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1、1991 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文史类）考生注意：这份试卷共三道大题(26 个小题)满分 120 分 一、选择题：本大题共15小题；每小题3分，共45分在每小题给出的四个选项中，只有一是符合题目要求的把所选项前的字母填在题后括号内 (1)已知sin=54，并且 是第二象限的角，那么tg 的值等于()(A)34(B)43(C)43(D)34(2)焦点在(1，0)，顶点在(1，0)的抛物线方程是()(A)y2=8(x1)(B)y2=8(x1)(C)y2=8(x1)(D)y2=8(x1)(3)函数y=cos4xsin4x的最小正周期是()(A)2(B)(C)2 (D)4 (4)P(2
2、，5)关于直线xy=0的对称点的坐标是()(A)(5，2)(B)(2，5)(C)(5，2)(D)(2，5)(5)如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有()(A)12 对(B)24 对(C)36 对(D)48 对(6)函数y=sin(2x25)的图像的一条对称轴的方程是()(A)x=2(B)x=4(C)x=8(D)x=45(7)如果三棱锥SABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S在底面的射影O在ABC内，那么O是ABC的()(A)垂心(B)重心(C)外心(D)内心(8)已知an是等比数列，且an0，a2a42a3a5a4a6=25
3、，那么a3a5的值等于()(A)5(B)10(C)15(D)20(9)已知函数y=156xx(xR，且x1)，那么它的反函数为()(A)y=156xx(xR，且 x1)(B)y=65xx(xR，且 x6)(C)y=561xx(xR，且 x65)(D)y=56xx(xR，且 x5)(10)从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有()(A)140 种(B)84 种(C)70 种（D）35 种(11)设甲、乙、丙是三个命题如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么()(A)丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件(B)丙是甲的必要
4、条件，但不是甲的充分条件(C)丙是甲的充要条件(D)丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件(12)511)(411)(311(limnn(121n)的值等于()(A)0(B)1(C)2(D)3 (13)如果AC0且BC0，那么直线AxByC=0不通过()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限(14)如果奇函数f(x)在区间3，7上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间7，3上是()(A)增函数且最小值为5(B)增函数且最大值为5(C)减函数且最小值为5(D)减函数且最大值为5(15)圆x22xy24y3=0上到直线xy1=0的距离为2的点共有()(A)1 个(B)2 个(C
5、)3 个(D)4 个 二、填空题：本大题共5小题；每小题3分，共15分把答案填在题中横线上(16)双曲线以直线x=1和y=2为对称轴，如果它的一个焦点在y轴上，那么它的另一焦点的坐标是_(17)已知sinx=215，则sin2(x4)=_(18)不等式lg(x22x2)1，那么a=_(20)在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知顶点A上三条棱长分别是32、2如果对角线AC1与过点A的相邻三个面所成的角分别是、，那么cos2 cos2 cos2=_ 三、解答题：本大题共6小题；共60分(21)(本小题满分8分)求函数y=sin2x2sinxcosx3cos2x的最大值(22)(本小题满分8分)
6、已知复数z=1i,求复数1632zzz的模和辐角的主值(23)(本小题满分10分)如图，在三棱台A1B1C1ABC中，已知A1A底面ABC，A1A=A1B1=B1C1=a，B1BBC，且B1B和底面ABC所成的角45，求这个棱台的体积(24)(本小题满分10分)设an是等差数列，bn=(21)an已知b1b2b3=821,b1b2b3=81求等差数列的通项an(25)(本小题满分12分)设a0，a1，解关于x的不等式.)1(2242axxaa(26)(本小题满分12分)已知椭圆的中心在坐标原点 O，焦点在坐标轴上，直线 y=x1 与该椭圆相交于 P 和 Q，且 OPOQ，|PQ|=210求椭圆
7、的方程 1991年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题(文史类)参考解答及评分标准 说明：一 本解答指出了每题所要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种较为常见的解法，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准制定相应评分细则 二每题都要评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响的程度决定后面部分的给分，但不得超过后面部分应给分数的一半；如果这一步以后的解答有较严重的错误，就不给分 三为了阅卷方便，本试题解答中的推导步骤写得较为详细，允许考生在解题过程中
