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1、定积分习题课主要内容v函数的可积性理论；可积的定义;可积的条件 可积的性质v微积分基本定理;v定积分的计算;可积性理论v可积的定义:(1)Riemann和和:设P:为 上的一个划分,对每个小区间 任取一点 和式 称为 在 上的 Riemann和.(2)定积分定义定积分定义:设 若有 则称f(x)在a,b上可积.记为 可积性理论v可积条件可积条件:(1)必要条件:f(x)在a,b上有界.(2)充分条件:a,b上的连续函数可积;a,b的单调有界函数可积;a,b上只有有限个第一类间断点的有界函数可积;a,b上具有无限多个间断点,但这些间断点的聚点个数有限的有界函数可积.可积的充要条件v第一充要条件:
2、有界函数f(x)在a,b可积v第二充要条件:有界函数f(x)在a,b可积v第三充要条件 有界函数f(x)在a,b可积例子v对于有无限多个间断点的函数,用第三个充要条件讨论较容易.例如,证明f(x)在0,1上可积v注:由以上例题和Riemann函数的可积性可得到Riemann可积的函数可以有无限多个不连续点.因此有如下扩展的结论:函数f(x)在a,b上有界,如果f(x)的不连续点可以用总长度任意小的至多可列个开区间覆盖,则f(x)可积.说明:有理数在数轴上处处稠密,但仍然可以用总长度任意小的开区间族来覆盖.例子v设f(x)在a,b上可积,f(x)A,B,g(u)在A,B上连续,则复合函数g(f(
3、x)在a,b上可积.(已证明过).(?思考):当外层函数g(u)仅可积时上述结论是否还成立?练习题v(1)f(x)在0,1上是否可积?其中(2)在a,b上,f,|f|,f2可积性之间的关系.(3)设f(x)在区间a,b的每一点的极限都存在且为零，证明：f(x)在a,b上可积,且积分值为零.定积分的性质v积分第一中值定理:f(x)和g(x)都在a,b上可积,g(x)在a,b上不变号,则存在特别地,(1)当f(x)连续时,存在 (2)当练习题v(1)不计算积分,判断积分的符号:v(2)(A)为正常数;(B)为负常数;(C)恒为零;(D)不为常数.v(3)证明v(4)设f(x),g(x)是a,b上的
4、正值连续函数,求证 The fundamental theorem of the calculusvPart 1 Theorem 7.3.1 Let be integrable,then(1)is a continuous function on ;(2)If is continuous on a,b,then is differentiable on a,b,andvPart 2 Theorem 7.3.2 Let f(x)be continuous function on a,b and F(x)be a primary function of f(x),then?!思考v(1)可积函数是否一定有原函数?v(2)有原函数的函数是否可积?v(1)未必.例如v(2)未必,例如f(x)在-1,1的导函数推广的Newton-Leibniz公式v(1)设f(x)在a,b上可积,F(x)在a,b上连续连续,在(a,b)内除有限个点外,都有F(x)=f(x),则v(2)设f(x)在a,b上可积,F(x)在a,b上只有有限个跳跃间断点,除有限个内点C1C2Cm及端点外,在a,b的其它点都有F(x)=f(x),则定积分的计算v例子:(1)设f(x)在0,1上连续,证明: