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1、第十八章专题：平行四边形几何探究1.在ABCD 中，BC2AB，M 为 AD 的中点，设ABC，过点 C 作直线 AB 的垂线，垂足为点 E，连 ME。（1）如图，当 900，ME 与 MC 的数量关系是 ；AEM 与DME 的关系是 。（2）如图，当 600900时，请问：（1）中的两个结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。（3）如图，当 00600时，请在图中画出图形，ME 与 MC 的数量关系是 ；AEM 与DME 的关系是 。（直接写出结论即可，不必证明）图 图 图【答案】（1）ME=MC ；AEMDME180或DMEAEM180 （2）成立。连 CM，过 M 作 P
2、QEA 于 P，PQCD 于 Q 四边形 PQCE 为矩形 CQEP M 为中点，易证PAMQDM PMQM EPMCQM EMCM 取 BC 中点 N，连 NM 并延长到 G，ABCGMD2 MNAB AEMNME DMEAEMDMEEMNDMN180 DMEAEM180 （3）EMMC；DMEAEM2.如图，ABC 是等边三角形，点 D 是边 BC 上的一点，以 AD 为边作等边ADE，过点 C 作CFDE 交 AB 于点 F（1）若点 D 是 BC 边的中点（如图），求证：EF=CD；（2）在（1）的条件下直接写出AEF 和ABC 的面积比；（3）若点 D 是 BC 边上的任意一点（除
3、B、C 外如图），那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由【答案】（1）证明：ABC 是等边三角形，D 是 BC 的中点，ADBC，且BAD=BAC=30，21AED 是等边三角形，AD=AE，ADE=60，EDB=90-ADE=90-60=30，EDCF，FCB=EDB=30，ACB=60，ACF=ACB-FCB=30，ACF=BAD=30，在ABD 和CAF 中，BADACF，ABCA，FACB，ABDCAF（ASA），AD=CF，AD=ED，ED=CF，又EDCF，四边形 EDCF 是平行四边形，EF=CD（2）解：AEF 和ABC 的面积比为：1：4；（
4、易知 AF=BF，延长 EF 交 AD 于 H，AEF 的面积=EFAH=CBAD=BCAD，由此即可证明）212121214121（3）解：成立理由如下：EDFC，EDB=FCB，AFC=B+BCF=60+BCF，BDA=ADE+EDB=60+EDBAFC=BDA，在ABD 和CAF 中，BDAAFC，BFAC，ABCAABDCAF（AAS），AD=FC，AD=ED，ED=CF，又EDCF，四边形 EDCF 是平行四边形，EF=DC 3.【鲁老师原创题】如图，点 F 在ABCD 的边 DC 上，AB=BF（1）求证：AF 平分DFB（2）点 E 是ABCD 外一点，且 BC=BE，CBE=A
5、BF，AE 交 BF 于点 M，求证：AM=ME（3）在（2）的条件下，在 AD 上取一点 P，使得 FABP，BP 交 AF 于 N，猜想线段 MN 与AC 的数量关系，并证明你的结论FBDCAAB=0.96MEFBDCAA=.39厘A=.36厘AB=0.96PNMEFBDCA【答案】（1）略(2)提示：过点 A 作 APBE 交 BF 于 P，证明 AP=AD=BE，得到四边形 ABEP 是平行四边形（3）MN=AC（证明 N 是 AF 中点，MN=EF=AC）2121214.点 E、F 分别是ABCD 的边 BC、CD 上的点，EAF60，AF4（1）若 AB2，点 E 与点 B、点 F
6、 与点 D 分别重合（如图 1），求平行四边形 ABCD 的面积；（2）若 ABBC，BEAF60（如图 2），求证：AEF 为等边三角形；（3）若 BECE，CF2DF，AB3（如图 3），直接写出 AE 的长度（无需解答过程）【解答】（1）解：如图 1，过点 B 作 BHAD 于 H，在 RtABH 中，BAD60，ABH30，AB2，AH1，BH，SABCDADBHAFBH4；（2）证明：如图 2，连接 AC四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，BEAF60，BAD120，在ABCD 中，ABBC，ABCD 是菱形，AC 是菱形对角线，ACDBAC60B，ABAC，BAECAF，在A
7、BE 和ACF 中，ABEACF，AEAF，EAF60，AEF 为等边三角形；（3）解：如图 3，延长 AE 交 DC 延长线于 P，过点 F 作 FGAP 与 G四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD，CECP，BECE，AEBPEC，ABEPCE，AEPE，PCABCD3，CF2DF，CF2，PF5，在 RtAFG 中，AF4，EAF60，AFG30，AG2，FG2在 RtPFG 中，PF5，FG2，根据勾股定理得，PGAPAG+PG2+，AEPEAP5.【鲁老师原创题】如图，在四边形 ABCD 中，ADBC（1）若 AD=BC，BDBC，AB=5，AD=4，求四边形 ABCD 的面积（2）AD=90，AB=6，CD=8，若 BC=4，求四边形 ABCD 的面积；若 E、F 分别时 BC、AD 的中点，求 EF 的长ABCDDBCAFEDBCA【答案】（1）12（2）43.2；5