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1、关于直线和抛物线的位置关系现在学习的是第1页，共64页一、直线和抛物线的位置关系一、直线和抛物线的位置关系方程组两组解方程组两组解相交相交方程组没有解方程组没有解相离相离方程组一组解方程组一组解相切相切若消元得到一次方程，若消元得到一次方程，直线和抛物线的对称轴平行或重合直线和抛物线的对称轴平行或重合,为相交关系为相交关系.若消元得到二次方程若消元得到二次方程,则则思考：只有一个交点一定是相切吗？思考：只有一个交点一定是相切吗？xOy现在学习的是第2页，共64页判断直线与抛物线位置关系的操作程序判断直线与抛物线位置关系的操作程序把直线方程代入抛物线方程把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得
2、到一元一次方程得到一元二次方程得到一元二次方程直线与抛物线的直线与抛物线的对称轴平行或重合对称轴平行或重合相交（一个交点）相交（一个交点）计计 算算 判判 别别 式式0=00相交相交相切相切相离相离现在学习的是第3页，共64页 例例1 求过定点求过定点P（0，1）且与抛物线）且与抛物线 只有一个公共点的直线的方程只有一个公共点的直线的方程.由由 得得 故直线故直线 x=0与抛物线只有一个交点与抛物线只有一个交点.解解:(1)若直线斜率不存在若直线斜率不存在,则过点则过点P的直线方程是的直线方程是 x=0.由方程组由方程组 消去消去 y 得得(2)若直线斜率存在若直线斜率存在,设为设为k,则过则
3、过P点的直线方程是点的直线方程是当当 k=0时，时，x=,y=1.故直线故直线 y=1 与抛物线只有一个交点与抛物线只有一个交点.y=kx+1,xyO当当k00时，若直线与抛物线只有一个公共点，则时，若直线与抛物线只有一个公共点，则此时直线方程为此时直线方程为综上所述，所求直线方程是综上所述，所求直线方程是 x=0 或或 y=1 或或现在学习的是第4页，共64页 练习：练习：当当k为何值时为何值时,直线直线y=k x+1与抛物线与抛物线(1)相交相交,(2)相切相切,(3)相离相离?解：由方程组解：由方程组 消去消去 y，并整理得，并整理得当当K 0时，时，该方程是一元二次方程该方程是一元二次
4、方程,所以所以综上所述，当综上所述，当k1时直线和抛物线相离时直线和抛物线相离.当当k=0时时，直线方程为，直线方程为y=1，与抛物线交于一点，与抛物线交于一点现在学习的是第5页，共64页例例2：在抛物线在抛物线 上求一点，使它到直线上求一点，使它到直线2x-y-4=0的距的距离最小离最小.解：设解：设P(x,y)为抛物线为抛物线 上任意一点，则上任意一点，则P到直线到直线2x-y-4=0的距离的距离 此时此时 y=1，所求点的坐标，所求点的坐标为为P(1,1).当且仅当当且仅当 x=1 时，时，现在学习的是第6页，共64页 另解另解:观察图象可知观察图象可知,平移直线至与抛物线相切平移直线至
5、与抛物线相切,则切点则切点即为所求即为所求.联立联立 得得 设切线方程为设切线方程为 2x-y+C=0，由由 得得 C=-1又由（又由（）得）得 x=1x=1，y=1.y=1.故所求点的坐标是（故所求点的坐标是（1 1，1 1）.点评：此处用到了数形结合的方法点评：此处用到了数形结合的方法.2x-y-4=0 xyOp现在学习的是第7页，共64页1.过点(0,2)与抛物线 只有一个公共点的直线有(）（A）1条 (B)2条 (C)3条 (D)无数多条 C C.P互动练习现在学习的是第8页，共64页2.2.在抛物线在抛物线y y2 2=64x=64x上求一点，使它到直线：上求一点，使它到直线：4x+
