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1、1第三节 二阶微分方程5.3.1 特殊二阶微分方程5.3.2 二阶线性微分方程5.3.3 二阶常系数线性微分方程2 积分2次就可以得到通解.通解中包含两个任意常数，可由初始条件确定这两个任意常数. 5.3.1 特殊二阶微分方程1. ( ) yf x型2. ( ,)yf x y型这种类型方程右端不显含未知函数 ，可先把看作未知函数.yy3设, )(xpy ,py 则原方程化为一阶方程),(pxfp 设其通解为),(1Cxp则得),(1Cxy再一次积分, 得原方程的通解21d),(CxCxy例例 1. 求方程 的通解.xyye4补例补例. 求解yxyx 2)1(2,10 xy3 0 xy解解 ),
2、(xpy 设,py 则代入方程得pxpx2)1(2分离变量)1(d2d2xxxpp积分得21lnln(1)ln,pxC)1(21xCp即,3 0 xy利用, 31C得于是有)1(32xy两端再积分得233Cxxy利用,10 xy, 12C得133xxy因此所求特解为53.( ,)yf y y型型令),(ypy xpydd 则xyypddddyppdd故方程化为),(ddpyfypp设其通解为),(1Cyp即得),(1Cyy分离变量后积分, 得原方程的通解21),(dCxCyy6例例 2 求解.02 yyy代入方程得,0dd2 pyppyyyppdd即两端积分得,lnlnln1Cyp,1yCp
3、即yCy1(一阶线性齐次方程)故所求通解为xCeCy12解解 ),(ypy 设xpydd 则xyypddddyppdd7 如果一个二阶微分方程中出现的未知函数及未知函数的一阶、二阶导数都是一次的，这个方程称为二阶线性微分方程. 它的一般形式为, )()()(xfyxqyxpy 时, 称为非齐次方程 ; 0)(xf时, 称为齐次方程.0)(xf5.3.2 二阶线性微分方程 现在我们讨论二阶线性微分方程具有的一些性质. 事实上，这些性质对 n 阶微分方程也成立.8 )(11yCxP )(11yCxQ0证毕)(),(21xyxy若函数是二阶线性齐次方程0)()( yxQyxPy的两个解,也是该方程的
4、解.证证:)()(2211xyCxyCy将代入方程左边, 得 11 yC22yC 22yC22yC)()(1111yxQyxPyC )()(2222yxQyxPyC (叠加原理) )()(2211xyCxyCy则),(21为任意常数CC定理定理1.9说明说明:不一定是所给二阶方程的通解.例如,)(1xy是某二阶齐次方程的解,)(2)(12xyxy也是齐次方程的解 )()2()()(1212211xyCCxyCxyC并不是通解但是)()(2211xyCxyCy则为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念. 10定义定义:)(,),(),(21xyxyxyn设是定义在区间 I
5、上的 n 个函数,21nkkk使得Ixxykxykxyknn, 0)()()(2211则称这 n个函数在 I 上线性相关线性相关, 否则称为线性无关线性无关.例如， ,sin,cos,122xx在( , )上都有0sincos122xx故它们在任何区间 I 上都线性相关线性相关;又如，,12xx若在某区间 I 上,02321xkxkk则根据二次多项式至多只有两个零点 ,321,kkk必需全为 0 ,可见2,1xx故在任何区间 I 上都 线性无关线性无关.若存在不全为不全为 0 的常数11两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件充要条件:)(),(21xyxy线性相关存在不全为 0 的
6、21, kk使0)()(2211xykxyk1221)()(kkxyxy( 无妨设)01k)(),(21xyxy线性无关)()(21xyxy常数思考思考:)(),(21xyxy若中有一个恒为 0, 则)(),(21xyxy必线性相关相关0)()()()(2121xyxyxyxy(证明略)21, yy可微函数线性无关12定理定理 2.)(),(21xyxy若是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解, 则)()(2211xyCxyCy数) 是该方程的通解.例如例如, 方程0 yy有特解,cos1xy ,sin2xy 且常数,故方程的通解为xCxCysincos21xytan21y为任意常21,(CC1
7、3)(* xy设是二阶非齐次方程的一个特解, )(*)(xyxYyY (x) 是相应齐次方程的通解,定理定理 3.)()()(xfyxQyxPy 则是非齐次方程的通解 .证证: 将)(*)(xyxYy代入方程左端, 得)*( yY)*( )(yYxP)*)(*)(*(yxQyxPy )()(YxQYxPY )(0)(xfxf)*( )(yYxQ14)(*)(xyxYy故是非齐次方程的解, 又Y 中含有两个独立任意常数,例如例如, 方程xyy 有特解xy *xCxCYsincos21对应齐次方程0 yy有通解因此该方程的通解为xxCxCysincos21证毕因而 也是通解 .15定理定理 4.1
8、2( )( )( ) ()Y xy xiy x其中i= -1是方程的解,分别是方程12( )( )( )( )yP x yQ x yf xifx1( )y x1( )( )( )yP x yQ x yf x的解.如果则与2( )( )( )yP x yQ x yfx2( )y x16定理定理 5.), ,2, 1()(nkxyk设分别是方程的特解,是方程),2, 1()()()(nkxfyxQyxPyk nkkyy1则)()()(1xfyxQyxPynkk 的特解. (非齐次方程解的叠加原理) 例例 1 求方程10,(1)11xyyyxxx 满足初值条件 的特解.003, 2xxyy17 5.
