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1、2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(乙卷理科)压轴题解读2 21 1 .设3是椭圆C:二+马=1(。6 0)的上顶点，若 C上的任意一点尸都满足|P B|,2 则C的离心率的取值范围a 3是()A.冬 1)B.；,1)C.(0,#D.(0,【命题意图】本题考查了椭圆的方程和性质，考查了运算求解能力和转化与化归思想，属于中档题.【答案】C【解析】点8的坐标为(0,b),因为C上的任意一点P都满足|P B|,2 6,所以点P的轨迹可以看成以3为圆心，2 b 为半径的圆与椭圆至多只有一个交点，x2 y2即2 十从一1 至多一个解，x2+(y-6)2 =4b2消去 x ,可得 y2-2by
2、+a2-3b2=0 ,.=4 8 2 一 4 .h 2a(a2-3 序)0 ,整理可得 4 f t4-4 a2*2+a 0,B P (a2-2b2)2 0 ,解得 a2=2b2,e=Jl 一=,V a2 2故e 的范围为(0,等)，故选：C.(规律总结解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域
3、的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.1 2 .设a =2/L0 1,b=lnl.O2,c =V T 0 4-l,贝|()A.a b c B.b c a C.b a c D.c a b/(x)=2ln(+x)-(71+4x-1),0 x b_ t2 _i令 Jl+4x=t,则 v/0,.g（f）在（1,行）上单调递增,g(t)g(1)=2/4-1+2/4=0,:.f(x)Q,:.a c,同理令 hx)=/(1+lx)-(J1+4 x-1),_ _ _ _ _ 产_ 再令+4 x=t,贝!j v/石x=-,5 +1?.(p(t)=ln()-/4-l=/n(r+1)
4、f+1 勿2,、2t i 1)0,夕在（1,新）上单调递减,/.(p(t)p (1)=ln2 1 +1 In2=0，h(x)h,:.a c h .故选 8.1 6.以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和附视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为.（写出符合求的一组答案即可）.图2【命题意图】考查三视图，考查直观想象，逻辑推理能力【答案】或【解析】根 据“长对正，高平齐，宽相等”及图中数据，可知只能是侧视图，只能是俯视图，于是可得正确答案为或若为，则 如 图 1;若为，则如图2.图I图22 0.己知函数/(x)=/(a-x),已知x =0是函数y =#(x)的极值点.(
5、1)求a；(2)设函数g(x)=&也.证 明：g(x)l.【命题意图】本题考查了导数的综合应用，主要考查了利用导数研究函数的极值问题，利用导数证明不等式问题，此类问题经常构造函数，转化为证明函数的取值范围问题，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于难题.【解析】(1)由题意，/(X)的定义域为(Y o,a),令 g(x)=xf(x),则 g(x)=xln(a-x),x s(-o o,a),贝I g(x)=ln(a-x)+x-=ln(a-X)H-,a x a x因为x =O是函数y =Ex)的极值点，贝l j有g)=0,即历a=0,所以a=l,当 a=l时，g(x)=ln(l-x)H =/n(l
6、-x)H-+1 ,且 g (0)=0,1-x 1 -X因为 g(x)=m+T、=w 0 ,当 x w(0,l)时，gx)0 ,所以a=l时，x =()时函数y=xf(x)的一个极大值.综上所述，a=l；(2)证明：由(1)可知，xf(x)=xln(1-x),要证-+/(r)1 ,即需证明 x+/(1-x)1,xfx xln(-x)因为当 x w (-o o,a)时，xln(x)0 ,当 x (0,1)时，xln(-x)xln(l x),即 x +(1 x)ln(l x)0 ,令 h(x)=x +(l -x)ln(l-x),则 hf(x)=(1 -x)-+1-ln(-x),1 x所以(0)=0,
7、当天(YO,0)时，仇幻 0,所以x =0 为(x)的极小值点，所以 h(x)/?(0)=0 .即 x +/(1 x)xln(x),故 牝 处&1,xln(l-x)所 以 山 鱼 0)的焦点为尸，且尸与圆M+(y+4)2=1 上点的距离的最小值为4.(1)求 p ；(2)若点尸在加上，P A,依 为 C的两条切线，A,8是切点，求 凶 4 B 面积的最大值.【命题意图】本题考查圆锥曲线的综合运用，考查直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题.【解析】(1)点尸(0,9 到圆上的点的距离的最小值为|F M|-l =+4-l =4 ,解得p =2 ；(2)由(1)知，抛物线的方程为V=
8、4y,即y =(x 2,则设切点A J,%),B(X2,%)，则易得姮：产 手 号,:y =?-今，从而得到 牛)，设L：y =+联立抛物线方程，消去y并整理可得f-4 6-4 6 =0,/.=16k1 2+16b0 即:+人。，且X +%=4 攵，x(x2=-4b.P(2k-b),12 S”=5|A 8|d =4(公+力2 ，又点 P(2&,-6)在圆例：+(丫+4)2=1上，故&2 代入得，SgA B=4(d+了二 15)5,而“=-匕 -5，-3 ,.当匕=5 时，(5.),而=20.压 轴 题 模 拟21.(2021广东汕头市高三二模)已知椭圆C：、+2=1 的左、右焦点分 别 是 工
9、，过 F z 的直线/与C交于A,B 两 点,设。为坐标原点，若 无=丽+而，则四边形A 06E 面积的最大值为()A.1 B.7 2 C.6 D.2A/2【答案】B|A B|=Jl +/.(芭+占)2=Jl +储 416k2+16，dPTAR=+2处,lk2+1【解析】由已知得若。方=函+砺，故四边形4 0 8 E 是平行四边形，其面积是A。4 8面积的两倍，下面先求A O A B的面积的最大值.由椭圆的方程的椭圆的右焦点坐标为（1,0）,设直线A 8 的方程为=分+1,代入椭圆方程中并整理得：（2+2）/+2 -1 =0,=（2 攵）2-4（2+用 x（-1）=8 伙2+1）,q 询此 一
10、I%I|=.晓*不 =工 _ V 2/_ 7 2 V 2令 而 口=r，A B -777 f ,当r =1,即 D,也就是直线A B 与X 轴垂直时AOAB面积取得最大值为t H t1，.四边形A 0 8 E 的面积最大值为也.故选：B.2.（2021黑龙江大庆市铁人中学高三一模（理）已知双曲线。:与2_ y _（4 Z 0,/?0）的左、右焦点分别为 ，F2,以坐标原点。为圆心，以忸6I为直径的圆交双曲线右支上一点M,sin入耳2 乎，则双曲线C的离心率的取值范围为（）A.ley/3 B.e 2 C.ley/5 D.l e 毡，A t a n N g 耳sin N M F?F _ s i n
11、 N A/尸COSZMF2F -s i n2Z MF2F设M局Ft =9 2.,贝/e2=产 2+，+1=1+-令 H+；,一 2 时，则在 2,+8）上单调递增,，+-之 2 H =,*1 e2 5 1 e /5 t 2 2故选:C.3.(2021新余市第一中学高三模拟(理)已知若a =2c o：-x +l ,匹半，。=型 点1,则(4 j 6 2 co s*e e()A.a b c B.acb C.b c a D,c a b【答案】A【解析】构造函数/(x)=W,x(0，+8),则/(x)=et.：D e：=_/0,所以函数/(x)在(0,+8)上单调递减，因为 所以 0 s i n x
12、c o s x l 2c o s 2x 2,所以/(2c o s2 x)/(c o s x)cbC.b a c【答案】DI n x【解析】令F(x)二且X(0,十8),x +1B.c b aD.abcI 1 ,1 +I n x则尸(x)=(x +1)2若 g(x)=l +-I n x,则在 XG(0,+8)上 g (x)=-y-0,即 g(x)单调递减,X X X又g(e)=,0,g(e 2)=二一 1 0,即*edl)使g(%)=0,e e e 在(%,+c o)上g(x)v。B PZ(x)0,/(%)单调递减;./(20r2i1、)/i(/2c c0c2 八0、),-有l-n-2-0-2-
13、1 b,2022 2(211 1 I,n x I-n x令 m(x)=且 x e (0,1)U(1,田)，则 m，=*I )一(x-1)2若(x)=l I n x,则，(x)=L(!l),即在x e(0,l)上 (x)单调递增，在x e(l,+)上(x)单调递减,X X X：.n(x)n(l)=0,即加(x)0,?(x)在 x w(l,+o o)上递减,/c c c c、八 I n 2022 I n 2021 ,.,.加(2022)w(2021),有-c ,故选：D.2021 20205.（2021湖北高三一模（理）现有编号为、的三个三棱锥（底面水平放置），俯视图分别为图1、图2、图3,则至少
14、存荏一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是一【答案】【解析】编号为的三棱锥，其直观图可能是，侧棱V C 1底面4 B C,则 侧 面 底 面A B C,满足题意;编号为的三棱锥，其直观图可能是，侧面P8 C J底而A 8 C,满足题意；编号为的三棱锥，顶点的投影不在底面边上（如图），不存在侧面与底面垂直。故答案为.6.（2021福建福州市福州三中高三月考）在棱长为1的正方体AB CQ-A/C1O1中，点N分别是棱8 1G,G Q的中点，过4,M,N三点作正方体的截面，将截面多边形向平面A O A 4作投影，则投影图形的面积为7【答 案 晚【解析】直线M N分别与直线4 A,45交于E,尸