8、合理省略非关键性的推导步骤 四解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 五只给整数分数 一选择题本题考查基本知识和基本运算每小题3 分，满分45分(1)A (2)D (3)B (4)C (5)B (6)A (7)D (8)A (9)B (10)C (11)A (12)C (13)C (14)B (15)C 二填空题本题考查基本知识基本运算每小题3 分，满分15分(16)(2，2)(17)25 (18)x|4x2 (19)1+510 (20)2 三解答题(21)本小题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的性质满分8分 解：y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=(sin2x
9、cos2x)+2sinxcosx+2cos2x 2分=1+sin2x+(1cos2x)4分=2+sin2x+cos2x=2+2sin(2x+4)6分 当sin(2x+4)=1时，函数y有最大值，这时y的最大值等于2+2 8分 注：没有说明“当sin(2x+4)=1时，函数y有最大值”而得出正确答案，不扣分(22)本小题考查复数基本概念和运算能力满分8分 解：1632zzz=116)1(3)1(2iii=ii23 2分=1i 4分 1i的模r=22)1(1=2因为1i对应的点在第四象限且辐角的正切 tg=1，所以辐角的主值=47 8分(23)本小题考查直线与直线，直线与平面的位置关系，以及逻辑推
10、理和空间想象能力满分10分 解：因为A1A底面ABC，所以根据平面的垂线的定义有A1ABC又BCBB1，且棱AA1和BB1的延长线交于一点，所以利用直线和平面垂直的判定定理可以推出BC侧面A1ABB1，从而根据平面的垂线的定义又可得出BCAB ABC是直角三角形，ABC=90并且ABB1就是BB1和底面ABC所成的角，ABB1=45 3分 作B1DAB交AB于D，则B1DA1A，故B1D底面ABC RtB1DB中DBB1=45，DB=DB1=AA1=a，AB=2a 6分 由于棱台的两个底面相似，故 RtABCRtA1B1C1 B1C1=A1B1=a，AB=2a，BC=2a S上=21A1B1B
11、1C1=22a S下=21ABBC=2a2 8分 V棱台=31A1A下下上上SSSS=31a.67222232222aaaaa 10分(24)本小题考查等差数列，等比数列的概念及运用方程(组)解决问题的能力满分10分 解 设等差数列an的公差为d，则an=a1+(n1)d dnanb1121 b1b3=121ada2121=da 1221=22b 由 b1b2b3=81，得32b=81，解得 b2=21 3分 代入已知条件.82181321321bbbbbb，整理得.817413131bbbb，解这个方程组得b1=2，b3=81或b1=81，b3=2 6分 a1=1，d=2或a1=3，d=2
12、8分 所以，当a1=1，d=2时 an=a1+(n1)d=2n3 当a1=3，d=2时 an=a1+(n1)d=52n 10分(25)本小题考查指数函数性质、解不等式及综合分析能力满分12分 解法一 原不等式可写成 2242axxaa 1分 根据指数函数性质，分为两种情形讨论：()当0a1时，由式得 x42x2+a20，3分 由于0a0,所以式等价于.11112222axax，5 分 解式得 x211a，解式得 211ax211a 7 分 所以，0a1 时，原不等式的解集为 x|211ax211ax|211ax1 时，由式得 x42x2a20，9 分 由于 a1，判别式0，故式对任意实数 x
13、成立，即得原不等式的解集为 x|x 12 分 综合得 当 0a1 时，原不等式的解集为 x|211ax211ax|211ax1 时，原不等式的解集为 x|x 解法二 原不等式可写成 2242axxaa 1 分 ()当 0a1 时，由式得 x42x2a20，3 分 分解因式得 (x2121a)(x2121a)0 即 ;011,0112222axax 或 .011,0112222axax 5 分 解由、组成的不等式组得 211ax211a 或 211ax211a 7 分 由、组成的不等式组解集为空集；所以，0a1 时，原不等式的解集为 x|211ax211ax|211ax1 时，由式得 x42x2
14、a20，9 分 配方得 (x21)2a210，对任意实数 x，不等式都成立，即 a1 时，原不等式的解集为 x|x 12 分 综合得 当 0a1 时，原不等式的解集为 x|211ax211ax|211ax1 时，原不等式的解集为 x|x(26)本小题考查椭圆的性质、两点的距离公式、两条直线垂直条件、二次方程根与系数的关系及分析问题的能力满分 12 分 解法一 设所求椭圆方程为.12222byax 依题意知，点 P、Q 的坐标满足方程组 .1,12222xybyax 将式代入式，整理得(a2b2)x22a2xa2(1b2)=0,2 分 设方程的两个根分别为 x1，x2，那么直线 y=x1 与椭圆
15、的交点为 P(x1，x11)，Q(x2，x21)3 分 由题设 OPOQ,|PQ|=210，可得 .2101111122122122211xxxxxxxx，整理得.05164012212212121xxxxxxxx，6分 解这个方程组，得；，23412121xxxx 或 .21412121xxxx，根据根与系数的关系，由式得()；，4112322222222bababaa 或 ().4112122222222bababaa，10分 解方程组()，()，得；，32222ba 或 .23222ba，故所求椭圆的方程为 132222yx，或 .123222yx 12分 解法二 同解法一得(a2+b2)x2+2a2x+a2(1b2)=0，2分 解方程得 22222222222111babaabaxbabaabax，4分 则直线y=x+1与椭圆的交点为 P(x1，x1+1)，Q(x2，x2+1)由题设OPOQ，得