9、3.3 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程 在生产实践可科学实验中，有时需要研究力学系统或电路系统的问题. 在一定条件下，这类问题的解决归结于二阶微分方程的研究. 在这类微分方程中，经常遇到的是线性微分方程. 如力学系统的机械振动和电路系统中的电磁振荡等问题，都是最常见的问题.1. 两个例子 (1)弹簧的振动问题 (2)电磁振荡18(1) 弹簧的振动问题弹簧的振动问题 当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态, 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,解解:阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点
10、,建立坐标系如图. 设时刻 t 物位移为 x(t).(1) 自由振动情况.弹性恢复力物体所受的力有:(虎克定律)xcf成正比, 方向相反.建立位移满足的微分方程.19据牛顿第二定律得txxctxmdddd22,2mck,2mn令则得有阻尼自由振动方程:0dd2dd222xktxntx阻力txRdd(2) 强迫振动情况. 若物体在运动过程中还受铅直外力作用，t pHFsin，令mhH则得强迫振动方程:t phxktxntxsindd2dd22220求电容器两两极板间电压 0ddiRCqtiLE联组成的电路, 其中R , L , C 为常数 ,sintEEm所满足的微分方程 .cu提示提示: 设电
11、路中电流为 i(t),LERKCqqi上的电量为 q(t) , 自感电动势为,LE由电学知,ddtqi ,CquCtiLELdd根据回路电压定律:设有一个电阻 R , 自感L ,电容 C 和电源 E 串极板在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0(2) 电磁振荡电磁振荡 21LCLR1,20令tLCEututumCCCsindd2dd2022串联电路的振荡方程:如果电容器充电后撤去电源 ( E = 0 ) , 则得0dd2dd2022CCCututuLERKCqqi22ddtuCLCtuCRCddCutEmsin化为关于cu的方程:,ddtuCiC注意故有 22二阶常系数齐次线性方程的标准形式
12、二阶常系数齐次线性方程的标准形式0 qyypy二阶常系数非齐次线性方程的一般形式是二阶常系数非齐次线性方程的一般形式是)(xfqyypy 2. 二阶常系数线性微分方程的解法其中 p, q 为 常数.从上面两例可看出，不论是机械振动还是电磁振从上面两例可看出，不论是机械振动还是电磁振荡，在数学上都归结为二阶常系数线性方程荡，在数学上都归结为二阶常系数线性方程. 因因此研究这种微分方程是很有实用价值的此研究这种微分方程是很有实用价值的. 23(1) 二阶常系数齐次线性方程解法二阶常系数齐次线性方程解法-特征方程法特征方程法0 qyypy,xy e设将其代入上方程, 得2()0 xpq e0,xe故
13、有20pq 特征方程特征方程特点特点未知函数与其各阶导数的线性组合等于未知函数与其各阶导数的线性组合等于0即函数和其各阶导数只相差常数因子即函数和其各阶导数只相差常数因子猜想猜想有特解xye 由此可见 只要 满足代数方程 函数就是微分方程的解 20pq xye24特征方程有两个不相等的实根特征方程有两个不相等的实根特征根为214,2ppq224,2ppq两个线性无关的特解11,xye22,xye得齐次方程的通解为1212;xxyCeC e1). 042qp下面分三种情况讨论常系数齐次线性方程的通解下面分三种情况讨论常系数齐次线性方程的通解.252） 2 40 pq若， 则特征方程有两个相等实根
14、12则微分方程有一个特解)(12xuyy 设另一特解( u (x) 待定)代入方程得:1xe1()p uu0uq211(2)uuu1注意是特征方程的重根0 u取 u = x , 则得12,xyxe因此原方程的通解为112()xyCCx e,2p11.xye1( )xeu x2111(2)()0up upq u263) 2 40 pq若， 有两个复根 特征方程有一对共轭复根的情形irir21,这时原方程有两个复数解:xiey)(1)sin(cosxixexxiey)(2)sin(cosxixex 利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:)(21211yyy)(21212yyyixexcos
15、xexsin因此原方程的通解为)sincos(21xCxCeyx27例例1.032 yyy求方程的通解.解解: 特征方程, 0322rr特征根:,3,121rr因此原方程的通解为xxeCeCy321例例2. 求解初值问题0dd2dd22ststs,40ts20ddtts解解: 特征方程0122rr有重根,121 rr因此原方程的通解为tetCCs)(21利用初始条件得, 41C于是所求初值问题的解为tets)24(22C2822ddtx20 x特征方程:220,1, 2i 特征根:12cossinxCtCt利用初始条件得:,01xC 故所求特解:00cossinvxxttkAsin()At0
