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1、关于直线和抛物线的位置关系课件第一张，PPT共六十四页，创作于2022年6月一、直线和抛物线的位置关系一、直线和抛物线的位置关系方程组两组解方程组两组解相交相交方程组没有解方程组没有解相离相离方程组一组解方程组一组解相切相切若消元得到一次方程，若消元得到一次方程，直线和抛物线的对称轴平行或重合直线和抛物线的对称轴平行或重合,为相交关系为相交关系.若消元得到二次方程若消元得到二次方程,则则思考：只有一个交点一定是相切吗？思考：只有一个交点一定是相切吗？xOy第二张，PPT共六十四页，创作于2022年6月判断直线与抛物线位置关系的操作程序判断直线与抛物线位置关系的操作程序把直线方程代入抛物线方程把
2、直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元一次方程得到一元二次方程得到一元二次方程直线与抛物线的直线与抛物线的对称轴平行对称轴平行相交（一个交点）相交（一个交点）计计 算算 判判 别别 式式0=00相交相交相切相切相离相离第三张，PPT共六十四页，创作于2022年6月 例例1 求过定点求过定点P（0，1）且与抛物线）且与抛物线 只有一个公共点的直线的方程只有一个公共点的直线的方程.由由 得得 故直线故直线 x=0与抛物线只有一个交点与抛物线只有一个交点.解解:(1)若直线斜率不存在若直线斜率不存在,则过点则过点P的直线方程是的直线方程是 x=0.由方程组由方程组 消去消去 y 得得(2)若
3、直线斜率存在若直线斜率存在,设为设为k,则过则过P点的直线方程是点的直线方程是当当 k=0时，时，x=,y=1.故直线故直线 y=1 与抛物线只有一个交点与抛物线只有一个交点.y=kx+1,xyO当当k00时，若直线与抛物线只有一个公共点，则时，若直线与抛物线只有一个公共点，则此时直线方程为此时直线方程为综上所述，所求直线方程是综上所述，所求直线方程是 x=0 或或 y=1 或或第四张，PPT共六十四页，创作于2022年6月 练习：练习：当当k为何值时为何值时,直线直线y=k x+1与抛物线与抛物线(1)相交相交,(2)相切相切,(3)相离相离?解：由方程组解：由方程组 消去消去 y，并整理得
4、，并整理得当当K 0时，时，该方程是一元二次方程该方程是一元二次方程,所以所以综上所述，当综上所述，当k1时直线和抛物线相离时直线和抛物线相离.当当k=0时时，直线方程为，直线方程为y=1，与抛物线交于一点，与抛物线交于一点第五张，PPT共六十四页，创作于2022年6月例例2：在抛物线在抛物线 上求一点，使它到直线上求一点，使它到直线2x-y-4=0的距离的距离最小最小.解：设解：设P(x,y)为抛物线为抛物线 上任意一点，则上任意一点，则P到直线到直线2x-y-4=0的距离的距离 此时此时 y=1，所求点的坐标为，所求点的坐标为P(1,1).当且仅当当且仅当 x=1 时，时，第六张，PPT共
5、六十四页，创作于2022年6月 另解另解:观察图象可知观察图象可知,平移直线至与抛物线相切平移直线至与抛物线相切,则切点则切点即为所求即为所求.联立联立 得得 设切线方程为设切线方程为 2x-y+C=0，由由 得得 C=-1又由（又由（）得）得 x=1x=1，y=1.y=1.故所求点的坐标是（故所求点的坐标是（1 1，1 1）.点评：此处用到了数形结合的方法点评：此处用到了数形结合的方法.2x-y-4=0 xyOp第七张，PPT共六十四页，创作于2022年6月1.过点(0,2)与抛物线 只有一个公共点的直线有(）（A）1条 (B)2条 (C)3条 (D)无数多条 C C.P互动练习第八张，PP
6、T共六十四页，创作于2022年6月2.2.在抛物线在抛物线y y2 2=64x=64x上求一点，使它到直线：上求一点，使它到直线：4x+3y+46=04x+3y+46=0的距离最短，的距离最短，并求此距离。并求此距离。分析：分析：抛物线上到直线距离最短的点，是和此直线抛物线上到直线距离最短的点，是和此直线平行的切线的切点。平行的切线的切点。yx y2=64x 4x+3y+46=0解：解：无实根无实根直线与抛物线相离直线与抛物线相离设与设与4x+3y+46=0平行且与平行且与y2=64x相切的直线相切的直线方程为方程为y=-4/3 x+bLP第九张，PPT共六十四页，创作于2022年6月则由则由
