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1、5.1 拉普拉斯变换,第5章 连续时间LTI系统的复频域分析,5.2 拉普拉斯变换的基本性质,5.7 连续时间LTI系统的稳定性,5.3 拉普拉斯逆变换,5.4 连续时间LTI系统的复频域分析,5.5 连续时间LTI系统,5.6 系统方框图和信号流图,5.8 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系,1,5.1 拉普拉斯变换,一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换,一个信号f(t)满足狄里赫利条件时，便可构成一对傅里叶变换式，即,当函数 f (t)不满足绝对可积条件时，则其傅里叶变换不一定存在。此时，可采取给f(t)乘以因子et(为任意实常数)的办法，这样即得到一个新的时间函数 f (t)et，使其满足条件,则
2、函数 f (t)et 即满足绝对可积条件了，因而它的傅里叶变换一定存在。可见因子et 起着使函数 f (t)收敛的作用办法，故称et为收敛因子。,2,3,它是 +j的函数，可以写为,设函数 f (t)et 满足狄里赫利条件且绝对可积(这可通过选取恰当的值来达到)，根据傅里叶变换的定义，则有,F( +j)的傅里叶反变换为,即,5.1 拉普拉斯变换,二拉普拉斯变换的定义,4,s= +j，s为一复数变量，称为复频率。,以上两式分别称为双边拉普拉斯变换和双边拉普拉斯反变换。,5.1 拉普拉斯变换,正变换,反变换,记作 ， 称为原函数， 称为象函数,采用 系统，相应的单边拉氏变换为,考虑到实际信号都是有
3、起因信号,所以,5.1 拉普拉斯变换,5,三拉氏变换的收敛域,收敛域：使F(s)存在的s 的区域称为收敛域。 记为：ROC(region of convergence) 实际上就是拉氏变换存在的条件；,5.1 拉普拉斯变换,6,7,例 信号拉普拉斯变换的收敛域(即收敛坐标0),解:,要使该式成立，必须有 ， 故其收敛域为全s平面， 0= 。, 0时该式成立， 故其收敛域为s平面的右半开平面， 0= 0。, 0时上式成立， 故其收敛域为s平面的右半开平面， 0= 0。,要使该式成立，必须有a+ 0， 即 a。故其收敛域为 a以右的开平面， 0= a。,四一些常用函数的拉氏变换,1.阶跃函数,2.
4、指数函数,全 s 域平面收敛,3.单位冲激信号,8,4幂函数 t nu(t),四一些常用函数的拉氏变换,9,5正余弦信号,收敛域,收敛域,四一些常用函数的拉氏变换,10,6衰减的正余弦信号,收敛域,收敛域,四一些常用函数的拉氏变换,11,5.2 拉普拉斯变换的基本性质,线性性质 延时特性 尺度变换特性 复频移特性 时域微分定理 时域积分定理 频域微积分定理 初值定理和终值定理 卷积定理,12,一线性性质,解：,例：,13,二延时特性（时域平移）,若 则,注意： (1)一定是 的形式的信号才能用时移性质 (2)信号一定是右移 (3)表达式 等 所表示的信号不能用时移性质,14,因为,所以,解：,
5、二延时性质（时域平移）,15,解：4种信号的波形如图,例：,二延时性质（时域平移）,16,只有信号 可以用延时性质,二延时性质（时域平移）,17,时移性质的一个重要应用是求单边周期信号的拉普拉斯变换。,结论：单边周期信号的拉普拉斯变换 等于第一周期波形的拉普拉斯变换乘以,例：周期冲击序列 的拉氏变换为,二延时性质（时域平移）,18,例,解：,解：,例,二延时性质（时域平移）,19,三尺度变换,时移和尺度变换都有:,若 则,20,四复频移特性（s 域平移）,若 则,例：求 的拉氏变换,解：,21,五时域微分定理,推广：,若 则,22,六时域积分定理,若 则,因为第一项与 t 无关，是一个常数,2
6、3,例：求图示信号的拉普拉斯变换,求导得,所以,解：,六时域积分定理,24,七s 域微积分定理,若 则 取正整数,证明：对拉普拉斯正变换定义式 求导得,若 则,25,七s 域微积分定理,例,解：因为,所以,26,八初值定理和终值定理,终值存在的条件:,若 的拉氏变换存在，且 则,初值定理,的所有极点有负实部,终值定理,初值存在的条件: 当 t 0时，f (t)=0，且 f (t)不包含冲激信号及其各阶导数项,27,由时域微分定理可知,所以,初值定理证明：,所以,八初值定理和终值定理,28,终值定理证明,根据初值定理证明时得到的公式,八初值定理和终值定理,29,F(s)为真分式,的所有极点有负实部,八初值定理和终值定理,30,例：确定下列拉普拉斯变换所对应的时域因果信号的初值和终值,初值,终值,初值,终值,注意应用终值定理的条件是满足的。,解：,八初值定理和终值定理,31,初值,因为 有两重极点 ，并不具有负实部，因此不能应用终值定理，即 的终值不存在,例：,解：,即单位阶跃信号的初始值为1。,八初值定理和终值定理,32,九时域卷积,若 为有始信号 则,33,