6、3y+46=04x+3y+46=0的距离最短，的距离最短，并求此距离。并求此距离。分析：分析：抛物线上到直线距离最短的点，是和此直抛物线上到直线距离最短的点，是和此直线平行的切线的切点。线平行的切线的切点。yx y2=64x 4x+3y+46=0解：解：无实根无实根直线与抛物线相离直线与抛物线相离设与设与4x+3y+46=0平行且与平行且与y2=64x相切的直相切的直线方程为线方程为y=-4/3 x+bLP现在学习的是第9页，共64页则由则由y=-4/3 x+by2=64x消消x化简得化简得y2+48y-48b=0=482-4(-48b)=0b=-12切线方程为：切线方程为：y=-4/3 x-
7、12y=-4/3 x-12 y2=64x解方程组解方程组得得 x=9 y=-24切点为切点为P（9，-24）切点切点P到的距离到的距离d=抛物线抛物线y2=64x到直线：到直线：4x+3y+46=0有最短距离的点为有最短距离的点为P（9，-24），最短距离为），最短距离为2。现在学习的是第10页，共64页 3、斜率为斜率为1的直线的直线L经过抛物线经过抛物线 的焦的焦点点F,且与抛物线相交于且与抛物线相交于A,B两点两点,求线段求线段AB的长的长.y2=4x现在学习的是第11页，共64页现在学习的是第12页，共64页二、抛物线的焦点弦性质二、抛物线的焦点弦性质例例1.过抛物线过抛物线y2=2p
8、x(p0)的焦点的一条直线和的焦点的一条直线和抛物线相交抛物线相交,两交点为两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则(1)|AB|=x1+x2+p (2)通径长为通径长为2 p(3)x1x2=p2/4;y1y2=-p2;(4)若直线若直线AB的倾斜角为的倾斜角为,则则|AB|=2p/sin2(5)以以AB为直径的圆与准线相切为直径的圆与准线相切.(6)焦点焦点F对对A、B在准线上射影的张角为在准线上射影的张角为90o。xOyABF现在学习的是第13页，共64页xOyABF过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为两交点为A(x
9、1,y1)、B(x2,y2),则则(1)|AB|=x1+x2+p (2)通径长为通径长为2p现在学习的是第14页，共64页AXyOFBl lA1M1B1M过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则(5)以以AB为直径的圆与准线相切为直径的圆与准线相切.故以故以AB为直径的圆与准线相切为直径的圆与准线相切.现在学习的是第15页，共64页XyFAOBA1B1过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点两交点为为A(x1,y1)、B(x2
10、,y2),则则(6)焦点焦点F对对A、B在准线上射影的张角为在准线上射影的张角为90o。123456现在学习的是第16页，共64页过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则(3)x1x2=p2/4;y1y2=-p2;证明：思路分析：韦达定理证明：思路分析：韦达定理xOyABF现在学习的是第17页，共64页xOyABF现在学习的是第18页，共64页F过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2
11、),则则(3)x1x2=p2/4;y1y2=-p2;法法3：利用性质焦点：利用性质焦点F对对A、B在准线上射影的张角为在准线上射影的张角为90。现在学习的是第19页，共64页代入抛物线得代入抛物线得y2ms，练习练习(1).若直线过定点若直线过定点M(s,0)(s0)与抛物线与抛物线y2=2px(p0)交交于于A(x1,y1)、B(x2,y2),求证求证:x1x2=s2;y1y2=-2ps.证明：设证明：设AB 的方程为的方程为=ms（m）(2).若直线与抛物线若直线与抛物线y2=2px(p0)交于交于A(x1,y1)、B(x2,y2),且有且有x1x2=s2;y1y2=-2ps.求证：直线过
