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1、 角平分线的性质 1.角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等在角平分线上的点到角的两边的距离相等 2.角平分线的判定角平分线的判定定理定理:在一个角的内部，在一个角的内部，到一个角的两边的距离相等的点，到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。在这个角平分线上。4.角平分线的角平分线的性质定理性质定理是是证明角相等、线段相等证明角相等、线段相等的新途径的新途径.角平分线的角平分线的逆定理逆定理是是证明点在直线上证明点在直线上(或直线经过某一点或直线经过某一点)的根据之一的根据之一.3.性质定理和逆定理的关系性质定理和逆定理的关系点在角平分线上点在角平
2、分线上 点到角两边的距离相等点到角两边的距离相等回顾：回顾：动脑筋动脑筋 如图如图1-29，已知已知EFCD，EFAB，MNAC，M是是EF 的中点的中点.需添加一个需添加一个什么条件，什么条件，就可使就可使CM，AM分别为分别为ACD和和CAB的平分线呢？的平分线呢？图图1-29 MECD，MNCA，同理可得同理可得AM是是CAB的平分线的平分线.可以添加条件可以添加条件MN=ME（或（或MN=MF）.M在在ACD的平分线上，的平分线上，即即CM是是ACD的平分线的平分线.图图1-29如图如图1-30，在，在ABC 的外角的外角DAC 的平分线上任取一点的平分线上任取一点P，作，作PEDB，
3、PFAC，垂足分别为点垂足分别为点E，F.试探索试探索BE+PF与与PB的大小关系的大小关系.例例2 PE=PF.在在EBP中，中，BE+PEPB，BE+PFPB.AP是是DAC的平分线，的平分线，又又PEDB，PFAC，解解图图1-30举例举例三三.尺规作图尺规作图角平分线的作法角平分线的作法l已知已知:AOB,:AOB,如图如图.l求作求作:射线射线OC,OC,使使AOC=BOCAOC=BOCl作法作法:l用尺规作角的平分线用尺规作角的平分线.ABOl1.1.以以O O为圆心，以任意长为半径画弧交为圆心，以任意长为半径画弧交OAOA、OBOB于点于点E E、D Dl2.2.分别以点分别以点
4、D D和和E E为圆心为圆心,以大于以大于DE/2DE/2长为长为 半径作弧半径作弧,两弧在两弧在AOBAOB内交于点内交于点C Cl3.3.作射线作射线OC.OC.l则射线则射线OCOC就是就是AOBAOB的平分线的平分线.ABOCDE 如图如图1-31，你能在，你能在ABC 中找到一点中找到一点P，使其到三边的距离相等吗？，使其到三边的距离相等吗？动脑筋动脑筋图图1-31 因为角平分线上的点到角的因为角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以只要作两边的距离相等，所以只要作ABC 任意两角（例如任意两角（例如A与与B）的平分线，其交点的平分线，其交点P 即为所求作的即为所求作的点点.点点P也
5、在也在C 的平分线上，如图的平分线上，如图1-32.图图1-32 定理定理:三角形的三条角平分线相交于三角形的三条角平分线相交于一点一点,并且这一点到三边的距离相等并且这一点到三边的距离相等.（这个交点叫做三角形的（这个交点叫做三角形的内心）内心）练习练习1.如图，如图，E 是是AOB 的平分线上一点，的平分线上一点，ECOA 于于点点C，EDOB 于点于点D.求证：（求证：（1）ECD=EDC；（2）OC=OD.（2）在）在RtOED和和RtOEC中，中，OE=OE，ED=EC，RtOED RtOEC(HL).).OD=OC.证明证明（1）点点E在在BOA的平分线上，的平分线上，ECAO，E
6、DOB，ED=EC.ECD=EDC.EDC 是个等腰三角形是个等腰三角形.2.如图，在如图，在ABC 中，中，ADDE，BEDE，AC，BC 分别平分分别平分BAD，ABE，点，点C在线段在线段DE上上.求证：求证：AB=AD+BE.M证明证明 作作CMAB于点于点M.AC，BC 分别平分分别平分BAD，ABE，CD=CM，CE=CM.在在RtACD和和RtACM中，中，CM=CD，AC=AC，RtACD RtACM.AD=AM.同理，同理，BE=BM.又又 AB=AM+BM，AB=AD+BE 挑战自我挑战自我基本应用基本应用填空：填空：(1).1=2,DCAC,DEAB _(_)(1).DC
7、AC,DEAB,DC=DE_(_ _)ACDEB1212DC=DE到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。在角平分线上的点到角的两边的距离相等在角平分线上的点到角的两边的距离相等 1.1.如图如图,AD,AE,AD,AE分别是分别是ABCABC中中A A的内角平的内角平 分线和外角平分线分线和外角平分线,它们有什么关系它们有什么关系?EDABCF.如图如图,求作一点求作一点P,P,使使PC=PD,PC=PD,并并且点且点P P到到AOBAOB的两边的距离相等的两边的距离相等.CDABO.已知已知:如图如图,C=900,B=300,AD是是
8、RtABCABC的角平分线的角平分线.求证求证:BD=2CD.:BD=2CD.ABCD、如图、如图,在在ABCABC中中,已知已知 AC=BC,C=900,AD是是ABCABC的角平线的角平线,DEAB,垂足为垂足为E.(1)如果如果CD=4cm,求求AC的长的长;(2)求证求证:AB=AC+CD.EDABC延伸训练延伸训练:已知：如图所示：已知：如图所示：PA，PC分别是分别是ABC外角外角MAC与与NCA平分线，它平分线，它们交于们交于P，PD BM于于M，PF BN于于F求证：求证：点点P在在 MBN的平分线上的平分线上EBNCFPADM、已知：如图，、已知：如图，B=C=90，M是是
9、BC的中点，的中点，DM平分平分 ADC 求证：求证：AM平分平分DAB。E、已知：、已知：MON中，中，MP平分平分OMN，OP平分平分MON，且，且PDMN，PEON，垂足分别为，垂足分别为点点D、E求证：点求证：点P在在MNO的平分线上的平分线上F小结：小结：1.定理：定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等角平分线上的点到这个角的两边距离相等.2.逆定理逆定理：在一个角的内部在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点且到角的两边距离相等的点,在在这个角的平分线上这个角的平分线上.3.定理定理:三角形的三条角平分线相交于一点三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等并且这一点到三边的距离相等(这个交点叫做三角形的这个交点叫做三角形的内心内心).4.用尺规作角的平分线用尺规作角的平分线.（作法）（作法）C CB B1 1A A2 2P PD DE EO O