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1、角平分线的性质角平分线的性质本课内容本节内容1.4 角平分线是以一个角的顶点为端点的一条射角平分线是以一个角的顶点为端点的一条射线，它把这个角分成两个相等的角线，它把这个角分成两个相等的角.探究探究 如图如图1-26，在，在AOB的平分线的平分线OC上任取一点上任取一点P，作作PDOA，PEOB，垂足分别为点垂足分别为点D，E，试问试问PD与与PE相等吗？相等吗？图图1-26你能证明吗？你能证明吗？将将AOB 沿沿OC 对折，我发现对折，我发现PD与与PE 重合，重合，即即PD与与PE相相等等.图图1-26 PDOA，PEOB，PDO=PEO=90.在在PDO和和PEO中，中，PDO=PEO，
2、DOP=EOP，OP=OP，PDOPEO.PD=PE.我们来证明这个结论我们来证明这个结论.图图1-26图图1-26结论结论角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等.由此得到角平分线的性质定理：由此得到角平分线的性质定理：动脑筋动脑筋 角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上吗？分线上吗？如图如图1-27，点，点P 在在AOB 的内部，的内部，作作PDOA，PEOB，垂足分别为点垂足分别为点D，E.若若PD=PE，那么点那么点P在在AOB的平分线上吗？的平分线上吗？图图1-27在在RtPDO和和RtPEO中，中，
3、OP=OP，PD=PE，RtPDO RtPEO.PDOA，PEOB，PDO=PEO=90.如图如图1-27，过点，过点O，P作射线作射线OC.AOC=BOC.OC是是AOB的平分线，即点的平分线，即点P在在AOB的平分线的平分线OC上上.图图1-27结论结论角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.由此得到角平分线的性质定理的逆定理：由此得到角平分线的性质定理的逆定理：举举例例例例1 如图如图1-28，BAD=BCD=90，1=2.（1）求证：点）求证：点B在在ADC的平分线上；的平分线上；（2）求证：）求证：BD是是ABC的平分线的平分线.图图
4、1-28证明：证明：在在ABC中，中，1=2，BA=BC.又又 BAAD，BCCD，点点B在在ADC的平分线上的平分线上.图图1-28（1）求证：点）求证：点B在在ADC的平分线上；的平分线上；图图1-28证明：证明：在在RtBAD和和RtBCD中，中，BA=BC，BD=BD，RtBAD RtBCD.ABD=CBD.BD是是ABC的平分线的平分线.（2）求证：）求证：BD是是ABC的平分线的平分线.解解 作作AOB的角平分线，交的角平分线，交MN于一点，则这点即为所于一点，则这点即为所 求作的点求作的点P.（提示：用尺规作图）（提示：用尺规作图）练习练习1.如图，在直线如图，在直线MN上求作一
5、点上求作一点P，使点，使点P到到AOB两边两边 的距离相等的距离相等.P2.如图，在如图，在ABC 中，中，AD 平分平分BAC，DEAB 于点于点E，DFAC 于点于点F，BD=CD.求证：求证：AB=AC.证明证明 点点D在在BAC的平分线上，的平分线上，DEAB，DFAC，DE=DF.AB=AC.在在RtBED和和RtCFD中，中，BD=CD，DE=DF，RtBED RtCFD.B=C.动脑筋动脑筋 如图如图1-29，已知已知EFCD，EFAB，MNAC，M是是EF 的中点的中点.需添加一个什么条件，需添加一个什么条件，就可使就可使CM，AM分别为分别为ACD和和CAB的平分线呢？的平分
6、线呢？图图1-29图图1-29 MECD，MNCA，同理可得同理可得AM是是CAB的平分线的平分线.可以添加条件可以添加条件MN=ME（或（或MN=MF）.M在在ACD的平分线上，即的平分线上，即CM是是ACD的平分线的平分线.图图1-29如图如图1-30，在，在ABC 的外角的外角DAC 的平分线上任取的平分线上任取一点一点P，作，作PEDB，PFAC，垂足分别为点垂足分别为点E，F.试探索试探索BE+PF与与PB的大小关系的大小关系.例例2 PE=PF.在在EBP中，中，BE+PEPB，BE+PFPB.AP是是DAC的平分线，的平分线，又又PEDB，PFAC，解解图图1-30举举例例 如图
