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1、角平分线的性质角平分线的性质本课内容本节内容1.4 角平分线是角平分线是从一个角的顶点出发，把这个角从一个角的顶点出发，把这个角分成两个分成两个相等相等的角的的角的射线射线.1.1.什么叫角平分线？什么叫角平分线？2.怎样用尺规作角的平分线？怎样用尺规作角的平分线？复习：复习：尺尺规作角的平分作角的平分线观观察察察察领领悟作法，探索思考悟作法，探索思考悟作法，探索思考悟作法，探索思考证证明方法：明方法：明方法：明方法：A A画法：画法：以为圆心，适当以为圆心，适当长为半径作弧，交于，长为半径作弧，交于，交于交于分别以，为分别以，为圆心大于圆心大于 1/2 的长的长为半径作弧两弧在为半径作弧两弧
2、在的内部交于的内部交于作射线作射线射线即为所求射线即为所求 画画AOB平分线平分线OC，在，在OC上任取一点上任取一点P，过，过P向角的两向角的两边作垂线段边作垂线段PD、PE，你能得出什么结论？你能得出什么结论？思考思考AOBPEDC C你能证明吗？你能证明吗？将将AOB 沿沿OC 对折，我发现对折，我发现PD与与PE 重合，重合，即即PD与与PE相相等等.图图1-26 PDOA，PEOB，PDO=PEO=90.在在PDO和和PEO中，中，PDO=PEO，DOP=EOP，OP=OP，PDOPEO.PD=PE.我们来证明这个结论我们来证明这个结论.图图1-26图图1-26用用符号语言表示为：符
3、号语言表示为：AOBPED121=2 PD OA，PE OBPD=PE.OC是是AOB的平分线，的平分线，点点P在在OC上上，PD OA，PE OBPD=PE.C角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的角的平分线上的点到角的两边的距离距离相等相等角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。角的平分线上的点到角的两边的距离相等。BADOPEC定理应用所具备的条件：（1）角的平分线；）角的平分线；（2）点在该平分线上；）点在该平分线上；（3）垂直距离。）垂直距离。定理的作用：证明线段相等。证明线段相等。推理的理由有三个，推理的理由有三个
4、，必须写完全，不能少必须写完全，不能少了任何一个。了任何一个。同学甲、乙谁的画法是正确的?B 思考：思考：如图所示如图所示OC是是AOB 的的平分线平分线,P 是是OC上任意上任意一点一点,问问PE=PD?为什么为什么?OAEDCPPD,PE没有垂直没有垂直OA,OB,它们不是角它们不是角平分线上任一点这个角两边的距离平分线上任一点这个角两边的距离,所以不一定相等所以不一定相等.1、AD平分平分CAB,DCAC,DEAB _(_)ACDEB12DC=DE角平分线上的点到角的两边的距离相等角平分线上的点到角的两边的距离相等2、判断题判断题（）如图，如图，AD平分平分BAC（已知）已知）BD =D
5、C ，()角的平分线上的点到角的角的平分线上的点到角的两边的距离相等。两边的距离相等。如图，如图，DCAC，DBAB （已知）已知）=，()在角的平分线上的点到这在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。个角的两边的距离相等。BD CD（）AD平分平分BAC,DCAC，DBAB （已知）已知）=，（）DBDC在角的平分线上的点到这个在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。角的两边的距离相等。不必再证全等不必再证全等例例1.如图，如图，ABC的角平分线的角平分线BM、CN相交于点相交于点P.求证：点求证：点P到三边到三边AB、BC、CA的距离相等的距离相等.证明：过点证明：过点P作作PD、
6、PE、PF分别分别垂直于垂直于AB、BC、CA，垂足为垂足为D、E、F BM是是ABC的角平分线，点的角平分线，点P在在BM上上 PD=PE（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）在角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理同理 PE=PF.PD=PE=PF.即点即点P到边到边AB、BC、CA的距离相等的距离相等DEFABCPMN例例2.2.已知：在等腰已知：在等腰RtABCRtABC中，中，AC AC BCBC C C9090，ADAD平分平分 BACBAC，DEABDEAB于点于点E E。求证：求证：BDBDDE DE ACAC 变式变式 已知已知AB 15cm,求求DBE的周长的周长EDC
7、BA动脑筋动脑筋 角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上吗？分线上吗？如图如图1-27，点，点P 在在AOB 的内部，的内部，作作PDOA，PEOB，垂足分别为点垂足分别为点D，E.若若PD=PE，那么点那么点P在在AOB的平分线上吗？的平分线上吗？图图1-27在在RtPDO和和RtPEO中，中，OP=OP，PD=PE，RtPDO RtPEO.PDOA，PEOB，PDO=PEO=90.如图如图1-27，过点，过点O，P作射线作射线OC.AOC=BOC.OC是是AOB的平分线，即点的平分线，即点P在在AOB的平分线的平分线OC上上.图图1-27
8、 角的内部到角的两边距离相等的点在角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。角的平分线上。角平分线的判定定理：角平分线的判定定理：AOBPDEC用用符号语言表示为：符号语言表示为：PD OA，PE OB且且PD=PE OC平分平分AOB.由此得到由此得到角平分线的性质定理的逆定理：角平分线的性质定理的逆定理：已知：如图在四边形已知：如图在四边形 ABCD中，中，ABAD，AB BC，AD DC求证：点求证：点 A在在DCB的平分线上的平分线上 举举例例例例1 如图如图1-28，BAD=BCD=90，1=2.（1）求证：点）求证：点B在在ADC的平分线上；的平分线上；（2）求证：）求证：BD
