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1、 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性关于函数的单调性与曲线的凹凸性第一页，讲稿共四十二页哦 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性2定理定理6.8单调增加单调增加;单调减少单调减少.一、函数单调性的判别法一、函数单调性的判别法设函数设函数y=f(x)在在a,b上连续上连续,在在(a,b)内可导内可导.那末函数那末函数y=f(x)在在a,b上上那末函数那末函数y=f(x)在在a,b上上第二页，讲稿共四十二页哦 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性3证证 拉氏定理拉氏定理(1)(2)此定理不论对于开、闭、有限或无穷区间都正确.
2、注注若在若在(a,b)内内,若在若在(a,b)内内,因为因为所以所以y=f(x)在在a,b上单调增加上单调增加;因为因为所以所以y=f(x)在在a,b上单调减少上单调减少.第三页，讲稿共四十二页哦 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性4例例解解定义域为定义域为因为因为所以所以所以所以第四页，讲稿共四十二页哦 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性5方法方法问题问题如上例如上例,函数在定义区间上不是单调的函数在定义区间上不是单调的,若函数在其定义域的某个区间内是单调的若函数在其定义域的某个区间内是单调的,然后判定区间内导然后判定区间内导数的符号数的符
3、号.的的分界点分界点二、函数单调区间的求法二、函数单调区间的求法但在各个部分区间上单调但在各个部分区间上单调.则该区间称为函数的则该区间称为函数的单调区间单调区间.导数等于零的点和不可导点导数等于零的点和不可导点,可能是单调区间可能是单调区间的点划分函数的点划分函数f(x)的定义区间的定义区间,第五页，讲稿共四十二页哦 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性6例例解解定义域定义域单调区间为单调区间为单调区间单调区间.第六页，讲稿共四十二页哦 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性7例例解解单调减少区间为单调减少区间为定义域定义域单调增加区间为单调增加
4、区间为导数不存在导数不存在.第七页，讲稿共四十二页哦 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性(1)驻驻点和导数不存在的点不一定是单调区间的点和导数不存在的点不一定是单调区间的分界点。分界点。如如,注注单调增加单调增加.(2):区间内有限个点（或无穷多个离散点）导数为零区间内有限个点（或无穷多个离散点）导数为零,不影不影响区间的单调性响区间的单调性.如如,内可导内可导,且且等号只在等号只在(无穷多个离散点无穷多个离散点)处成立处成立,故故内内单调增加单调增加.第八页，讲稿共四十二页哦 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性9例例单调性的单调性的应用应用
5、:(1)证明不等式证明不等式.证证第九页，讲稿共四十二页哦 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性10例例证证 定不出符号定不出符号第十页，讲稿共四十二页哦 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性11即即第十一页，讲稿共四十二页哦 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性(a)方程根的存在性：零点定理方程根的存在性：零点定理(b)方程根的唯一性：方程根的唯一性：RolleRolle定理或单调性定理或单调性(c)方程根的个数：须确定单调区间，由区间方程根的个数：须确定单调区间，由区间端点的单侧极限，结合零点定理确定根的个数端点的单侧
6、极限，结合零点定理确定根的个数以及根所在的区间。以及根所在的区间。(2)确定某些方程实根的个数确定某些方程实根的个数单调性的单调性的应用应用:第十二页，讲稿共四十二页哦 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性解解由零点定理，由零点定理，所以，所以，因此，因此，f(x)的图形与的图形与x轴至多有一个交点，轴至多有一个交点，所以，所以，即原方程有且仅有一个根。即原方程有且仅有一个根。第十三页，讲稿共四十二页哦 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性例例判断方程判断方程有几个实根有几个实根,并指出各个根所在的区间并指出各个根所在的区间.方法方法：须确定单调