12、定点求证：直线过定点(s,0)(s0)证明证明：lyy2=2pxAMxB现在学习的是第20页，共64页若直线与抛物线若直线与抛物线y2=2px(p0)交于交于A(x1,y1)、B(x2,y2),则则直线过定点直线过定点 M(s,0)，(s0)x1x2=s2;y1y2=-2ps.（1）M为焦点，即过（为焦点，即过（p/2，0）x1x2=p2/4;y1y2=-p2.（2）M过（过（p，0）x1x2=4p2;y1y2=-4p2.x1x2=p2;y1y2=-2p2.（3）M过（过（2p，0）（4）M过（过（3p，0）x1x2=9p2;y1y2=-6p2.（5）M过。过。抛物线对称轴上的重要结论lyy2
13、=2pxAMxB现在学习的是第21页，共64页过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则(4)若直线若直线AB的倾斜角为的倾斜角为,则则|AB|=2p/sin2 xOyABF证明证明:思路分析思路分析|AB|=|AF|+|BF|=思考：焦点弦何时最短？思考：焦点弦何时最短？过焦点的所有弦中，通径最短过焦点的所有弦中，通径最短现在学习的是第22页，共64页xOyABF过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为两交点为A(x1,y1
14、)、B(x2,y2),则则现在学习的是第23页，共64页例例2.过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的焦点F的一条直线和抛物线的一条直线和抛物线相交于相交于A(x1,y1)、B(x2,y2),(1)AO交准线于交准线于C,则直线则直线CB平行于抛线的对称轴平行于抛线的对称轴.xyFABCO现在学习的是第24页，共64页例例2.过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的焦点F的一条直线和抛物的一条直线和抛物线相交于线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2),(2)过过B作作BC准线准线l,垂足为垂足为C,则则AC过原点过原点O共线共线.(2001年高考题年高考题)xyFABCO现在学习的
15、是第25页，共64页例例3.3.A、B是抛物线是抛物线 y2=2px(p0)上的上的两点，且两点，且OAOB，1.求求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；两点的横坐标之积和纵坐标之积；2.求证：直线求证：直线AB过定点；过定点；3.求弦求弦AB中点中点P的轨迹方程；的轨迹方程；4.求求AOB面积的最小值；面积的最小值；5.求求O在在AB上的射影上的射影M轨迹方程轨迹方程.二、抛物线中的直角三角形问题二、抛物线中的直角三角形问题现在学习的是第26页，共64页例例3.3.A、B是抛物线是抛物线 y2=2px(p0)上的两点，且上的两点，且OAOB，(1)求求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；两点
16、的横坐标之积和纵坐标之积；解答解答 (1)设设A(x1,y1)，B(x2,y2)，中点，中点P(x0,y0)，OAOB kOAkOB=-1，x1x2+y1y2=0 y12=2px1，y22=2px2 y10,y20,y1y2=4p2 x1x2=4p2.现在学习的是第27页，共64页例例3.3.A、B是抛物线是抛物线 y2=2px(p0)上的两点，且上的两点，且OAOB，(2)求证：直线求证：直线AB过定点；过定点；解答解答(2)y12=2px1，y22=2px2(y1 y2)(y1+y2)=2p(x1 x2)AB过定点过定点T(2p,0).现在学习的是第28页，共64页同理，同理，以代以代k得