9、是是ABC的平分线的平分线.图图1-28证明：证明：在在ABC中，中，1=2，BA=BC.又又 BAAD，BCCD，点点B在在ADC的平分线上的平分线上.图图1-28（1）求证：点）求证：点B在在ADC的平分线上；的平分线上；图图1-28证明：证明：在在RtBAD和和RtBCD中，中，BA=BC，BD=BD，RtBAD RtBCD.ABD=CBD.BD是是ABC的平分线的平分线.（2）求证：）求证：BD是是ABC的平分线的平分线.例例 已知：如图，已知：如图，ABC的角平分线的角平分线BM、CN相交于相交于点点P.求证：点求证：点P到三边到三边AB、BC、CA的距离相等的距离相等.ABCPMN
10、ABCPMN练习：练习：已知：如图，已知：如图，ABC的角平分线的角平分线BM、CN相相交于点交于点P.求证：点求证：点P到三边到三边AB、BC、CA的距离相等的距离相等.证明：证明：过点过点P作作PD、PE、PF分别垂直于分别垂直于AB、BC、CA，垂足分别为垂足分别为D、E、FFDEDE 又又BM是是ABC的角平分线，点的角平分线，点P在在BM上上 PD=PE（角平分线上的点到角的两边角平分线上的点到角的两边 的距离相等）的距离相等）同理同理 PE=PF.PD=PE=PF.即点即点P到边到边AB、BC、CA的距离相等的距离相等想一想，点想一想，点P在在A A 的的 平分线上吗？这平分线上吗
11、？这说明三角形的三条角平分线有什么关系说明三角形的三条角平分线有什么关系？练习练习：如图：如图，已知，已知ABCABC的外角的外角CBDCBD和和BCEBCE的平分线相交于点的平分线相交于点F F，求证：点求证：点F F在在DAEDAE的平分线上的平分线上 证明：过点F作FGAE于G，FHAD于H，FMBC于MGHM点F在BCE的平分线上，FGAE，FMBCFGFM又点F在CBD的平分线上，FHAD，FMBCFMFHFGFH 点F在DAE的平分线上解：设要截取的长度为解：设要截取的长度为m,则：则：练习：练习：要在区建一个集贸市场，使它要在区建一个集贸市场，使它到公路和铁路到公路和铁路距离相等
12、距离相等，且离公路和铁且离公路和铁路的交叉处路的交叉处500米，该集贸市场应建在米，该集贸市场应建在何处？（比例尺何处？（比例尺 1：20 000）公路铁路解得：解得：0.025m 2.5cm则点即为所求的点则点即为所求的点拓展思维拓展思维：若把在区去掉，有几处若把在区去掉，有几处A点点解解 作作AOB的角平分线，交的角平分线，交MN于一点，则这点即为所于一点，则这点即为所 求作的点求作的点P.（提示：用尺规作图）（提示：用尺规作图）练习练习1.如图，在直线如图，在直线MN上求作一点上求作一点P，使点，使点P到到AOB两边两边 的距离相等的距离相等.P2.如图，在如图，在ABC 中，中，AD
13、平分平分BAC，DEAB 于点于点E，DFAC 于点于点F，BD=CD.求证：求证：AB=AC.证明证明 点点D在在BAC的平分线上，的平分线上，DEAB，DFAC，DE=DF.AB=AC.在在RtBED和和RtCFD中，中，BD=CD，DE=DF，RtBED RtCFD.B=C.动脑筋动脑筋 如图如图1-29，已知已知EFCD，EFAB，MNAC，M是是EF 的中点的中点.需添加一个什么条件，需添加一个什么条件，就可使就可使CM，AM分别为分别为ACD和和CAB的平分线呢？的平分线呢？图图1-29图图1-29 MECD，MNCA，同理可得同理可得AM是是CAB的平分线的平分线.可以添加条件可
14、以添加条件MN=ME（或（或MN=MF）.M在在ACD的平分线上，即的平分线上，即CM是是ACD的平分线的平分线.图图1-29如图如图1-30，在，在ABC 的外角的外角DAC 的平分线上任取的平分线上任取一点一点P，作，作PEDB，PFAC，垂足分别为点垂足分别为点E，F.试探索试探索BE+PF与与PB的大小关系的大小关系.例例2 PE=PF.在在EBP中，中，BE+PEPB，BE+PFPB.AP是是DAC的平分线，的平分线，又又PEDB，PFAC，解解图图1-30举举例例利用结论，解决问题练一练 1、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村
15、到三条公路的距离相等,应在何处修建?想一想 在确定度假村的位置时,一定要画出三个角的平分线吗?你是怎样思考的?你是如何证明的?拓展与延伸2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:()A.一处 B.两处 C.三处 D.四处分析:由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处。练习练习3 如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到AOB的两边的距离相等.CDABO练习练习1.如图，如图，E 是是AOB 的平分线上一点，的平分线上一点，ECOA 于于点点C，EDOB 于点于点D.求证：（求证：（1）ECD=EDC；（2）OC=OD.（2）在）
16、在RtOED和和RtOEC中，中，OE=OE，ED=EC，RtOED RtOEC(HL).).OD=OC.证明证明（1）点点E在在BOA的平分线上，的平分线上，ECAO，EDOB，ED=EC.ECD=EDC.EDC 是个等腰三角形是个等腰三角形.2.如图，在如图，在ABC 中，中，ADDE，BEDE，AC，BC 分别平分分别平分BAD，ABE，点，点C在线段在线段DE上上.求证：求证：AB=AD+BE.M证明证明 作作CMAB于点于点M.AC，BC 分别平分分别平分BAD，ABE，CD=CM，CE=CM.在在RtACD和和RtACM中，中，CM=CD，AC=AC，RtACD RtACM.AD=AM.同理，同理，BE=BM.又又 AB=AM+BM，AB=AD+BE.