7、y=-4/3 x+by2=64x消消x化简得化简得y2+48y-48b=0=482-4(-48b)=0b=-12切线方程为：切线方程为：y=-4/3 x-12y=-4/3 x-12 y2=64x解方程组解方程组得得 x=9 y=-24切点为切点为P（9，-24）切点切点P到的距离到的距离d=抛物线抛物线y2=64x到直线：到直线：4x+3y+46=0有最短距离的点为有最短距离的点为P（9，-24），最短距离为），最短距离为2。第十张，PPT共六十四页，创作于2022年6月 3、斜率为斜率为1的直线的直线L经过抛物线经过抛物线 的焦点的焦点F,且与抛物线相交于且与抛物线相交于A,B两点两点,求线
8、段求线段AB的长的长.y2=4x第十一张，PPT共六十四页，创作于2022年6月第十二张，PPT共六十四页，创作于2022年6月二、抛物线的焦点弦性质二、抛物线的焦点弦性质例例1.过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和的焦点的一条直线和抛物线相交抛物线相交,两交点为两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则(1)|AB|=x1+x2+p (2)通径长为通径长为2 p(3)x1x2=p2/4;y1y2=-p2;(4)若直线若直线AB的倾斜角为的倾斜角为,则则|AB|=2p/sin2(5)以以AB为直径的圆与准线相切为直径的圆与准线相切.(6)焦点焦点F对对A、B在准线上射影
9、的张角为在准线上射影的张角为90o。xOyABF第十三张，PPT共六十四页，创作于2022年6月xOyABF过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则(1)|AB|=x1+x2+p (2)通径长为通径长为2p第十四张，PPT共六十四页，创作于2022年6月AXyOFBl lA1M1B1M过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则(5)以以AB为直径的圆与准线相切为直径的圆与准线相切
10、.故以故以AB为直径的圆与准线相切为直径的圆与准线相切.第十五张，PPT共六十四页，创作于2022年6月XyFAOBA1B1过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则(6)焦点焦点F对对A、B在准线上射影的张角为在准线上射影的张角为90o。123456第十六张，PPT共六十四页，创作于2022年6月过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则(3)x1x2=p2/4;y1y2=-p2
11、;证明：思路分析：韦达定理证明：思路分析：韦达定理xOyABF第十七张，PPT共六十四页，创作于2022年6月xOyABF第十八张，PPT共六十四页，创作于2022年6月F过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点两交点为为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则(3)x1x2=p2/4;y1y2=-p2;法法3：利用性质焦点：利用性质焦点F对对A、B在准线上射影的张角为在准线上射影的张角为90。第十九张，PPT共六十四页，创作于2022年6月代入抛物线得代入抛物线得y2ms，练习练习(1).若直线过定点若直线过定点M(s,0)(s0)
12、与抛物线与抛物线y2=2px(p0)交交于于A(x1,y1)、B(x2,y2),求证求证:x1x2=s2;y1y2=-2ps.证明：设证明：设AB 的方程为的方程为=ms（m）(2).若直线与抛物线若直线与抛物线y2=2px(p0)交于交于A(x1,y1)、B(x2,y2),且有且有x1x2=s2;y1y2=-2ps.求证：直线过定点求证：直线过定点(s,0)(s0)证明证明：lyy2=2pxAMxB第二十张，PPT共六十四页，创作于2022年6月若直线与抛物线若直线与抛物线y2=2px(p0)交于交于A(x1,y1)、B(x2,y2),则则直线过定点直线过定点 M(s,0)，(s0)x1x2
