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1、第十八章专题：平行四边形几何综合探究（五）1.如图，ABC 中 AB=6，AC=8，D 是 BC 边上一动点，DEAC 交 AB 于 E，DFAB 交 AC 于F（1）若 BC=10，判断四边形 AEDF 的形状并证明；（2）在（1）的条件下，若四边形 AEDF 是正方形，求 BD 的长；（3）若BAC=60，四边形 AEDF 是菱形，则 BD=。【解答】（1）AEDF 是矩形，理由如下 AB2+AC2=62+82=BC2=102，由勾股定理得BAC=90 DEAF、DFAE，四边形 AEDF 是平行四边形，又BAC=90，四边形 AEDF 是矩形；（2）由（1）得，当 DE=DF 时，四边形
2、 AEDF 是正方形 设 DE=DF=x，建立面积方程 SABC=ACBD=DE（AB+AC）；2121 即：68=x（6+8），解得：x=，2121724 DE=AE=，BE=AB-AE=，724718 在 RtDEB 中，由勾股定理得：BD=；730（3）依题意得，当 AD 是BAC 角平分线时，四边形 AEDF 是菱形 点 B 作 AC 的垂线段交于点 G，又BAG=60，AG=3，CG=5，BG=3，3 由勾股定理得：BC=2，13 AD 平分BAC，SABD：SACD=AB：AC=BD：CD，即 BD：CD=3：4BD，71362.如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，ABBC 于
3、点 B，AD=24cm，BC=26cm，点 P 从点 A 出发，以 1cm/s 的速度向点 D 运动，同时点 Q 从点 C 出发，以 3cm/s 的速度向点 B 运动，其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动，设运动时间为 ts（1）当 t=s 时，四边形 APQB 为矩形；（2）若 PQ=CD，求 t 的值；（3）当 AB=cm，在点 P、Q 运动过程中，四边形 PQCD 能构成菱形【解答】（1）根据题意得：AP=tcm，CQ=3tcm，AD=24cm，BC=26cm，DP=AD-AP=24-t（cm），BQ=26-3t（cm），ADBC，B=90，当 AP=BQ 时，四边形 ABQP
4、 是矩形，t=26-3t，解得：t=6.5，即当 t=6.5s 时，四边形 ABQP 是矩形；（2）若 PQ=CD，分两种情况：PQDC 时，则四边形 PDCQ 是平行四边形，PQ=CD，即 24-t=3t，解得：t=6，PQ 与 DC 不平行时，四边形 PQCD 为等腰梯形，PQ=CD，则 QC-PD=2CM，即 3t-（24-t）=4，解得：t=7（3）若四边形 PQCD 为菱形，则 CD=CQ=PD，24-t=3t，解得：t=6，CD=CQ=18，作 DMBC 于 M，如图所示：则 AB=DM，BM=AD=24，CM=BC-BM=2，在 RtCDM 中，DM=8，5 AB=8，即 AB=
5、8cm，55 在点 P、Q 运动过程中，四边形 PQCD 能构成菱形 3.如图 1，点 E 是正方形 ABCD 的边 CD 上一点（不与 C、D 重合），连结 AE，过点 A 作AFAE，交 CB 的延长线于点 F（1）求证：AE=AF；（2）连结 EF，M 为 EF 的中点，连结 BM，求的值；CEBM（3）图 2 中，以 BF 为边作正方形 BFHG，AF 与 CG 相交于 P 点，当点 E 在边 CD 上运动时（不与 C、D 重合），请直接写出APD=度【解答】（1）如图 1四边形 ABCD 是正方形，AB=AD，ABC=BAD=D=90，ABF=90，FAE=90，FAE-BAE=BA
6、D-BAE，即；FAB=EAD，在ABF 与ADE 中，ABFDAE，ABAD，ABFD，ABFADE（ASA），AF=AE；（2）=；CEBM22（3）如图 2 过点 D 作 DQPD 交 PC 的延长线于 Q，四边形 BFHG 是正方形，BG=BF，在ABF 与CBG 中，ABBC，ABFABC，BFBG，ABFCBG（SAS），FAB=BCG，AGP=CGB，APG=ABC=90，ADC=PDQ=90，ADP=QDC，ABCD，DCQ=AGC，PAG+BAD=PAG+APG，即PAD=AGC=DCQ，在PAD 与DCQ 中，PADQCD，ADCD，ADPQDCPADQCD（ASA），PD
7、=DQ，DPQ=45，APD=45 4.已知正方形 ABCD 和等腰 RtBEF，直角顶点 E 在边 BC 上，G 为 DF 的中点（1）求证：BGF 是等腰三角形（图 1）（2）延长 CG 交 BD 于 M，连 ME、CF，求的值（图 2）MECE（3）延长 FB 到 H 使 FB=BH，HG 交 BD 于 O，N 点是 OD 的中点，若 NG=，BF=6，求13AB 的长（图 3）【解答】（1）如图 1，连接 EG 并延长交 CD 于 H，连接 CG，四边形 ABCD 是正方形，BCD=90，BEF 是等腰直角三角形，BEF=CEF=90，CEF=BCD=90，EFCD，EFG=HDG，点
