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1、正弦定理与余弦定理正弦定理与余弦定理 高三数学组高三数学组第第三三章章三三角角函函数数、解解三三角角形形第第七七节节正正弦弦定定理理和和余余弦弦定定理理抓抓 基基 础础明明 考考 向向提提 能能 力力考纲要求考纲要求 备考方向要明了备考方向要明了考考 什什 么么 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题角形度量问题.怎怎 么么 考考正弦定理和余弦定理是每年高考的必考内容，其考查题型正弦定理和余弦定理是每年高考的必考内容，其考查题型为选择题、填空题和解答题，选择题、填空题主要考查利为选择题、填空题和解答题，选择题、填空题主要考查利用这两
2、个定理解三角形以及三角形面积公式的应用；解答用这两个定理解三角形以及三角形面积公式的应用；解答题常与三角恒等变换结合，属解答题的中档题。题常与三角恒等变换结合，属解答题的中档题。l教学重点教学重点：利用正、余弦定理求三角形中利用正、余弦定理求三角形中 的边、角及其面积问题的边、角及其面积问题 三角形形状的判断三角形形状的判断l教学难点：正弦定理、余弦定理的灵活运教学难点：正弦定理、余弦定理的灵活运 用用一、正、余弦定理一、正、余弦定理定理定理正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理内容内容a2 ；b2 ；c2 .b2c22bccosAa2c22accosBa2b22abcosC定理定理正弦定理正弦定理
3、余弦定理余弦定理变变形形形形式式a ，b ，c ；sinA ，sinB ，sinC ；(其中其中R是是ABC外接圆半径外接圆半径)abcasinBbsinA，bsinCcsinB，asinCcsinA.cosA ；cosB ；cosC .2RsinA2RsinB2RsinCsinAsinBsinC定理定理正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理解决解决的问的问题题已知两角和任一边，求已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；另一角和其他两条边；已知两边和其中一边的已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两对角，求另一边和其他两角角.已知三边，求各已知三边，求各角；角；已知两边和它们已知两边和它们的夹角，
4、求第三边的夹角，求第三边和其他两个角和其他两个角.二、三角形常用面积公式二、三角形常用面积公式 1.S12aha(ha表示表示边边a上的高上的高)；2.S12absin C ；3.S12r(abc)(r为为内切内切圆圆半径半径)三、在三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.角角A是直角（三角形是直角（三角形ABC是直角三角形是直角三角形）角角A是是钝钝角（三角形角（三角形ABC是是钝钝角三角形）角三角形）角角A是是锐锐角（三角形角（三角形ABC不一定是不一定是锐锐角三角形）角三角形）学案做得好的同学：李甜甜 姚秀君 曹文凯 卢丹娜 宋丹丹 王林静 杜洁琼 王文静学案中出错较多的题
5、目：l例1（2）例2（2）考点3（变式训练2）真题强化：3、6 、9合作讨论探究：l1-4组讨论：例1（2）、真题强化3l5-8组讨论：例2（2）、真题强化6l9-12组讨论：考点3（变式训练2）、真题强化9本节课重点解决的问题本节课重点解决的问题l例例1（2）例例2（2）真题强化：真题强化：3、6-3分-5分-8分-10分-12分规范解答规范解答 (1)由正弦定理得，由正弦定理得，sin2Asin Bsin Bcos2A 2sin A，即即sin B(sin2Acos2A)2sin A.故故sin B 2sinA，所以，所以ba 2.(2)由余弦定理和由余弦定理和c2b2 3a2，得，得co
6、s B(1 3)a2c.由由(1)知知b22a2，故故c2(2 3)a2.可得可得cos2B12，又又cos B0，故故cos B22，所以所以B45.-冲关锦囊冲关锦囊(1)解三角形时，有解三角形时，有 时可用正弦定理，也可用余弦定理，应时可用正弦定理，也可用余弦定理，应 注意用哪一个定理更方便、简捷注意用哪一个定理更方便、简捷(2)已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通 常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断常根据三角函数值的有界性
7、和大边对大角定理进行判断.精析考题精析考题例例2(2010辽宁高考辽宁高考)在在ABC中中a，b，c分别为内角分别为内角A，B，C的对边，且的对边，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求求A的大小；的大小；(2)若若sin Bsin C1，试判断，试判断ABC的形状的形状冲关锦囊冲关锦囊 依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法要有如下两种方法1利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的式分解、配方
8、等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；形状；2利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用而判断出三角形的形状，此时要注意应用ABC这这个结论个结论注意：注意：在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.真题强化：6（2013江西卷）江西卷）在在ABC中，角中，角A，B，C所对的边分别为所对的边分
9、别为a，b，c，已知已知cosC+（cosA-sinA）cosB=0.（1）求角）求角B的大小；的大小；（2）若）若a+c=1，求，求b的取值范围的取值范围8（2012浙江卷）浙江卷）在在ABC中，角中，角A，B，C所对的边分别为所对的边分别为a，b、c，已知已知 （1）求）求 tanC 的值；的值；（2）若）若 ,求求ABC的面积。的面积。跟踪练习跟踪练习1 在在ABC中，若中，若acosAbcosBccosC，则则ABC是是()A直角三角形直角三角形 B等等边边三角形三角形 C钝钝角三角形角三角形 D 等腰直角三角形等腰直角三角形 2在在ABC中，内角中，内角 A，B，C 的的对边对边分分
10、别别是是 a，b，c，若，若a2b2 3bc，sin C2 3sin B，则则角角 A 的大小的大小为为_ 1 1解析解析 由正弦定理得由正弦定理得a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC(R为为ABC外接外接圆圆半径半径)sinAcosAsinBcosBsinCcosC，即，即tanAtanBtanC，ABC.2通过本节课的学习你学到了什么？通过本节课的学习你学到了什么？课堂小结：课堂小结：（1）正余弦定理和三角形面积公式是本节的重点，）正余弦定理和三角形面积公式是本节的重点，利用三角形内角和、边、角之间的关系，三角函利用三角形内角和、边、角之间的关系，三角函数的变形公式去判断三角形的形状，求解三角形，数的变形公式去判断三角形的形状，求解三角形，以及利用它们解决一些实际问题。以及利用它们解决一些实际问题。（2）在利用正余弦定理解决三角形问题时常把已知）在利用正余弦定理解决三角形问题时常把已知条件化为边边关系，通过因式分解、配方等得出条件化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系；或者将已知条件转化为内角的三边的相应关系；或者将已知条件转化为内角的三角函数间关系，通过三角恒等变换，得出内角的角函数间关系，通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意关系，此时要注意A+B+C=这个结论。这个结论。课后作业课后作业：l正弦定理与余弦定理课时作业正弦定理与余弦定理课时作业