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1、第六部分定积分的应用一一.基本要求：基本要求：1.深刻理解定积分的基本思想，熟练运用公式计算平面图形的面积、深刻理解定积分的基本思想，熟练运用公式计算平面图形的面积、平行截面面积已知的立体体积、旋转体体积和侧面积、曲线弧长等。平行截面面积已知的立体体积、旋转体体积和侧面积、曲线弧长等。2.初步掌握运用初步掌握运用“元素法元素法”解决物理、力学及应用中的某些问题。解决物理、力学及应用中的某些问题。二二.重点、难点与例子（共重点、难点与例子（共11例）例）.1.几何应用方面：几何应用方面：(1)求面积求面积 (2)求体积求体积 (3)求弧长求弧长 (4)求侧面积求侧面积 2.物理应用方面：物理应用
2、方面：(1)求平行力作功求平行力作功 (2)求压力求压力 3.定积分其他应用定积分其他应用:(1)求函数平均值求函数平均值 (2)实际问题实际问题三三.课堂练习课堂练习(共共7题题)四四.综合题综合题(共共3题题)综合题解答综合题解答 第六部分第六部分 定积分的应用定积分的应用一一.基本要求基本要求(1)因为平面图形都是由曲边梯形或曲边扇形组成，所以定积分能因为平面图形都是由曲边梯形或曲边扇形组成，所以定积分能 解决任意（边界是已知函数的）解决任意（边界是已知函数的）平面图形求面积平面图形求面积的问题。的问题。(2)由于定积分是一维的积分，所以只能解决由于定积分是一维的积分，所以只能解决截面面
3、积已知的立体截面面积已知的立体 求体积求体积问题。问题。旋转体是其中一种，所以各种旋转体的体积问题基本可以解决。旋转体是其中一种，所以各种旋转体的体积问题基本可以解决。一般立体的求体积问题一般立体的求体积问题以后以后用二重积分或三重积分可以解决。用二重积分或三重积分可以解决。(3)利用弧微分（在局部，用切线长利用弧微分（在局部，用切线长 ds 近似曲线长近似曲线长 s），），可以解可以解 决决任意平面曲线任意平面曲线（曲线函数已知）（曲线函数已知）求弧长求弧长的问题。的问题。一般空间曲线的求弧长问题一般空间曲线的求弧长问题以后以后用第一型曲线积分可以解决。用第一型曲线积分可以解决。(4)通过弧
4、微分，求通过弧微分，求旋转体的侧面积旋转体的侧面积问题也可以用定积分解决。问题也可以用定积分解决。求一般曲面的面积问题求一般曲面的面积问题以后以后用第一型曲面积分可以解决。用第一型曲面积分可以解决。1.定定积积分分的的几几何何应应用用2.元素法元素法(1)怎样的量怎样的量 U 可以用定积分计算？可以用定积分计算？1o 量量 U 与给定区间与给定区间a,b有关；有关；2o 量量 U 对区间对区间a,b具具有可加性有可加性.(2)计算步骤：计算步骤：1o 根据实际问题，选取坐标系、积分变量和积分区间根据实际问题，选取坐标系、积分变量和积分区间a,b；2o x a,b,求小区间求小区间x,x+dx上
5、上的部分量的部分量 dU;称称 dU=f(x)dx为元素为元素.(3)计算中的关键和难点：计算中的关键和难点：找找到到 f(x).f(x)的的表表示示式式与与选选择择的的坐坐标标系系有有关关。3oS.(1)求面积求面积Scd直直 角角 坐坐 标标 系系极极坐坐标标系系边界边界函数函数图图形形面积公式面积公式y=f(x)x=(y)=()Sa bx=a,x=b,y=0y=c,y=d,x=0 =,=二二.重点、难点与例子重点、难点与例子.1.几何应用方面几何应用方面例例 1.解解：3yx013先画图先画图.S1S22.需分块儿！需分块儿！1例例 2210 xy解解：先画图先画图.用极坐标：用极坐标：
6、例例 210 xy解解：方法方法 II.用用初等方法求图示部分：初等方法求图示部分：例例 3解解：0 xya aa a (2)求体积求体积1o 已知平行截面面积为已知平行截面面积为A(x)的立体体积的立体体积2o 绕绕 x 轴旋转的旋转体体积轴旋转的旋转体体积xA(x)xba 曲边梯形：曲边梯形：y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕绕 x 轴轴xf(x)bxa.yx03o 绕绕 y 轴旋转的旋转体体积轴旋转的旋转体体积yx0 x=g(y)cd.4o 用柱壳法求绕用柱壳法求绕 y 轴旋转的旋转体体积轴旋转的旋转体体积曲边梯形曲边梯形 y=f(x),x=a,x=b,y=0 绕绕 y 轴轴.af