16、x0v方程通解:02vC2200020, tanvxAxv例例3. 求无阻尼自由振荡的微分方程 的通解.29小结小结:求二阶常系数齐次线性微分方程求二阶常系数齐次线性微分方程),(0为常数qpyqypy 20,pq 特征方程:1212xxyCeC e12:, 特征根12实根 122p112()xyCC x e1 2 ,i)sincos(21xCxCeyx特 征 根通 解30)(xfyqypy ),(为常数qp二阶常系数线性非齐次微分方程 :根据解的结构定理 , 其通解为Yy *y非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据 f (x) 的特殊形式 ,*y给出特解的待定形式,代入原方程比较两端表达
17、式以确定待定系数 . 待定系数法待定系数法(2) 二阶常系数非齐次线性方程解法二阶常系数非齐次线性方程解法31)(xQex )()2(xQp)()(2xQqp)(xPemx一、一、 型)()(xPexfmx 为实数 ,)(xPm设特解为, )(*xQeyx其中 为待定多项式 , )(xQ )()(*xQxQeyx )()(2)(*2xQxQxQeyx 代入原方程 , 得 )(xQ (1) 若 不是特征方程的根, , 02qp即则取),(xQm从而得到特解形式为. )(*xQeymx)()2(xQp)()(2xQqp)(xPm为 m 次多项式 .Q (x) 为 m 次待定系数多项式32(2) 若
18、 是特征方程的单根 , , 02qp,02 p)(xQ则为m 次多项式, 故特解形式为xmexQxy)(*(3) 若 是特征方程的重根 , , 02qp,02 p)(xQ 则是 m 次多项式,故特解形式为xmexQxy)(*2小结小结对方程,)2, 1, 0()(*kexQxyxmk)(xQ )()2(xQp)(xPm)()(2xQqp即即当 是特征方程的 k 重根 时,可设特解33例例5. 22532yyy xx 的一特解. 求32xyyy xe求的通解. 例例6. 3695xyyye的一特解. 例例7. 求求解方程23xyye 例例9. 例例8. 求解方程4 sinyyxx 234 sin
19、xyyexx 求解方程例例10. 34补例补例1.1332 xyyy求方程的一个特解.解解: 本题而特征方程为,0322rr不是特征方程的根 .设所求特解为,*10bxby代入方程 :13233010 xbbxb比较系数, 得330 b13210bb31,110bb于是所求特解为.31*xy0,035补例补例2. xexyyy265 求方程的通解. 解解: 本题特征方程为,0652 rr其根为对应齐次方程的通解为xxeCeCY3221设非齐次方程特解为xebxbxy210)(*比较系数, 得120 b0210bb1,2110bb因此特解为.)1(*221xexxy3, 221rr代入方程得xb
20、bxb01022所求通解为xxeCeCy3221.)(2221xexx ,236补例补例3. 求解定解问题 0)0()0()0( 123yyyyyy解解: 本题特征方程为, 02323rrr其根为设非齐次方程特解为,*xby代入方程得, 12b故,*21xy0321CCC21322CC2, 1, 0321rrr故对应齐次方程通解为1CY xeC2xeC23原方程通解为x211Cy xeC2xeC23由初始条件得0432CC,037于是所求解为xeeyxx2141432解得)423(412xxeex41 143321CCC38若特征方程含 k 重复根,ir若特征方程含 k 重实根 r , 则其通
21、解中必含对应项xrkkexCxCC)(121xxCxCCekkxcos)( 121sin)(121xxDxDDkk则其通解中必含对应项特征方程: ),(均为任意常数以上iiDC(3)(3) n阶常系数线性微分方程阶常系数线性微分方程)(1)1(1)(xfyPyPyPynnnn 1110nnnnppp39(4) 欧拉方程欧拉方程的形式为欧拉方程的形式为 )(1) 1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn)(为常数kp,tex 令常系数线性微分方程xtln即40欧拉方程的算子解法欧拉方程的算子解法: )(1) 1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn,tex 令则xyddxttyd
22、dddtyx dd122ddxyd1 d()ddyx xttytyxdddd1222tyyxddtytyyxdddd222 ,ln xt 则33ddyx323321ddd3dddyyyxttt2x y3232ddd3dddyyyttt41,ddtD 记则由上述计算可知: yDyxyDyDyx 22, ), 3, 2(ddktDkkkyDD) 1(用归纳法可证 ykDDDyxkk) 1() 1()(于是欧拉方程 )(1) 1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn)(11tnnnefybyDbyD转化为常系数线性方程:)(dddd111tnnnnnefybtybty即42补例补例. .ln2ln2222的通解求方程xxyyxyx 解解:,tex 令,ln xt 则,ddtD 记则原方程化为ttyyDyDD222) 1(2亦即ttytyty22dd3dd222其根,2, 121rr则对应的齐次方程的通解为特征方程, 0232 rrttyDD2)23(22即 tteCeCY22143 的通解为41ln21ln212221xxxCxCy4121212221tteCeCytt换回原变量, 得原方程通解为设特解:CtBtAy2代入确定系数, 得4121212tty