327abc27（当且仅当1abc时等号成立）7分