8、 G 是 DF 的中点，FG=DG，在EFG 和HDG 中，EFGHDG，FGDG，EGFHGD，EFGHDG（ASA），EG=HG，BCD=90，CG=EG，CGEH，CGE 是等腰直角三角形，GEC=45，BEG=135，FEG=CEF+CEG=135，BEF=FEG，在BEG 和FEG 中，BEFE，BEGFEG，EGEG，BEGFEG（SAS），BG=FG，BGF 是等腰三角形；（2）如图 2，连接 EG 并延长交 CD 于 H，设 BE=EF=a，CE=b，在 RtCEF 中，CF=，22ba 由（1）知，CEG 是等腰直角三角形，CG=EG=b，22由（1）知，EFGHDG（ASA
9、），EF=DH，BE=EF，BE=DH，BC=CD，CE=CH，EHBD，BMC=EGC=90，在 RtBMC 中，BC=BE+CE=a+b，CM=（a+b），MG=CM-CG=a，2222在 RtMEG 中，EG=b，MG=a，ME=，=；22222222ba MECE2（3）AB=625.如图，等腰 RtABC 与等腰 RtCDE 斜边 AC 与 CE 共线，连接 BD 交 AC 于 M，F 为 AE 中点，连接 BF（1）求证：BC-DE=AF；2（2）试猜想DBF 的度数，并证明你的结论（3）已知 AF=，=，求 BD 的长 3CMEM21【解答】如图，延长 DE 交 AB 于 H，连
10、结 HF、FD，（1）1=2=45，BCD=90，ABC=90，CDH=90，四边形 HBCD 是矩形，BC=HD，DC=HB=ED，AH=AB-BH=BC-CD=BC-DE=HEHAE=45，AHE 是等腰直角三角形，sinA=AE=2AF，2HE=AE=（2AF），22HE=AF，2BC-DE=AF2（2）连结 FD，HF，HF 是AHE 斜边中线，HFAE，HF=EF，又FHE=45，FHB45+90135，FEDAHE+A135FHB=FED，在BHF 和DEF 中，HBED，FHBFED，EFHF，BHFDEF，BF=FD，HFB=DFE，DFB=DFE+EFB=HFB+EFB=90
11、，BFD 是等腰直角三角形，DBF=45，（3）BD=306.如图 1，已知 ABCD，AB=CD，A=D（1）求证：四边形 ABCD 为矩形；（2）E 是 AB 边的中点，F 为 AD 边上一点，DFC=2BCE如图 2，若 F 为 AD 中点，DF=1.6，求 CF 的长度：如图 2，若 CE=4，CF=5，则 AF+BC=，AF=【解答】（1）证明：ABCD，AB=CD，四边形 ABCD 为平行四边形，A=D，A+D=180，A=90，四边形 ABCD 为矩形，（2）解：延长 DA，CE 交于点 G，四边形 ABCD 是矩形，DAB=B=90，ADBC，GAE=90，G=ECB，E 是
12、AB 边的中点，AE=BE，在AGE 和BCE 中，GECB，GAEB90，AEBE，AGEBCE（AAS），AG=BC，DF=1.6，F 为 AD 中点，BC=3.2，AG=BC=3.2，FG=3.2+1.6=4.8，ADBC，DFC=BCF，BCE=G，DFC=2BCE，BCE=FCE=G，CF=FG=4.8；若 CE=4，CF=5，由得：AG=BC，CF=FG，GE=CE=4，AG=AD，CG=8，AF+BC=AF+AG=FG=CF=5；故答案为：5；设 DF=x，根据勾股定理得：CD2=CF2-DF2=CG2-DG2，即 52-x2=82-（5+x）2，解得：x=1.4，DG=5+1.
13、4=6.4，AD=DG=3.2，AF=AD-DF=1.8；21 7.如图，四边形 ABCD 是正方形，点 E，K 分别在 BC，AB 上，点 G 在 BA 的延长线上，且CE=BK=AG（1）求证：DE=DG；DEDG（2）尺规作图：以线段 DE，DG 为边作出正方形 DEFG（要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）；（3）连接（2）中的 KF，猜想并写出四边形 CEFK 是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想：（4）当=时，请直接写出 S正方形 ABCD：S正方形 DEFG的值 CBCEn1【解答】（1）证明：四边形 ABCD 是正方形，DC=DA，DCE=DAG=90又CE=AG，DCEDAG，DE=DG，EDC=GDA，又ADE+EDC=90，ADE+GDA=90DEDG（3）解：四边形 CEFK 为平行四边形证明：设 CK、DE 相交于 M 点四边形 ABCD 和四边形 DEFG 都是正方形，ABCD，AB=CD，EF=DG，EFDG，BK=AG，KG=AB=CD，四边形 CKGD 是平行四边形，CK=DG=EF，CKDG，KME=GDE=DEF=90，KME+DEF=180，CKEF，四边形 CEFK 为平行四边形（4）122nn