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1、拉普拉斯变换及其性质1第1页，此课件共33页哦5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换一个信号一个信号f(t)满足狄里赫利条件时，便可构成一对傅里叶变换式，即满足狄里赫利条件时，便可构成一对傅里叶变换式，即 当当函函数数 f(t)不不满满足足绝绝对对可可积积条条件件时时，则则其其傅傅里里叶叶变变换换不不一一定定存存在在。此此时时，可可采采取取给给f(t)乘乘以以因因子子e t(为为任任意意实实常常数数)的的办办法法，这这样样即即得得到到一一个个新新的的时时间间函数函数 f(t)e t，使其，使其满满足条件足条件则则函函数数 f(t)e t 即
2、即满满足足绝绝对对可可积积条条件件了了，因因而而它它的的傅傅里里叶叶变变换换一一定定存存在在。可可见因子见因子e t 起着使函数起着使函数 f(t)收收敛敛的作用的作用办办法，法，故称故称e t为为收收敛敛因子。因子。2第2页，此课件共33页哦它是它是 +j 的函数，可以写为的函数，可以写为 设设函函数数 f(t)e t 满满足足狄狄里里赫赫利利条条件件且且绝绝对对可可积积(这这可可通通过过选选取取恰恰当当的的 值值来来达到达到)，根据傅里叶变换的定义，则有，根据傅里叶变换的定义，则有F(+j)的傅里叶反变换为的傅里叶反变换为即即5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换3第3页，此课件共33页哦二拉普
3、拉斯变换的定义二拉普拉斯变换的定义s=+j，s为一复数变量，称为复频率。为一复数变量，称为复频率。以上两式分别称为双边拉普拉斯变换和双边拉普拉斯反变换以上两式分别称为双边拉普拉斯变换和双边拉普拉斯反变换。5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换4第4页，此课件共33页哦正变换正变换反变换反变换记作记作 ，称为原函数，称为原函数，称为象函数称为象函数采用采用 系统，相应的系统，相应的单边拉氏变换单边拉氏变换为为考虑到实际信号都是有起因信号考虑到实际信号都是有起因信号所以所以5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换5第5页，此课件共33页哦三拉三拉氏变氏变换的换的收敛收敛域域 u收敛域收敛域：使：使F(s)存在的
4、存在的s 的区域称为收敛域。的区域称为收敛域。u记为：记为：ROC(region of convergence)u实际上就是拉氏变换存在的条件；实际上就是拉氏变换存在的条件；5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换6第6页，此课件共33页哦例例 信号拉普拉斯变换的收敛域信号拉普拉斯变换的收敛域(即收敛坐标即收敛坐标 0)解解:要使该式成立要使该式成立，必须有，必须有 ，故其收敛域为全故其收敛域为全s平面，平面，0=。0时时该式成立该式成立，故其收敛域为故其收敛域为s平面的右半开平面，平面的右半开平面，0=0。0时时上式成立上式成立，故其收敛域为故其收敛域为s平面的右半开平面，平面的右半开平面，0=0。
5、要要使使该该式式成成立立，必必须须有有a+0，即即 a。故故其其收收敛敛域域为为 a以以右右的的开开平平面，面，0=a。7第7页，此课件共33页哦四一些常用函数的拉氏变换四一些常用函数的拉氏变换1.阶跃函数阶跃函数2.指数函数指数函数全全 s 域平面收敛域平面收敛 3.单位冲激信号单位冲激信号8第8页，此课件共33页哦4幂函数幂函数 t nu(t)四一些常用函数的拉氏变换四一些常用函数的拉氏变换9第9页，此课件共33页哦5正余弦信号正余弦信号u收敛域收敛域u收敛域收敛域四一些常用函数的拉氏变换四一些常用函数的拉氏变换10第10页，此课件共33页哦6衰减的正余弦信号衰减的正余弦信号u收敛域收敛域
6、u收敛域收敛域四一些常用函数的拉氏变换四一些常用函数的拉氏变换11第11页，此课件共33页哦5.2 拉普拉斯变换的基本性质线性性质线性性质延时特性延时特性尺度变换特性尺度变换特性复频移特性复频移特性时域微分定理时域微分定理时域积分定理时域积分定理频域微积分定理频域微积分定理初值定理和终值定理初值定理和终值定理卷积定理卷积定理12第12页，此课件共33页哦一线性性质一线性性质解：解：例：例：已知已知求求 的拉普拉斯变换的拉普拉斯变换若若 为常数为常数则则13第13页，此课件共33页哦二延时特性（时域平移）二延时特性（时域平移）若若则则注意：注意：(1)一定是一定是 的形式的信号才能用时移性质的形