7、(x).如下例：如下例：b2a例例4 4：用用柱壳法柱壳法求旋转体体积求旋转体体积.yx0a解解：由柱壳法的公式：由柱壳法的公式：.分块儿求分块儿求,怎么分？怎么分？S1S21显然柱壳法简便。显然柱壳法简便。ab y=f(x)()().(3)求弧长求弧长 .xy0(t)(t)0(a b)()()例例 5解解：先先作作图图.图形关于图形关于 y 轴对称轴对称.0 xy11CBA得得A(1,1),B(1,1).例例 6解解：.曲线曲线 y=f(x)绕绕 x 轴旋转轴旋转,.(4)求旋转体侧面积求旋转体侧面积 A.曲线绕曲线绕 y 轴旋转有类似的结果。轴旋转有类似的结果。bbax0y解解：曲曲线线用
8、用极极坐坐标标：例例 7由已知公式：由已知公式：.平行力平行力：指大小变而方向不变的力。：指大小变而方向不变的力。一般变力一般变力（大小、方向都变）的作功问题用第二型（大小、方向都变）的作功问题用第二型曲线积分解决。曲线积分解决。2.物理应用方面物理应用方面xF(x)a b0解解法法 I：选择图示坐标系选择图示坐标系.例例8.xy2米米10 xx+dx上所消耗的功近似地为：上所消耗的功近似地为：=9.8=9.8 W=9.8.将这薄层水抽到地面将这薄层水抽到地面解解法法 II：选择图示坐标系选择图示坐标系.例例8.yx2米米10yy+dy将这薄层水抽到地面上所消耗的功将这薄层水抽到地面上所消耗的
9、功近似地为：近似地为：=9.8 =9.8 W=9.8 解解法法 III：选择图示坐标系选择图示坐标系.yx2米米10yy+dy将这薄层水抽到地面上所消耗的功将这薄层水抽到地面上所消耗的功近似地为：近似地为：显然，选择显然，选择方法方法 I和和方法方法 II的坐标系计算功比用的坐标系计算功比用方法方法 III简便一些简便一些.例例8=9.8=9.8 W=9.8(2)求压力求压力 比如，求水对闸门的压力。压力在不同深度是不同比如，求水对闸门的压力。压力在不同深度是不同的。水对闸门的总压力等于闸门在不同深度处所受压力的。水对闸门的总压力等于闸门在不同深度处所受压力之总和。因此，可以用定积分求压力。之
10、总和。因此，可以用定积分求压力。那么，如何求垂直竖立的一块面积所受的压力呢？那么，如何求垂直竖立的一块面积所受的压力呢？由物理学中由物理学中“帕斯卡定律帕斯卡定律”：在同一深度，液体在各：在同一深度，液体在各个方向产生同样的压强。个方向产生同样的压强。因此，垂直竖立的一块面积所因此，垂直竖立的一块面积所受的压力等于把此块面积水平放置在同一深度所受的压受的压力等于把此块面积水平放置在同一深度所受的压力，即此块水平面积上承受的液体重量。力，即此块水平面积上承受的液体重量。看下例：看下例：例例 9解：解：选择图示坐标系选择图示坐标系.xoyahx+dxx先求这一薄层的长先求这一薄层的长 b:b这一薄
11、层的面积约为这一薄层的面积约为:所以这一薄层受的水压力约为所以这一薄层受的水压力约为:.abf(x)3.定积分其他应用：定积分其他应用：.解：解：.解：解：.(2)需要用元素法解决的实际问题需要用元素法解决的实际问题2r0dr三三.课堂练习课堂练习5.四四.综合练习题综合练习题f(x)abB(h)A(h)f(h)h0yxxy01 1a谢谢 谢谢 使使 用用返回首页.三三.课堂练习解答课堂练习解答=4解解：2.1221xy0解解：曲线有渐近线：曲线有渐近线：y=0.=23.解解：xy0由由对对称称性性.4.解解：这这是是一一条条双双曲曲螺螺线线.由由弧弧长长公公式式.xy0.5.解解：121x把把 x 坐标轴平移至坐标轴平移至 y=1处处.体积：体积：.xyoy=2xy=x6.解解：7.解解：由极坐标和直角坐标的关系：由极坐标和直角坐标的关系：.xy01 1a综合练习题综合练习题解答解答 1.解解：ba2.f(x)要证曲边梯形面积要证曲边梯形面积不超过梯形面积。不超过梯形面积。f(x)abB(h)A(h)f(h)3.h0yx