7、区间：须确定单调区间、区间端点值（或单侧极限）、区间端点值（或单侧极限），从而判定根的个数以及根所在的区间。，从而判定根的个数以及根所在的区间。解解第十四页，讲稿共四十二页哦 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性列表列表不存在不存在有一根有一根有一根有一根有一根有一根第十五页，讲稿共四十二页哦 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性16(concave and convex)三、三、曲线曲线凹凸凹凸性的判别法性的判别法1.定义定义如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向第十六页，讲稿共四十二页哦 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与
8、曲线的凹凸性17定义定义6.1恒有恒有凹凹(凸凸)图形上任意弧段图形上任意弧段位于所张弦的下方位于所张弦的下方图形上任意弧段图形上任意弧段位于所张弦的上方位于所张弦的上方如果对如果对(a,b)内任意内任意两点两点x1,x2,那么称那么称f(x)在在(a,b)内的图形是内的图形是 的的.第十七页，讲稿共四十二页哦 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性18曲线弧上每一点的切线都在曲线的曲线弧上每一点的切线都在曲线的下下或或定义定义 (上上)方方,称为称为凹凹 弧弧.(凸凸)凹凹弧的曲线段弧的曲线段 f(x)的切线斜率是单增的的切线斜率是单增的,是单增的是单增的,弧的切线斜率
9、是单减的弧的切线斜率是单减的,是单减的是单减的.而凸而凸利用利用二阶导数二阶导数判断曲线的判断曲线的凹凸性凹凸性从几何直观上从几何直观上,随着随着x的增大的增大,第十八页，讲稿共四十二页哦 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性19定理定理6.96.9具有具有二阶导数二阶导数,凹凹(凸凸)2.凹凸性的判别法凹凸性的判别法如果如果 f(x)在在a,b上连续上连续,在在(a,b)内内在在(a,b)内内,在在a,b上的图形是上的图形是 的的.则则 f(x)第十九页，讲稿共四十二页哦 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性20证证即即这说明切线位于曲线的下方
10、这说明切线位于曲线的下方,泰勒公式泰勒公式即即f(x)是凹的是凹的.第二十页，讲稿共四十二页哦 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性例例解解注注 凸凸变变凹凹的分界点的分界点.第二十一页，讲稿共四十二页哦 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性例例利用函数图形的凹凸性证明不等式利用函数图形的凹凸性证明不等式:凹凸性的应用：凹凸性的应用：证明不等式证明不等式22即即证证设设图形是图形是凹的凹的.第二十二页，讲稿共四十二页哦 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性证证法一法一用单调性证用单调性证.法二法二用凹凸性证用凹凸性证.例例
11、设设则则即即第二十三页，讲稿共四十二页哦 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性1.1.定义定义连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点拐点.几何上几何上二、二、曲线的曲线的拐点拐点及其求法及其求法第二十四页，讲稿共四十二页哦 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性25拐点的充分条件拐点的充分条件2.拐点的求法拐点的求法 拐点也可能出现在二阶导数不存在的点处拐点也可能出现在二阶导数不存在的点处.拐点的必要条件拐点的必要条件若若f(x)具有二阶导数具有二阶导数,则点则点(1)(2)(x0,f(x0)是拐点的是拐点的必要条件为
12、必要条件为(或或x0为二阶导数不存在的点为二阶导数不存在的点)设函数设函数f(x)在点在点x0邻域内邻域内二阶二阶可导可导,点点(x0,f(x0)即为即为拐点拐点;点点(x0,f(x0)不是不是拐点拐点.第二十五页，讲稿共四十二页哦 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性一般求拐点的步骤一般求拐点的步骤求二阶导数求二阶导数;求二阶导数的零点与二阶不可导点求二阶导数的零点与二阶不可导点;求相应区间的二阶导数符号求相应区间的二阶导数符号,判别凹凸性判别凹凸性;求拐点求拐点.(1)(2)(3)(4)第二十六页，讲稿共四十二页哦 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲
13、线的凹凸性27例例解解不存在不存在定义域为定义域为(1)(2)(3)列表列表拐点拐点拐点拐点第二十七页，讲稿共四十二页哦 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性28例例解解拐点的第二充分条件拐点的第二充分条件设函数设函数f(x)在在x0的邻域内的邻域内是曲线是曲线 y=f(x)的的拐点拐点.三阶可导三阶可导,那末那末(x0,f(x0)第二十八页，讲稿共四十二页哦 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性29例例解解第二十九页，讲稿共四十二页哦 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性30例例的单调区间、凹凸区间和拐点的单调区间、凹凸
14、区间和拐点.解解不存在不存在,不存在不存在拐点拐点单调增加区间单调增加区间单调减少区间单调减少区间凸区间凸区间凹区间凹区间不存在不存在第三十页，讲稿共四十二页哦 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性31考研数学考研数学(三三,四四)10分分设函数设函数 y=y(x)由方程由方程确定确定,试判断曲线试判断曲线 y=y(x)在点在点(1,1)附近的凹凸性附近的凹凸性.解解两边对两边对x求导得求导得解解得得两边对两边对x再求导得再求导得第三十一页，讲稿共四十二页哦 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性32考研数学考研数学(三三,四四)10分分设函数设函
15、数 y=y(x)由方程由方程确定确定,试判断曲线试判断曲线 y=y(x)在点在点(1,1)附近的凹凸性附近的凹凸性.由于二阶导函数由于二阶导函数的附近是连续函数的附近是连续函数,所以由所以由的附近的附近故曲线故曲线 y=y(x)在点在点(1,1)附近是凸附近是凸.第三十二页，讲稿共四十二页哦 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性33五、小结五、小结单调性的判别单调性的判别单调性的单调性的应用应用:改变弯曲方向的点改变弯曲方向的点:凹凸性凹凸性;拐点拐点;利用函数的单调性可以确定某些方程实根利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式的个数和证明不等式.研究曲线
16、的弯曲方向研究曲线的弯曲方向:凹凸性凹凸性的的应用应用:利用利用凹凸性凹凸性证明不等式证明不等式.第三十三页，讲稿共四十二页哦 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性34证证只要证只要证令令所以所以即即有有得得思考题思考题1也即也即第三十四页，讲稿共四十二页哦 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性35作业作业习题习题6.4(2196.4(219页页)1.5.1.5.奇数题奇数题 6.(1)(3)(9)(12)7.6.(1)(3)(9)(12)7.9.(2)(4)9.(2)(4)10.(2)(3)12.10.(2)(3)12.第三十五页，讲稿共四十二
17、页哦 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性36思考题思考题2考研数学二考研数学二,8分分证明不等式证明不等式证证 先证右边不等式先证右边不等式.设设单调减少单调减少,故有故有即即第三十六页，讲稿共四十二页哦 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性37思考题思考题2考研数学二考研数学二,8分分证明不等式证明不等式再证左边不等式再证左边不等式.方法一方法一设函数设函数由拉氏定理知由拉氏定理知,至少存在一点至少存在一点使使由于由于从而从而第三十七页，讲稿共四十二页哦 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性38思考题思考题2考研数学二
18、考研数学二,8分分证明不等式证明不等式再证左边不等式再证左边不等式.方法二方法二设设因为因为单调增加单调增加,故有故有即即从而从而即即第三十八页，讲稿共四十二页哦 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性39考研数学考研数学(一一,二二)12分分证证法一法一则则所以所以单调减少单调减少,从而从而单调增加单调增加.因此因此即即故故第三十九页，讲稿共四十二页哦 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性40证证法二法二 对函数对函数所以所以单调减少单调减少,从而从而在在a,b上应用拉氏定理上应用拉氏定理,得得设设则则即即即即考研数学考研数学(一一,二二)12分分第四十页，讲稿共四十二页哦 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性41证证 若令若令则只须证明则只须证明g(x)单调增加单调增加.而而 拉氏定理拉氏定理 g(x)单调增加单调增加.从而从而第四十一页，讲稿共四十二页哦 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性42考研数学考研数学(一一,二二)选择题选择题4分分设函数设函数 f(x)连续连续,则存在则存在使得使得第四十二页，讲稿共四十二页哦