13、=s2;y1y2=-2ps.（1）M为焦点，即过（为焦点，即过（p/2，0）x1x2=p2/4;y1y2=-p2.（2）M过（过（p，0）x1x2=4p2;y1y2=-4p2.x1x2=p2;y1y2=-2p2.（3）M过（过（2p，0）（4）M过（过（3p，0）x1x2=9p2;y1y2=-6p2.（5）M过。过。抛物线对称轴上的重要结论lyy2=2pxAMxB第二十一张，PPT共六十四页，创作于2022年6月过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则(4)若直线若直线AB的倾斜角为的
14、倾斜角为,则则|AB|=2p/sin2 xOyABF证明证明:思路分析思路分析|AB|=|AF|+|BF|=思考：焦点弦何时最短？思考：焦点弦何时最短？过焦点的所有弦中，通径最短过焦点的所有弦中，通径最短第二十二张，PPT共六十四页，创作于2022年6月xOyABF过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线相交的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则则第二十三张，PPT共六十四页，创作于2022年6月例例2.过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的焦点F的一条直线和抛物的一条直线和抛物线相交于线相交于A(x1,y1)、B(x2,
15、y2),(1)AO交准线于交准线于C,则直线则直线CB平行于抛线的对称轴平行于抛线的对称轴.xyFABCO第二十四张，PPT共六十四页，创作于2022年6月例例2.过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的焦点F的一条直线和抛物线相的一条直线和抛物线相交于交于A(x1,y1)、B(x2,y2),(2)过过B作作BC准线准线l,垂足为垂足为C,则则AC过原点过原点O共线共线.(2001年高考题年高考题)xyFABCO第二十五张，PPT共六十四页，创作于2022年6月例例3.3.A、B是抛物线是抛物线 y2=2px(p0)上的上的两点，且两点，且OAOB，1.求求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之
16、积；两点的横坐标之积和纵坐标之积；2.求证：直线求证：直线AB过定点；过定点；3.求弦求弦AB中点中点P的轨迹方程；的轨迹方程；4.求求AOB面积的最小值；面积的最小值；5.求求O在在AB上的射影上的射影M轨迹方程轨迹方程.二、抛物线中的直角三角形问题二、抛物线中的直角三角形问题第二十六张，PPT共六十四页，创作于2022年6月例例3.3.A、B是抛物线是抛物线 y2=2px(p0)上的两点，且上的两点，且OAOB，(1)求求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；两点的横坐标之积和纵坐标之积；解答解答 (1)设设A(x1,y1)，B(x2,y2)，中点，中点P(x0,y0)，OAOB kOAkO
17、B=-1，x1x2+y1y2=0 y12=2px1，y22=2px2 y10,y20,y1y2=4p2 x1x2=4p2.第二十七张，PPT共六十四页，创作于2022年6月例例3.3.A、B是抛物线是抛物线 y2=2px(p0)上的两点，且上的两点，且OAOB，(2)求证：直线求证：直线AB过定点；过定点；解答解答(2)y12=2px1，y22=2px2(y1 y2)(y1+y2)=2p(x1 x2)AB过定点过定点T(2p,0).第二十八张，PPT共六十四页，创作于2022年6月同理，同理，以代以代k得得B(2pk2,-2pk).例例3.3.A、B是抛物线是抛物线 y2=2px(p0)上的两
