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1、二、线性微分方程解的结构二、线性微分方程解的结构三、二阶常系数齐次线性方程解法三、二阶常系数齐次线性方程解法五、小结思考题五、小结思考题第五节二阶常系数线性微分方程第五节二阶常系数线性微分方程四、二阶常系数非齐次线性方程解法四、二阶常系数非齐次线性方程解法一、定义一、定义二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式二、线性微分方程的解的结构1.1.二阶齐次方程解的结构二阶齐次方程解的结构问题问题:例如例如观察有观察有2.2.二阶非齐次线性方程的解的结构二阶非齐次线性方程的解的结构解的叠加原理解的叠加原理都是
2、微分方程的解都是微分方程的解,是对应齐次方程的解是对应齐次方程的解,常数常数所求通解为所求通解为例例1 1三、二阶常系数齐次线性方程解法-特征方程法特征方程法将其代入上述方程将其代入上述方程,得得故有故有特征方程特征方程特征根特征根1)1)有两个不相等的实根有两个不相等的实根两个线性无关的特解两个线性无关的特解得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为特征根为特征根为2)2)有两个相等的实根有两个相等的实根一特解为一特解为得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为特征根为特征根为3)3)有一对共轭复根有一对共轭复根重新组合重新组合得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为特征根为特征根为定义定义 由常系数齐次线
3、性方程的特征方程的根由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为确定其通解的方法称为特征方程法特征方程法.解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为例例2 2解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为例例3 3二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程对应齐次方程通解结构通解结构常见类型常见类型难点难点：如何求特解？如何求特解？方法方法：待定系数法待定系数法.四、二阶常系数非齐次线性微分方程设非齐次方程特解为设非齐次方程特解为代入原方程代入原方程 整理得整理得1、型型综上讨论综上讨论解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征
4、根特征根代入方程代入方程,得得原方程的通解为原方程的通解为例例5 5解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根代入方程代入方程,得得原方程的通解为原方程的通解为例例6 6特别地特别地解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解代入原方程求得代入原方程求得原方程通解为原方程通解为例例7 7解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解代入原方程求得代入原方程求得例例8 8原方程通解为原方程通解为五、小结1.线性方程解的结构；线性方程解的结构；2.二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程）写出相应的特征方程;（2）求出特征根）求出特
5、征根;（3）根据特征根的不同情况）根据特征根的不同情况,得到相应的通解得到相应的通解.(待定系数法求特解待定系数法求特解)思考题思考题1.求微分方程求微分方程 的通解的通解.2.写出微分方程写出微分方程的待定特解的形式的待定特解的形式.3.写出微分方程写出微分方程的待定特解的形式的待定特解的形式.思考题解答思考题解答令令则则特征根特征根通解通解思考题解答思考题解答2.设设 的特解为的特解为设设 的特解为的特解为则所求特解为则所求特解为特征根特征根（重根）重根）思考题解答思考题解答则所求特解为则所求特解为特征根特征根设设 的特解为的特解为3.原方程可化为原方程可化为设设 的特解为的特解为练练 习习 题题 练习题答案练习题答案