7、如图1-31，你能在，你能在ABC 中找到一点中找到一点P，使其，使其到三边的距离相等吗？到三边的距离相等吗？动脑筋动脑筋图图1-31 因为角平分线上的点到角的因为角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以只要作两边的距离相等，所以只要作ABC 任意两角（例如任意两角（例如A与与B）的平分线，其交点的平分线，其交点P 即为所求作的即为所求作的点点.点点P也在也在C 的平分线上，如图的平分线上，如图1-32.图图1-32练习练习1.如图，如图，E 是是AOB 的平分线上一点，的平分线上一点，ECOA 于于点点C，EDOB 于点于点D.求证：（求证：（1）ECD=EDC；（2）OC=OD.（2）在）
8、在RtOED和和RtOEC中，中，OE=OE，ED=EC，RtOED RtOEC(HL).).OD=OC.证明证明（1）点点E在在BOA的平分线上，的平分线上，ECAO，EDOB，ED=EC.ECD=EDC.EDC 是个等腰三角形是个等腰三角形.2.如图，在如图，在ABC 中，中，ADDE，BEDE，AC，BC 分别平分分别平分BAD，ABE，点，点C在线段在线段DE上上.求证：求证：AB=AD+BE.M证明证明 作作CMAB于点于点M.AC，BC 分别平分分别平分BAD，ABE，CD=CM，CE=CM.在在RtACD和和RtACM中，中，CM=CD，AC=AC，RtACD RtACM.AD=
9、AM.同理，同理，BE=BM.又又 AB=AM+BM，AB=AD+BE.小结与复习小结与复习1.直角三角形的两个锐角有什么关系？直角三角形的两个锐角有什么关系？2.直角三角形斜边上的中线与斜边有什么关系？直角三角形斜边上的中线与斜边有什么关系？3.请用自己的语言叙述勾股定理及其逆定理请用自己的语言叙述勾股定理及其逆定理.4.判断两个直角三角形全等的方法有哪些？判断两个直角三角形全等的方法有哪些？5.角平分线有哪些性质？角平分线有哪些性质？直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半有两个角互余的三角形是直角三角形有两个角互余的三角形是直角三角形直直角角三三角角形形判
10、定判定全等判定方法全等判定方法角平分线角平分线角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上性质性质直角三角形两个锐角互余直角三角形两个锐角互余有一个角是直角的三角形是直角三角形有一个角是直角的三角形是直角三角形HLSAS ASA AAS SSS角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等勾股定理勾股定理勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理1.1.“斜边、直角边定理斜边、直角边定理”是判定两个直角三角形全等所是判定两个直角三角形全等所独有的，在运用该判定定理时，要注意全等的前提条件独有的，在运用该判定定理时，要注意全等的前提条件是两个直角三角形是两个直角三角形.2.要注意本章中的互逆命题，如直角三角形的性质和判定要注意本章中的互逆命题，如直角三角形的性质和判定定理，勾股定理及其逆定理，角平分线的性质定理及其定理，勾股定理及其逆定理，角平分线的性质定理及其逆定理等，它们都是互为逆命题逆定理等，它们都是互为逆命题.3.勾股定理及其逆定理都体现了数形结合的思想勾股定理及其逆定理都体现了数形结合的思想.勾股定勾股定理体现了由形到数，而勾股定理的逆定理是用代数方法理体现了由形到数，而勾股定理的逆定理是用代数方法来研究几何问题，体现了由数到形来研究几何问题，体现了由数到形.结结 束束