18、点，且上的两点，且OAOB，(3)求弦求弦AB中点中点P的轨迹方程；的轨迹方程；即即 y02=px0-2p2，中点中点M轨迹方程轨迹方程 y2=px-2p2(3)设设OA y=kx，代入，代入y2=2px 得得:k 0，第二十九张，PPT共六十四页，创作于2022年6月(4)当且仅当当且仅当|y1|=|y2|=2p时，等号成立时，等号成立.例例3.3.A、B是抛物线是抛物线 y2=2px(p0)上的两点，且上的两点，且OAOB，(4)求求AOB面积的最小值；面积的最小值；第三十张，PPT共六十四页，创作于2022年6月(5)法一：设法一：设M(x3,y3),则则 例例3.3.A、B是抛物线是抛
19、物线 y2=2px(p0)上的两点，且上的两点，且OAOB，(5)求求O在在AB上的射影上的射影M轨迹方程轨迹方程.由由(1)知，知，y1y2=-4p2，整理得：整理得：x32+y32-2px3=0，点点M轨迹方程为轨迹方程为x2+y2-2px=0(去掉去掉(0,0).第三十一张，PPT共六十四页，创作于2022年6月 M在以在以OT为直径的圆上为直径的圆上 点点M轨迹方程为轨迹方程为(x-p)2+y2=p2,去掉去掉(0,0).评注：此类问题要充分利用评注：此类问题要充分利用(2)的结论的结论.OMT=90,又又OT为定线段为定线段法二：法二：AB过定点过定点T(2p,0).7.7.A、B是
20、抛物线是抛物线 y2=2px(p0)上的两点，且上的两点，且OAOB，(5)求求O在在AB上的射影上的射影M轨迹方程轨迹方程.第三十二张，PPT共六十四页，创作于2022年6月小结：小结：在求轨迹方程问题中易于出错是对轨迹在求轨迹方程问题中易于出错是对轨迹方程纯粹性及完备性的忽略。因此，在求出曲方程纯粹性及完备性的忽略。因此，在求出曲线方程之后而仔细检查有无线方程之后而仔细检查有无“不法分子不法分子”掺杂掺杂其中，应将其剔除；另一方面又要注意有无其中，应将其剔除；另一方面又要注意有无“漏网之鱼漏网之鱼”“逍遥法外逍遥法外”，应将其找回。，应将其找回。第三十三张，PPT共六十四页，创作于2022
21、年6月四、点与抛物线四、点与抛物线点点P(x0,y0)与抛物线与抛物线y2=2px(p0)的位置关系及判断方的位置关系及判断方法法.1.点在抛物线外点在抛物线外2.点在抛物线上点在抛物线上3.点在抛物线内点在抛物线内y02-2px00y02-2px0=0y02-2px0 即4 第三十五张，PPT共六十四页，创作于2022年6月.FM第三十六张，PPT共六十四页，创作于2022年6月第三十七张，PPT共六十四页，创作于2022年6月第三十八张，PPT共六十四页，创作于2022年6月l l1 1l l2 2【例题例题5 5】如图所示，直线如图所示，直线L L1 1与与L L2 2相交于相交于M M
22、点点L L1 1LL2 2，NLNL2 2,以以A,BA,B为端点的为端点的曲线段曲线段C C上的任一点到上的任一点到L L1 1的距离与到点的距离与到点N N的距离相等，的距离相等，为锐角为锐角三角形，三角形，,建立适当坐标系建立适当坐标系,求曲线求曲线C C的方程。的方程。B BA AM MN N分析：分析：1.1.如何选择适当的坐标系。如何选择适当的坐标系。2.2.能否判断曲线段是何种类型曲线。能否判断曲线段是何种类型曲线。3.3.如何用方程表示曲线的一部分。如何用方程表示曲线的一部分。第三十九张，PPT共六十四页，创作于2022年6月如图所示，直线如图所示，直线L L1 1与与L L2
23、 2相交于相交于M M点点L L1 1LL2 2 ，NLNL2 2,以以A,BA,B为端点的曲线段为端点的曲线段C C上的任一点到上的任一点到L L1 1的距离与到点的距离与到点N N的距离相等，的距离相等，为锐角三角形，为锐角三角形，,建立适当坐标系建立适当坐标系,求曲线求曲线C C的方程。的方程。l l1 1l l2 2y yx xD D解法一：3=DANACNRt中，中，由图得，由图得，C CB BA AM MN N曲线段曲线段C C的方程为：的方程为：即抛物线方程：即抛物线方程：建立如图所示的直角坐标系，原点为建立如图所示的直角坐标系，原点为O(0,0)O，第四十张，PPT共六十四页，
24、创作于2022年6月如图所示，直线如图所示，直线L L1 1与与L L2 2相交于相交于M M点点L L1 1LL2 2 ，NLNL2 2,以以A,BA,B为端点的曲线段为端点的曲线段C C上上的任一点到的任一点到L L1 1的距离与到点的距离与到点N N的距离相等，的距离相等，为锐角三角形，为锐角三角形，,建立适当坐标系建立适当坐标系,求曲线求曲线C C的方程。的方程。l l1 1l l2 2y yx xD DC CB BA AM MN N解法二：曲线段曲线段C C的方程为：的方程为：建立如图所示的直角坐标系，原点为建立如图所示的直角坐标系，原点为O(0,0)O第四十一张，PPT共六十四页，
25、创作于2022年6月y yx xB BA AM MN NC CD D建立如图所示的直角坐标系，原点为解法三：Q曲线段曲线段C C的方程为：的方程为：3=DANACNRt中，中，第四十二张，PPT共六十四页，创作于2022年6月xyAPMN第四十三张，PPT共六十四页，创作于2022年6月.F第四十四张，PPT共六十四页，创作于2022年6月（1 1）直线）直线l l过抛物线过抛物线y y2 2=2px(p0)=2px(p0)的焦点且与的焦点且与x x轴垂直，轴垂直，若若l l被抛物线截得的线段长为被抛物线截得的线段长为6 6，则，则p=_p=_3xyOy y2 2=2px=2pxABl第四十五
26、张，PPT共六十四页，创作于2022年6月(2)(2)已已知知抛抛物物线线方方程程 =8x,=8x,则则它它的的焦焦点点坐坐标标为为_,_,准准线线方方程程为为_，若若该该抛抛物物线线上上一一点点到到y y轴轴距距离离等等于于5 5，则则它它到到抛抛物物线线的的 焦焦点点的的距距离为离为_，若该抛物线上一点若该抛物线上一点M M到焦点距离等于到焦点距离等于4,4,则则M M的坐标为的坐标为_._.(2,0)x=-2-27 7(2,4),(2,-4)MH(2,0):x=-2(2,0)pQH:x=-2第四十六张，PPT共六十四页，创作于2022年6月（3 3）抛物线的顶点在原点，）抛物线的顶点在原
27、点，对称轴为对称轴为y y轴，焦点在轴，焦点在 x+2y-12=0 x+2y-12=0上，上，则它的方程为则它的方程为_._.xyF(0,6)oL:x+2y-12=0（4 4）抛物线）抛物线y2=2x上的两点上的两点A A、B B到焦点的距离和为到焦点的距离和为5 5，则线段，则线段ABAB中点到中点到y y轴的距离是轴的距离是_._.x2=24yxyOFL:x=-BAMDCN2第四十七张，PPT共六十四页，创作于2022年6月(5)一抛物线拱桥，当拱顶离水面一抛物线拱桥，当拱顶离水面2 2米时，水面宽米时，水面宽 4 4米，则当水面下降米，则当水面下降1 1米后，水面宽米后，水面宽_米。米。
28、xyOlGB(2,-2)(-2,-2)A2CDH221x2=-2-2y第四十八张，PPT共六十四页，创作于2022年6月第四十九张，PPT共六十四页，创作于2022年6月第五十张，PPT共六十四页，创作于2022年6月第五十一张，PPT共六十四页，创作于2022年6月8.8.A A、B B是抛物是抛物线线y y2 22 2pxpx(p p0)0)上的两点，且上的两点，且OAOAOBOB.(1)(1)求求A A、B B两点的横坐两点的横坐标标之之积积和和纵纵坐坐标标之之积积；(2)(2)求求证证：直：直线线ABAB恒恒过过定点；定点；(3)(3)求弦求弦ABAB中点中点P P的的轨轨迹方程；迹方
29、程；(4)(4)求求AOBAOB面面积积的最小的最小值值【解解析析】设设A A(x x1 1，y y1 1)，B B(x x2 2，y y2 2)，中中点点P P(x x0 0，y y0 0)第五十二张，PPT共六十四页，创作于2022年6月第五十三张，PPT共六十四页，创作于2022年6月第五十四张，PPT共六十四页，创作于2022年6月第五十五张，PPT共六十四页，创作于2022年6月第五十六张，PPT共六十四页，创作于2022年6月第五十七张，PPT共六十四页，创作于2022年6月第五十八张，PPT共六十四页，创作于2022年6月第五十九张，PPT共六十四页，创作于2022年6月第六十张，PPT共六十四页，创作于2022年6月第六十一张，PPT共六十四页，创作于2022年6月第六十二张，PPT共六十四页，创作于2022年6月第六十三张，PPT共六十四页，创作于2022年6月感感谢谢大大家家观观看看第六十四张，PPT共六十四页，创作于2022年6月