15、两点,连接AE,A F,分别与棱。功，BBi交于G,H两点，连接GN,MH,得到截面五边形AGNM”，向平面ADDA 作投影，得到五边形AHMDG,由点M，N分别是棱囱C,G G的中点，可得DiE=DiN=g,22由DIEGSA O A G,可得 Q G=2Q|G=一，32同理8 H=2场”=-,3n l2则 AH i=24 M=,31A M=i M=27故答案为：.7.（2021山东潍坊市高三三模）设抛物线C：/=2p y （p 0）的焦点为尸，点P（m,2）（机 0）在抛物线C上，且满足|PF|=3.（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点G（0,4）的直线/与抛物线C交于A,B两 点,分别
16、以A,3为切点的抛物线C的两条切线交于点。，求三角形P Q G周长的最小值.【解析】由 抛 物 线 定义，得|PF|=2+5=3,得p =2,抛物线C的标准方程为x2=4 y；（2）设4（内,乂），B（x2,y2）,直线/的方程为y =Ax+4 ,f y =r +4 联立2、，消掉x，得4履 16 =0，A0,x=4 y/.$+%=4 Z,XjX2=-16,设A,3处的切线斜率分别为占，k2,则勺=5，网=，2在点A的切线方程为y-x吟（-%），即丫=纪 一 王 ，2 2 4同理，在3的切线方程为y =芳-今 ，2由得：=3=2左，代入或中可得：ye=f c vl-y=y1-4-y,=-4,Q
17、（2k,-4）,即。在定直线y =7上，设点G关于直线y =-4的对称点为G ,则G（O,12）,由 知P（2 0,2）,VIPQ+G Q PQ+G Q G P27 51,即 P,Q,G三点共线时等号成立，A三角形PQG周长最小值为|G“+|G/|=27 51+28.8.（20 21江西高三模拟（文）已知开口向右的抛物线E的顶点在原点，焦点尸在x轴上，点”（，,2）在抛物线E上,且|网=2.（1）求抛物线E的方程；（2）经过焦点尸的直线与抛物线E交于A3两点，过A3两点分别作抛物线的切线并交于点。，求三角形面积的最小值.【解析】（1）设抛物线E的方程为V=2p x,将2）坐标代入方程得4=2p
18、 m,又I =7 +曰=2,由，解得P =2,所以抛物线E的方程为丁=4x.(2)设A3 的方程为=一1,4(玉，%)8(工 2，%)，ty=x-.联立方程，/-4/-4 =0,y=4 x.,yl+y2=4t,yiy2=-4,直线Z M的方程为,丁=2(%+%),直线DB的方程为y2 y=2(x+/)，联立直线DA DB的方程解得，x=ZX-型=一1,%一弘 4=2(占一%)=2.,2-凹2/2+2|_点D到直线AB的距离d=-1,1=25/1+7 ,V i T?|A f i|=J1+*J(4r y +16=4(产 +1),所以 ADAB的面积是S=5 x4 1-+l)x 2J1+厂=4(1+
19、厂)2 4,当且仅当/=0 时取等号，综上：面积的最小值为4.9.(20 21安徽省泗县第一中学高三模拟(理)已知函数f(x)=l n x+衣2-(2a+l)x,(a 0).(1)当。=0 时，求函数/(x)的极值；(2)函数/(x)在区间(1,”)上存在最小值，记为g(a),求证：g(a)0,则/(x h L T,当x e(0,l),J(x)0；当x e l,+o o),所以/”(x)0.此时函数/(x)在区间(1,+8)上单调递增，所以函数/(x)无最小值，此时亦不符合题意；当0a J时，此时1 J.2 2a函数/(X)在区间(1,()上单调递减，在区间(专,+8)上单调递增，所以/(尤)
20、=f =In-1,即 g(o)=l n -1 n u n 2a)2a 4a 7 2a 4要证g(a)=l n-1 -2,只需证当Ov时，In-1+11),由(1)知/?Q)/z=0,所以g(a)r.(1)若函数/(x)在x =l处取得极大值，求实数?的值；(2)当机=1时，若对V x 0,不等式/(x)N g(x)恒成立，求实数”的值.【解析】因为x)=e(侬2+尤)，所 以/(x)=(/+x +2尔+1),2因为/(力 在x =l处取极大值，所以r(l)=0,所以(z+l +2m+l)=0,所以机=一2 1当加=时，f(x)=一 一e(2x +3)(x-l),所以/(x)在x =l处取极大值
21、，符合题意；XF0,一目_32 1(1,+0 0)0+0“X)单调递减极小值单调递增极大值单调递减(2)当机=1 时，/(x)=e(x2+x),(%)=e x2+t i r+l n%+l.又因为对V x 0,不等式/(x)N g(x),所以尤 0时，e 仔+x)N e 2+aC+ai n x +l，所以x 0时，ex+b,xa(x+nx)+l,令Z =x+l n x,因为力(x)=x+l n x为(0,+8)上的增函数，且/i(x)的值域为R ,所以l e R,故问题转化为“V re R,e -0-1 2 0恒成立“，不妨设尸(/)=勿一1,所以9(/)=a,当.40时，F t)=e-a 0,所以尸在R上单调递增，且 尸 =e-l=0,所以当fe(T Q,0)时，尸(/)0时，令尸(r)=0,解得x=lna,当f e(-8,lna)时，Ff(r)0 ,尸单调递增,所以 F(/),=F(ln0,所以 1-lna-0 ,所以 Ina+-lV O,a ai己0(a)=na+-,(p(ci)-,aa-当ae(0,l)时，*(a)(),夕(a)单调递增，所以。(入 小 夕 二。，又因为1114+工一1 0,即0(。)0,所以a=l.