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1、第十八章专题：平行四边形几何证明与计算（三）1.在正方形 ABCD 中，F 是 BC 边的中点，EDAF 于点 E，连接 CE（1）如图 1，求证：CE=CD；（2）如图 2，连接 BE、BD，请直接写出图 2 中所有与BEF 度数相等的角【解答】（1）证明：作 CHDE 交 DE 于点 H，交 AD 于点 N，EDAF，CHDE，AFCN，又 ANCF，四边形 AFCN 为平行四边形，AN=CF，F 是 BC 边的中点，AD=BC，N 是 AD 边的中点，NHAE，DN=NA，DH=HE，又 CHDE，CE=CD；（2）解：作 BGAF 于点 G，设正方形的边长为 4a，则 BF=2a，由勾
2、股定理得，AF=，ABBF=AFBG，即4a2a=BG，a5221212121a52解得，BG=，a554ABF=90，BGAF，BF2=FGFA，即（2a）2=FG，a52解得，FG=，a552BAF+DAE=90，ADE+DAE=90，BAG=ADE，在BAG 和ADE 中，BAGADE，AGBDEA90，ABADBAGADE（AAS）AE=BG=，EG=AF-AE=FG=，BG=EG，BEF=45，a554a554则图 2 中所有与BEF 度数相等的角有ABD、CBD、ADB、CDB 2.在菱形 ABCD 中，点 Q 为边 AB 上一点，点 F 为 BC 边上一点，连接 DQ、DF 和
3、QF（1）如图 1，若ADQ=FDQ，FQD=90求证；AQ=BQ；（2）如图 2，在（1）的条件下，BAD=120，对角线 AC、BD 相交于点 P，以点 P 为顶点作MPN=60，PM 与 AB 交于点 M，PN 与 AD 交于点 N求证：DN+QM=AB【解答】（1）证明：如图 1，分别延长 FQ、DA 交于 L，ADQ=FDQ，DQ=DQ，FQD=LQD=90，FQDLQD（ASA），FQ=LQ，菱形 ABCD，LDBF，ALQ=BFQ，LAQ=FBQ，ALQBFQ（AAS），AQ=BQ；（2）如图 2，连接 QP，菱形 ABCD，BAP=DAP，PA=PC，ACBD，APB=APD=
4、90，BAD=120，BAP=DAP=60，ABP=30，PA=AB，21AQ=BQ，PQ=AB，PA=PQ，21APQ 是等边三角形，APQ=PQA=60，MPN=60，APQ=MPN=60，QPM=APN，PQM=PAN=60，PQMPAN（ASA），QM=AN，AB=AD=DN+AN，AB=DN+QM 3.如图，在菱形 ABCD 中，AEBC 于点 E（1）若BAE=30，AE=3，求菱形 ABCD 的周长（2）作 AFCD 于点 F，连结 EF，BD，求证：EFBD（3）设 AE 与对角线 BD 相交于点 G，若 CE=4，BE=8，四边形 CDGE 和AGD 的面积分别是S1和 S2
5、，求 S1-S2的值【解答】（1）解：AEBC，BAE=30，BE=AB，BE2+AE2=AB2，21AE=3，（AB）2+32=AB2，解得：AB=2，213菱形 ABCD 的周长=24=8；33（2）证明：四边形 ABCD 是菱形，ABE=ADF，AB=AD=BC=CD，AEBC，AFCD，AEB=AFD=90，在ABE 和ADF 中，ABEADF，AEBAFD，ABAD，ABEADF（AAS），BE=DF，BC=CD，CE=CF，CEF=CBD=（180-C），EFBD；21（3）解：连接 CG，如图所示：四边形 ABCD 是菱形，ADG=CDG，AD=CD，在ADG 和CDG 中，AD
6、CD，ADGCDG，DGDG，ADGCDG（SAS），AG=CG，ADG 和CDG 的面积相等，S1-S2=SCGE，AB=BC=CE+BE=4+8=12，AEBC，AE=4，设 EG=x，则 AG=CG=4-x，55AEBC，EG2+EC2=CG2，即：x2+42=（4-x）2，5解得：x=，即 EG=，558558S1-S2=SCGE=CEEG=4=212155855164.如图，已知菱形 ABCD 中，BAD=60，点 E、F 分别是 AB、AD 上两个动点，若 AE=DF，连接 BF 与 DE 相交于点 G，连接 CG，（1）求BGE 的大小；（2）求证：GC 平分BGD【解答】（1）
