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1、 9.3 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数齐次线性方程二、二阶常系数非齐次线性方程称为二阶常系数齐次线性微分方程称为二阶常系数齐次线性微分方程,一、二阶常系数齐次线性方程称为二阶线性微分方程称为二阶线性微分方程称为二阶齐次线性微分方程称为二阶齐次线性微分方程称为二阶非齐次线性微分方程称为二阶非齐次线性微分方程例如，例如，定义定义9.4数数.则称则称定理定理9.1例如例如,它们是线性无关的它们是线性无关的故方程的通解为故方程的通解为是方程是方程 的通解的通解,所以所以特征特征方程的方程的根为根为特征根的三种不同情况讨论：特征根的三种不同情况讨论：方程有两个线性无关的特解方程有两个线性无关的特
2、解得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为通过直接验证可知，通过直接验证可知，得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为是方程的两个线性无关的特解是方程的两个线性无关的特解,二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤:(1)(1)写出相应的特征方程写出相应的特征方程(2)(2)求出特征方程的两个根求出特征方程的两个根(3)(3)根据特征方程的两个根的不同情况根据特征方程的两个根的不同情况,按照下列按照下列规则写出微分方程的通解规则写出微分方程的通解例例1解解特征方程为特征方程为所以所以所给方程的通解为所给方程的通解为例例2解解
3、特征方程为特征方程为所以所给方程的通解为所以所给方程的通解为例例3解解方程的特征方程为方程的特征方程为于是容易得到于是容易得到:方程的通解为方程的通解为方程的通解为方程的通解为方程的通解为方程的通解为即得即得以上通解均不是周期函数以上通解均不是周期函数,形如形如的方程的方程,称为二阶常系数非齐次线性微分方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程,其中其中二、二阶常系数非齐次线性方程通常称方程通常称方程(9-25)对应的齐次方程对应的齐次方程.定理定理9.2下面考察二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构下面考察二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解齐次方
4、程通解齐次方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解例如例如,方程方程有特解有特解对应齐次方程对应齐次方程有通解有通解因此该方程的通解为因此该方程的通解为定理定理9.3是方程是方程的通解的通解.非齐次线性微分方程通解结构为非齐次线性微分方程通解结构为关键：如何求非齐次线性微分方程特解关键：如何求非齐次线性微分方程特解特点：特点：待定系数法待定系数法：先确定解的形式，再把形式解代入方：先确定解的形式，再把形式解代入方程定出解中包含的常数的值，确定待定系数，从而程定出解中包含的常数的值，确定待定系数，从而求出方程求出方程 的特解的特解.f(x)的类型取
5、试解函数条件试解函数y*的形式f(x)=Pn(x)ex为常数.不是特征根y*=exQn(x)是单特征根y*=xexQn(x)是重特征根y*=x2exQn(x)f(x)=(Acosx+Bsinx)ex,A,B为常数.i不是特征根y*=(Acosx+Bsinx)exi是特征根y*=x(Acosx+Bsinx)ex注Pn(x)=a0 xn+a1xn1+an1x+an为已知n次多项式Qn(x)=b0 xn+b1xn1+bn1x+bn为待定n次多项式例例4解解对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为设所给方程的特解为设所给方程的特解为为待定常数为待定常数,代入所给方程代入所给方程,得得比较同幂次项系数比
6、较同幂次项系数,得得于是于是方程通解为方程通解为综上讨论，求非齐次线性微分方程特解时综上讨论，求非齐次线性微分方程特解时例例5解解对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为设所给方程的特解为设所给方程的特解为代入所给方程代入所给方程,有有比较同幂次项系数比较同幂次项系数,得得于是得于是得方程的通解为方程的通解为例例6解解对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为设所给方程的特解为设所给方程的特解为代入所给方程代入所给方程,有有于是于是 得得所给方程的通解是所给方程的通解是例例7解解对应齐次方程的特征方程为对应齐次方程的特征方程为解得解得于是对应齐次方程的通解为于是对应齐次方程的通解为设所给方程的特解为设所给方程的特解为于是于是,得得所给方程的通解是所给方程的通解是代入所给方程代入所给方程,有有