7、式的信号才能用时移性质(2)信号一定是右移信号一定是右移(3)表达式表达式 等等 所表示的信号不能用时移性质所表示的信号不能用时移性质14第14页，此课件共33页哦例：例：已知已知求求因为因为所以所以解：解：二延时性质（时域平移）二延时性质（时域平移）15第15页，此课件共33页哦解：解：4 4种信号的波形如图种信号的波形如图例：例：已知单位斜变信号已知单位斜变信号 的拉普拉斯变换为的拉普拉斯变换为求求的拉普拉斯变换的拉普拉斯变换二延时性质（时域平移）二延时性质（时域平移）16第16页，此课件共33页哦只有信号只有信号 可以用延时性质可以用延时性质 二延时性质（时域平移）二延时性质（时域平移）
8、17第17页，此课件共33页哦时移性质的一个重要应用是求单边周期信号的拉普拉斯变换。时移性质的一个重要应用是求单边周期信号的拉普拉斯变换。结论：结论：单边周期信号的拉普拉斯变换单边周期信号的拉普拉斯变换 等于第一周期波形的拉普拉斯变换乘以等于第一周期波形的拉普拉斯变换乘以 例：例：周期冲击序列周期冲击序列 的拉氏变换为的拉氏变换为二延时性质（时域平移）二延时性质（时域平移）18第18页，此课件共33页哦例例解：解：已知已知s)F(tt u(t)f求求,1)-=解解：例例二延时性质（时域平移）二延时性质（时域平移）19第19页，此课件共33页哦三尺度变换三尺度变换时移和尺度变换都有时移和尺度变换
9、都有:若若则则20第20页，此课件共33页哦四复频移特性（四复频移特性（s 域平移）域平移）若若则则例：例：求求 的拉氏变换的拉氏变换解：解：21第21页，此课件共33页哦五时域微分定理五时域微分定理推广：推广：若若则则22第22页，此课件共33页哦六时域积分定理六时域积分定理若若则则因为第一项与 t 无关，是一个常数23第23页，此课件共33页哦例：例：求图示信号的拉普拉斯变换求图示信号的拉普拉斯变换 求导得求导得 所以所以 解：解：六时域积分定理六时域积分定理24第24页，此课件共33页哦七七s 域微积分定理域微积分定理若若 则则 取正整数取正整数证明：证明：对拉普拉斯正变换定义式对拉普拉
10、斯正变换定义式 求导得求导得 若若则则25第25页，此课件共33页哦七七s 域微域微积积分定理分定理例例解：解：因为因为所以所以26第26页，此课件共33页哦八初值定理和终值定理八初值定理和终值定理若若 和和 拉氏变换存在，且拉氏变换存在，且则则为真分式为真分式终值存在的条件终值存在的条件:若若 的拉氏变换存在，且的拉氏变换存在，且则则初值定理初值定理 的所有极点有负实部的所有极点有负实部终值定理终值定理初值存在的条件初值存在的条件:当当 t 0时，时，f(t)=0，且，且 f(t)不包含冲激信号及其各阶导数项不包含冲激信号及其各阶导数项27第27页，此课件共33页哦由时域微分定理可知由时域微
11、分定理可知所以所以初值定理证明：初值定理证明：所以所以八初值定理和终值定理八初值定理和终值定理28第28页，此课件共33页哦终值定理证明终值定理证明根据初值定理证明时得到的公式根据初值定理证明时得到的公式八初值定理和终值定理八初值定理和终值定理29第29页，此课件共33页哦F(s)为真分式为真分式 的所有极点有负实部的所有极点有负实部八初值定理和终值定理八初值定理和终值定理30第30页，此课件共33页哦例：例：确定下列拉普拉斯变换所对应的时域因果信号的初值和终值确定下列拉普拉斯变换所对应的时域因果信号的初值和终值初值初值 终值终值 初值初值 终值终值 注意应用终值定理的条件是满足的。注意应用终值定理的条件是满足的。解：解：八初值定理和终值定理八初值定理和终值定理31第31页，此课件共33页哦初值初值 因为因为 有两重极点有两重极点 ，并不具有负实部，并不具有负实部，因此不能应用终值定理，即因此不能应用终值定理，即 的终值不存在的终值不存在例：例：解：解：即单位阶跃信号的初始值为1。八初值定理和终值定理八初值定理和终值定理32第32页，此课件共33页哦九时域卷积九时域卷积若若 为有始信号为有始信号则则33第33页，此课件共33页哦