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1、第十八章专题：平行四边形几何综合探究1.如图 1，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 AD，CD 上两点，BE 交 AF 于点 G，且 DECF（1）写出 BE 与 AF 之间的关系，并证明你的结论；（2）如图 2，若 AB2，点 E 为 AD 的中点，连接 GD，试证明 GD 是EGF 的角平分线，并求出 GD 的长；（3）如图 3，在（2）的条件下，作 FQDG 交 AB 于点 Q，请直接写出 FQ 的长【解答】（1）BEAF，BEAF，理由：四边形 ABCD 是正方形，BAADCD，BAED90，DECF，AEDE，BAEADF（SAS），BEAF，ABEDAF，ABE+AEB90，
2、DAE+AEB90，BGA90，BEAF，（2）如图 2，过点 D 作 DNAF 于 N，DMBE 交 BE 的延长线于 M，在 RtADF 中，根据勾股定理得，AF，SADFADFDADDN，DN，2121BAEADF，SBAESADF，BEAF，AGDN，易证，AEGDEM（AAS），AGDM，DNDM，DMBE，DNAF，GD 平分MGN，DGNMGN45，DGN 是等腰直角三角形，21GDDN；（3）如图 4，由（2）知，GD，AF，AGDN，FGAFAG，过点 F 作 FMDG 于 M，在 RtFGM中，FM，DGFQ，点 D 到 FQ 的距离为，连接 DQ，SDFQDFADFQ，2
3、12112FQ，FQ2.菱形 ABCD 的对角线 AC、DB 相交于点 O，P 是射线 DB 上的一个动点（点 P 与点 D，O，B 都不重合），过点 B，D 分别向直线 PC 作垂线段，垂足分别为 M，N，连接 OMON（1）如图 1，当点 P 在线段 DB 上运动时，证明：OMON（2）当点 P 在射线 DB 上运动到图 2 的位置时，（1）中的结论仍然成立请你依据题意补全图形：并证明这个结论（3）当BAD120时，请直接写出线段 BM，DN，MN 之间的数量关系是 【解答】（1）证明：延长 NO 交 BM 交点为 F，如图四边形 ABCD 是菱形，ACBD，BODODNMN，BMMN，B
4、MDNDBMBDN，且 BODO，BOFDONBOFDON，NOFO，BMMN，NOFO，MONOFO（2）如图：延长 MO 交 ND 的延长线于 FBMPC，DNPC，BMDN，FBMOBOOD，FBMO，BOMFODBOMFOD，MOFOFNMN，OFOM，NOOMOF（3）如图：BAD120，四边形 ABCD 是菱形，ABC60，ACBDOBC30BMPC，ACBDB，M，C，O 四点共圆FMNOBC30FNMNMNFN（BM+DN）当点 P 在 OD 上时，同理可求：MN（BMDN），点 P 在 OB 上时，同理可求：MN（DNBM）答案为：MN（BM+FN）或 MN（BMDN）或 M
5、N（DNBM）3.如图为正方形 ABCD 中，点 M、N 在直线 BD 上连接 AM，AN 并延长交 BC、CD 于点 E、F，连接 EN（1）如图 1，若 M，N 都在线段 BD 上，且 ANNE，求MAN；（2）如图 2，在（1）的条件下，若 EHBE 交 BD 于点 H，求证：点 N 为 HD 的中点；（3）如图 3，若点 N 在 DB 的延长线上，M 在 BD 的延长线上，且MAN135，MN6，NB2，则 DM 【解答】（1）如图 1，过 N 作 GKBC，交 AD 于 G，交 BC 于 K，四边形 ABCD 是正方形，ADBC，ADB45，GKAD，AGNEKN90，NGD 是等腰
6、直角三角形，NGDG，ADDCGK，AGNK，在 RtAGN 和 RtNKE 中，RtAGNRtNKE（HL），ANGNEK，ENK+NEK90，ANG+ENK90，ANE90，ANE 是等腰直角三角形，MAN45；（2）证明：如图 2，由（1）知：RtAGNRtNKE，GNEKGDCK，EHBC，GKBC，DCBC，EHNKDC，NHDN，即 N 为 DH 的中点；（3）如图 3，过 A 作 AKAN，且 AKAN，连接 MK、KB、KN，KANBAD90，KABDAN，ABAD，BAKDAN（SAS），DNBK，ABKADN45，MBK45+4590，MAN135，KAN90，MAK135
7、MAN，AMAM，AKMANM（SAS），MKMN6，设 DMx，则 DNBK6x，在 RtMBK 中，由勾股定理得：（6x）2+4262，解得：x62，DM6，DM62；4.如图，已知 ADBC，ABBC，ABBC4，P 为线段 AB 上一动点将BPC 沿 PC 翻折至EPC，延长 CE 交射线 AD 于点 D（1）如图 1，当 P 为 AB 的中点时，求出 AD 的长；（2）如图 2，延长 PE 交 AD 于点 F，连接 CF，求证：PCF45；（3）如图 3，MON45，在MON 内部有一点 Q，且 OQ8，过点 Q 作 OQ 的垂线 GH 分别交 OM、ON 于 G、H 两点设 QGx
8、，QHy，直接写出 y 关于 x 的函数解析式【解答】（1）AD1；（2）如图 2，过 C 作 CGAF 交 AF 的延长线于 G，ABG90，四边形 ABCG 是矩形，ABBC，矩形 ABCG 是正方形，CGCB，将BPC 沿 PC 翻折至EPC，CEPB90，BCCE，BCPECP，FED90，CGCE，在 RtCEF 与 RtCGF 中，RtCEFRtCGF（HL），ECFGCF，BCP+GCFPCE+FCE45，PCF45；（3）如图 3，将OQG 沿 OM 翻折至OPG，将OQH 沿 ON 翻折至ORH，延长 PG，RH 交于 S，则POGQOG，ROHQOH，OPOQOR8，PGQGx，QHRHy，POR2MON90，GHOQ，OQGOQH90，PR90，四边形 PORS 是正方形，PSRS8，S90，GS8x，HS8y，GH2GS2+SH2，（x+y）2（8x）2+（8y）2，y