17、得B(2pk2,-2pk).例例3.3.A、B是抛物线是抛物线 y2=2px(p0)上的两点，且上的两点，且OAOB，(3)求弦求弦AB中点中点P的轨迹方程；的轨迹方程；即即 y02=px0-2p2，中点中点M轨迹方程轨迹方程 y2=px-2p2(3)设设OA y=kx，代入，代入y2=2px 得得:k 0，现在学习的是第29页，共64页(4)当且仅当当且仅当|y1|=|y2|=2p时，等号成立时，等号成立.例例3.3.A、B是抛物线是抛物线 y2=2px(p0)上的两点，且上的两点，且OAOB，(4)求求AOB面积的最小值；面积的最小值；现在学习的是第30页，共64页(5)法一：设法一：设M
18、(x3,y3),则则 例例3.3.A、B是抛物线是抛物线 y2=2px(p0)上的两点，且上的两点，且OAOB，(5)求求O在在AB上的射影上的射影M轨迹方程轨迹方程.由由(1)知，知，y1y2=-4p2，整理得：整理得：x32+y32-2px3=0，点点M轨迹方程为轨迹方程为x2+y2-2px=0(去掉去掉(0,0).现在学习的是第31页，共64页 M在以在以OT为直径的圆上为直径的圆上 点点M轨迹方程为轨迹方程为(x-p)2+y2=p2,去掉去掉(0,0).评注：此类问题要充分利用评注：此类问题要充分利用(2)的结论的结论.OMT=90,又又OT为定线段为定线段法二：法二：AB过定点过定点
19、T(2p,0).7.7.A、B是抛物线是抛物线 y2=2px(p0)上的两点，且上的两点，且OAOB，(5)求求O在在AB上的射影上的射影M轨迹方程轨迹方程.现在学习的是第32页，共64页小结：小结：在求轨迹方程问题中易于出错是对轨迹在求轨迹方程问题中易于出错是对轨迹方程纯粹性及完备性的忽略。因此，在求出方程纯粹性及完备性的忽略。因此，在求出曲线方程之后而仔细检查有无曲线方程之后而仔细检查有无“不法分子不法分子”掺杂其中，应将其剔除；另一方面又要注意掺杂其中，应将其剔除；另一方面又要注意有无有无“漏网之鱼漏网之鱼”“逍遥法外逍遥法外”，应将其找，应将其找回。回。现在学习的是第33页，共64页四
20、、点与抛物线四、点与抛物线点点P(x0,y0)与抛物线与抛物线y2=2px(p0)的位置关系及判断的位置关系及判断方法方法.1.点在抛物线外点在抛物线外2.点在抛物线上点在抛物线上3.点在抛物线内点在抛物线内y02-2px00y02-2px0=0y02-2px0 即4 现在学习的是第35页，共64页.FM现在学习的是第36页，共64页现在学习的是第37页，共64页现在学习的是第38页，共64页l l1 1l l2 2【例题例题5 5】如图所示，直线如图所示，直线L L1 1与与L L2 2相交于相交于M M点点L L1 1LL2 2，NLNL2 2,以以A,BA,B为端点的为端点的曲线段曲线段
21、C C上的任一点到上的任一点到L L1 1的距离与到点的距离与到点N N的距离相等，的距离相等，为锐为锐角三角形，角三角形，,建立适当坐标系建立适当坐标系,求曲线求曲线C C的的方程。方程。B BA AM MN N分析：分析：1.1.如何选择适当的坐标系。如何选择适当的坐标系。2.2.能否判断曲线段是何种类型曲线。能否判断曲线段是何种类型曲线。3.3.如何用方程表示曲线的一部分。如何用方程表示曲线的一部分。现在学习的是第39页，共64页如图所示，直线如图所示，直线L L1 1与与L L2 2相交于相交于M M点点L L1 1LL2 2 ，NLNL2 2,以以A,BA,B为端点的曲线为端点的曲线
22、段段C C上的任一点到上的任一点到L L1 1的距离与到点的距离与到点N N的距离相等，的距离相等，为锐角三角形，为锐角三角形，,建立适当坐标系建立适当坐标系,求曲线求曲线C C的方程。的方程。l l1 1l l2 2y yx xD D解法一：3=DANACNRt中，中，由图得，由图得，C CB BA AM MN N曲线段曲线段C C的方程为：的方程为：即抛物线方程：即抛物线方程：建立如图所示的直角坐标系，原点为建立如图所示的直角坐标系，原点为O(0,0)O，现在学习的是第40页，共64页如图所示，直线如图所示，直线L L1 1与与L L2 2相交于相交于M M点点L L1 1LL2 2 ，N
