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1、拉普拉斯变换及其性质1现在学习的是第1页，共29页它是它是 +j 的函数，可以写为的函数，可以写为 设设函函数数 f(t)e t 满满足足狄狄里里赫赫利利条条件件且且绝绝对对可可积积(这这可可通通过过选选取取恰恰当当的的 值值来来达达到到)，根据傅里叶变换的定义，则有，根据傅里叶变换的定义，则有F(+j)的傅里叶反变换为的傅里叶反变换为即即5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换2现在学习的是第2页，共29页二拉普拉斯变换的定义二拉普拉斯变换的定义s=+j，s为一复数变量，称为复频率。为一复数变量，称为复频率。以上两式分别称为双边拉普拉斯变换和双边拉普拉斯反变换以上两式分别称为双边拉普拉斯变换和双边拉
2、普拉斯反变换。5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换3现在学习的是第3页，共29页正变换正变换反变换反变换记作记作 ，称为原函数，称为原函数，称为象函数称为象函数采用采用 系统，相应的系统，相应的单边拉氏变换单边拉氏变换为为考虑到实际信号都是有起因信号考虑到实际信号都是有起因信号所以所以5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换4现在学习的是第4页，共29页三拉三拉氏变氏变换的换的收敛收敛域域 u收敛域收敛域：使：使F(s)存在的存在的s 的区域称为收敛域。的区域称为收敛域。u记为：记为：ROC(region of convergence)u实际上就是拉氏变换存在的条件；实际上就是拉氏变换存在的条件；5.1
3、拉普拉斯变换拉普拉斯变换5现在学习的是第5页，共29页例例 信号拉普拉斯变换的收敛域信号拉普拉斯变换的收敛域(即收敛坐标即收敛坐标 0)解解:要使该式成立要使该式成立，必须有，必须有 ，故其收敛域为全故其收敛域为全s平面，平面，0=。0时时该式成立该式成立，故其收敛域为故其收敛域为s平面的右半开平面，平面的右半开平面，0=0。0时时上式成立上式成立，故其收敛域为故其收敛域为s平面的右半开平面，平面的右半开平面，0=0。要要使使该该式式成成立立，必必须须有有a+0，即即 a。故故其其收收敛敛域域为为 a以以右右的的开开平平面面，0=a。6现在学习的是第6页，共29页四一些常用函数的拉氏变换四一些
4、常用函数的拉氏变换1.阶跃函数阶跃函数2.指数函数指数函数全全 s 域平面收敛域平面收敛 3.单位冲激信号单位冲激信号7现在学习的是第7页，共29页4幂函数幂函数 t nu(t)四一些常用函数的拉氏变换四一些常用函数的拉氏变换8现在学习的是第8页，共29页5正余弦信号正余弦信号u收敛域收敛域u收敛域收敛域四一些常用函数的拉氏变换四一些常用函数的拉氏变换9现在学习的是第9页，共29页6衰减的正余弦信号衰减的正余弦信号u收敛域收敛域u收敛域收敛域四一些常用函数的拉氏变换四一些常用函数的拉氏变换10现在学习的是第10页，共29页5.2 拉普拉斯变换的基本性质线性性质线性性质延时特性延时特性尺度变换特
5、性尺度变换特性复频移特性复频移特性时域微分定理时域微分定理时域积分定理时域积分定理频域微积分定理频域微积分定理初值定理和终值定理初值定理和终值定理卷积定理卷积定理11现在学习的是第11页，共29页一线性性质一线性性质解：解：例：例：已知已知求求 的拉普拉斯变换的拉普拉斯变换若若 为常数为常数则则12现在学习的是第12页，共29页二延时特性（时域平移）二延时特性（时域平移）若若则则注意：注意：(1)一定是一定是 的形式的信号才能用时移性质的形式的信号才能用时移性质(2)信号一定是右移信号一定是右移(3)表达式表达式 等等 所表示的信号不能用时移性质所表示的信号不能用时移性质13现在学习的是第13
6、页，共29页例：例：已知已知求求因为因为所以所以解：解：二延时性质（时域平移）二延时性质（时域平移）14现在学习的是第14页，共29页解：解：4 4种信号的波形如图种信号的波形如图例：例：已知单位斜变信号已知单位斜变信号 的拉普拉斯变换为的拉普拉斯变换为求求的拉普拉斯变换的拉普拉斯变换二延时性质（时域平移）二延时性质（时域平移）15现在学习的是第15页，共29页只有信号只有信号 可以用延时性质可以用延时性质 二延时性质（时域平移）二延时性质（时域平移）16现在学习的是第16页，共29页时移性质的一个重要应用是求单边周期信号的拉普拉斯变换。时移性质的一个重要应用是求单边周期信号的拉普拉斯变换。结
7、论：结论：单边周期信号的拉普拉斯变换单边周期信号的拉普拉斯变换 等于第一周期波形的拉普拉斯变换乘以等于第一周期波形的拉普拉斯变换乘以 例：例：周期冲击序列周期冲击序列 的拉氏变换为的拉氏变换为二延时性质（时域平移）二延时性质（时域平移）17现在学习的是第17页，共29页例例解：解：已知已知s)F(tt u(t)f求求,1)-=解解：例例二延时性质（时域平移）二延时性质（时域平移）18现在学习的是第18页，共29页三尺度变换三尺度变换时移和尺度变换都有时移和尺度变换都有:若若则则19现在学习的是第19页，共29页四复频移特性（四复频移特性（s 域平移）域平移）若若则则例：例：求求 的拉氏变换的拉
8、氏变换解：解：20现在学习的是第20页，共29页五时域微分定理五时域微分定理推广：推广：若若则则21现在学习的是第21页，共29页六时域积分定理六时域积分定理若若则则因为第一项与 t 无关，是一个常数22现在学习的是第22页，共29页例：例：求图示信号的拉普拉斯变换求图示信号的拉普拉斯变换 求导得求导得 所以所以 解：解：六时域积分定理六时域积分定理23现在学习的是第23页，共29页七七s 域微积分定理域微积分定理若若 则则 取正整数取正整数证明：证明：对拉普拉斯正变换定义式对拉普拉斯正变换定义式 求导得求导得 若若则则24现在学习的是第24页，共29页七七s 域微域微积积分定理分定理例例解：
9、解：因为因为所以所以25现在学习的是第25页，共29页八初值定理和终值定理八初值定理和终值定理若若 和和 拉氏变换存在，且拉氏变换存在，且则则为真分式为真分式终值存在的条件终值存在的条件:若若 的拉氏变换存在，且的拉氏变换存在，且则则初值定理初值定理 的所有极点有负实部的所有极点有负实部终值定理终值定理初值存在的条件初值存在的条件:当当 t 0时，时，f(t)=0，且，且 f(t)不包含冲激信号及其各阶导数项不包含冲激信号及其各阶导数项26现在学习的是第26页，共29页由时域微分定理可知由时域微分定理可知所以所以初值定理证明：初值定理证明：所以所以八初值定理和终值定理八初值定理和终值定理27现在学习的是第27页，共29页终值定理证明终值定理证明根据初值定理证明时得到的公式根据初值定理证明时得到的公式八初值定理和终值定理八初值定理和终值定理28现在学习的是第28页，共29页F(s)为真分式为真分式 的所有极点有负实部的所有极点有负实部八初值定理和终值定理八初值定理和终值定理29现在学习的是第29页，共29页