7、四边形 ABCD 是菱形，AD=AB，BAD=60，ADB 是等边三角形AD=AB=BD，DAB=ADB=ABDAE=DF，DAB=ADB=60，AD=BD，ADEDBF（SAS）ADE=DBF，又BGE=BDE+DBF=BDE+ADE=ADBBGE=ADB=60（2）如图，过点 C 作 CNBF 于点 N，过点 C 作 CMED 于点 M，由（1）得ADE=DBFCBF=60+DBF=60+ADE=DEB又DEB=MDC，CBF=CDMBC=CD，CBF=CDM，CMD=CNG=90，RtCBNRtCDM（AAS）CN=CM，且 CNBF，CMED点 C 在BGD 的平分线上，即 GC 平分
8、BGD 5.已知菱形 ABCD，ABC=60，O 为 AC 边的中点，E 为线段 AC 上一点（不与 A、O、C 点重合）（1）如图 1，当 E 点在线段 AC 上时，F 点在边 AD 上，DF=CE，射线 BE 与 CF 交于 M，连接AM，求证：MA 平分EMF；（2）当点 E 在线段 AC 上时，G 点为 E 点关于 O 点的对称点，延长 BE 到 P 使 EP=BE，点 N为边 AD 上一点，并且满足 AN=AC-EG，请你判断直线 PN 与直线 AB 的位置关系，并证明你的结论【解答】（1）证明：ABC=60，ABC 是等边三角形，AB=AC，又菱形的边 AB=AD，DF=CE，AD
9、-AF=AC-CE，即 AF=AE，在ABE 和ACF 中，ABAC，BAECAF60，AFAE，ABEACF（SAS），ABE=ACF，AEB=CEM，ABECME，CME=BAE=60，CEBDMEAE又AEM=BEC，AEMBEC，AME=ACB=60，AMF=180-AME-CME=180-60-60=60，AMF=AME，MA 平分EMF；（2）解：PNAB理由如下：如图，连接 NE 并延长与 AB 相交于点 F，由菱形的对称性得，AE=CG，AN=AC-EG，AN=2AE，CAD=ACB=60，ANE=30，AEN=90，由菱形的对称性得 EN=EF，在BEF 和PEN 中，EPB
10、E，BEFPEN，ENEF，BEFPEN（SAS），BFE=PNE，PNAB 6.如图，在正方形 ABCD 中，AB=6，点 E 在对角线 BD 上，DE=2，连接 CE，过点 E 作2EFCE，交线段 AB 于点 F（1）求证：CE=EF；（2）求 FB 的长；（3）连接 FC 交 BD 于点 G求 BG 的长【解答】（1）过 E 作 EMAB 于 M，EHBC 于 H，四边形 ABCD 是正方形，EBM=HBE=45，EM=EH，EMB=MBH=BHE=90，MEH=90，EFCE，MEF=90，MEF=CEH，EMFEHC（ASA），CE=EF；（2）AB=6，BD=6，2DE=2，2B
11、E=BD-DE=4，2BM=BH=4，AM=CH=2，EMFEHC，FM=CH=2，BF=AB-AM-MF=6-2-2=2；（3）BN=2237.在四边形 ABCD 中，AGBC（BCAG），B=90，AB=BC=12，E 是 AB 上一点，且ECG=45，BE=4，求 EG 的长？【解答】过点 C 作 CDAG，交 AG 的延长线于 DAGBC，A+B=180，B=90，A=180-B=90，CDA=90，AB=BC，四边形 ABCD 是正方形，AB=BC=12，CD=AD=12，BE=4，AE=AB-BE=8，设 EG=x，由（1）知 EG=BE+GD，GD=x-4，AG=AD-GD=12-（x-4）=16-x，在 RtAEG 中：GE2=AG2+AE2，x2=（16-x）2+82，解得 x=10，EG=10