23、LNL2 2,以以A,BA,B为端点的曲线段为端点的曲线段C C上的任一点到上的任一点到L L1 1的距离与到点的距离与到点N N的距离相等，的距离相等，为锐角三角形，为锐角三角形，,建立适当坐标系建立适当坐标系,求曲线求曲线C C的方程。的方程。l l1 1l l2 2y yx xD DC CB BA AM MN N解法二：曲线段曲线段C C的方程为：的方程为：建立如图所示的直角坐标系，原点为建立如图所示的直角坐标系，原点为O(0,0)O现在学习的是第41页，共64页y yx xB BA AM MN NC CD D建立如图所示的直角坐标系，原点为解法三：Q曲线段曲线段C C的方程为：的方程为
24、：3=DANACNRt中，中，现在学习的是第42页，共64页xyAPMN现在学习的是第43页，共64页.F现在学习的是第44页，共64页（1 1）直线）直线l l过抛物线过抛物线y y2 2=2px(p0)=2px(p0)的焦点且与的焦点且与x x轴垂直，轴垂直，若若l l被抛物线截得的线段长为被抛物线截得的线段长为6 6，则，则p=_p=_3xyOy y2 2=2px=2pxABl现在学习的是第45页，共64页(2)(2)已已知知抛抛物物线线方方程程 =8x,=8x,则则它它的的焦焦点点坐坐标标为为_,_,准准线线方方程程为为_，若若该该抛抛物物线线上上一一点点到到y y轴轴距距离离等等于于
25、5 5，则则它它到到抛抛物物线线的的 焦焦点点的的距距离为离为_，若该抛物线上一点若该抛物线上一点M M到焦点距离等于到焦点距离等于4,4,则则M M的坐标为的坐标为_._.(2,0)x=-2-27 7(2,4),(2,-4)MH(2,0):x=-2(2,0)pQH:x=-2现在学习的是第46页，共64页（3 3）抛物线的顶点在原点，）抛物线的顶点在原点，对称轴为对称轴为y y轴，焦点在轴，焦点在 x+2y-12=0 x+2y-12=0上，上，则它的方程为则它的方程为_._.xyF(0,6)oL:x+2y-12=0（4 4）抛物线）抛物线y2=2x上的两点上的两点A A、B B到焦点的距离和为
26、到焦点的距离和为5 5，则线段，则线段ABAB中点到中点到y y轴的距离是轴的距离是_._.x2=24yxyOFL:x=-BAMDCN2现在学习的是第47页，共64页(5)一抛物线拱桥，当拱顶离水面一抛物线拱桥，当拱顶离水面2 2米时，水面宽米时，水面宽 4 4米，则当水面下降米，则当水面下降1 1米后，水面宽米后，水面宽_米。米。xyOlGB(2,-2)(-2,-2)A2CDH221x2=-2-2y现在学习的是第48页，共64页现在学习的是第49页，共64页现在学习的是第50页，共64页现在学习的是第51页，共64页8.8.A A、B B是抛物是抛物线线y y2 22 2pxpx(p p0)
27、0)上的两点，上的两点，且且OAOAOBOB.(1)(1)求求A A、B B两点的横坐两点的横坐标标之之积积和和纵纵坐坐标标之之积积；(2)(2)求求证证：直：直线线ABAB恒恒过过定点；定点；(3)(3)求弦求弦ABAB中点中点P P的的轨轨迹方程；迹方程；(4)(4)求求AOBAOB面面积积的最小的最小值值【解解析析】设设A A(x x1 1，y y1 1)，B B(x x2 2，y y2 2)，中中点点P P(x x0 0，y y0 0)现在学习的是第52页，共64页现在学习的是第53页，共64页现在学习的是第54页，共64页现在学习的是第55页，共64页现在学习的是第56页，共64页现在学习的是第57页，共64页现在学习的是第58页，共64页现在学习的是第59页，共64页现在学习的是第60页，共64页现在学习的是第61页，共64页现在学习的是第62页，共64页现在学习的是第63页，共64页感感谢谢大大家家观观看看现在学习的是第64页，共64页