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1、1/4 1 已知一个矩形纸片 OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点 A（11，0），点 B（0，6），点 P 为BC 边上的动点（点 P 不与点 B、C 重合），经过点 O、P 折叠该纸片，得点 B和折痕 OP设 BP=t （）如图，当 BOP=30时，求点 P 的坐标；（）如图，经过点 P 再次折叠纸片，使点 C 落在直线 PB上，得点 C和折痕 PQ，若 AQ=m，试用含有 t 的式子表示 m；（）在（）的条件下，当点 C恰好落在边 OA 上时，求点 P 的坐标（直接写出结果即可）解：（）根据题意，OBP=90，OB=6，在 Rt OBP 中，由 BOP=30，BP=t，得 OP=
2、2t OP2=OB2+BP2，即（2t）2=62+t2，解得：t1=2，t2=2（舍去）点 P 的坐标为（，6）（）OBP、QCP 分别是由 OBP、QCP 折叠得到的，OBP OBP，QCP QCP，OPB=OPB，QPC=QPC，OPB+OPB+QPC+QPC=180，OPB+QPC=90，BOP+OPB=90，BOP=CPQ 又 OBP=C=90，OBP PCQ，由题意设 BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，则 PC=11t，CQ=6m m=（0t11）（）过点 P 作 PEOA 于 E，PEA=QAC=90，PCE+EPC=90，PCE+QCA=90，EPC=QCA，PCE CQ
3、A，PC=PC=11t，PE=OB=6，AQ=m，CQ=CQ=6m，AC=，3（6m）2=（3m）（11t）2，m=，3（t2+t）2=（3 t2+t6）（11t）2，t2（11t）2=（t2+t3）（11t）2，t2=t2+t3，3t222t+36=0，解得：t1=，t2=，点 P 的坐标为（，6）或（，6）法二：BPO=OPC=POC，OC=PC=PC=11t，过点 P 作 PEOA 于点 E，则 PE=BO=6，OE=BP=t，EC=112t，在 Rt PEC中，PE2+EC2=PC2，即（11t）2=62+（112t）2，解得：t1=，t2=点 P 的坐标为（，6）或（，6）2 如图，
4、将边长为 4cm 的正方形纸片 ABCD 沿 EF 折叠（点 E、F 分别在边 AB、CD 上），使点 B 落在AD 边上的点 M 处，点 C 落在点 N 处，MN 与 CD 交于点 P，连接 EP（1）如图，若 M 为 AD 边的中点，AEM 的周长=cm；2/4 求证：EP=AE+DP；（2）随着落点 M 在 AD 边上取遍所有的位置（点 M 不与 A、D 重合），PDM 的周长是否发生变化？请说明理由 解：（1）由折叠知 BE=EM，B=EMP=90 AEM 的周长=AE+EM+AM=AE+EB+AM=AB+AM AB=4，M 是 AD 中点，AEM 的周长=4+2=6（cm）；现证明
5、EP=AE+PD 方法一：取 EP 的中点 G，则在梯形 AEPD 中，MG 为中位线，MG=（AE+PD），在 Rt EMP 中，MG 为斜边 EP 的中线，MG=EP，EP=AE+PD 方法二：延长 EM 交 CD 延长线于 Q 点 A=MDQ=90，AM=DM，AME=DMQ，AME DMQ AE=DQ，EM=MQ 又 EMP=B=90，PM 垂直平分 EQ，有 EP=PQ PQ=PD+DQ，EP=AE+PD（2）PDM 的周长保持不变 设 AM=x，则 MD=4x 由折叠性质可知，EM=4AE，在 Rt AEM 中，AE2+AM2=EM2，即 AE2+x2=（4AE）2，整理得：AE2
6、+x2=168AE+AE2，AE=（16x2），又 EMP=90，AME+DMP=90 AME+AEM=90，AEM=DMP 又 A=D，PDM MAE C PDM=C MAE=（4+x）=8 PDM 的周长保持不变 3 已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=12，BC=6，ADBD以 AD 为斜边在平行四边形 ABCD的内部作 RtAED，EAD=30，AED=90（1）求 AED 的周长；（2）若 AED 以每秒 2 个单位长度的速度沿 DC 向右平行移动，得到 A0E0D0，当 A0D0与 BC 重合时停止移动，设运动时间为 t 秒，A0E0D0与 BDC 重叠的面积为 S，请直
7、接写出 S 与 t 之间的函数关系式，并写出 t 的取值范围；（3）如图，在（2）中，当 AED 停止移动后得到 BEC，将 BEC 绕点 C 按顺时针方向旋转（0180），在旋转过程中，B 的对应点为 B1，E 的对应点为 E1，设直线 B1E1与直线 BE 交于点 P、与3/4 直线 CB 交于点 Q是否存在这样的，使 BPQ 为等腰三角形？若存在，求出 的度数；若不存在，请说明理由 解：（1）四边形 ABCD 是平行四边形，AD=BC=6 在 Rt ADE 中，AD=6，EAD=30，AE=ADcos30=3，DE=ADsin30=3，AED 的周长为：6+3+3=9+3（2）在 AED
8、 向右平移的过程中：（I）当 0t1.5 时，如答图 1 所示，此时重叠部分为 D0NK DD0=2t，ND0=DD0sin30=t，NK=ND0tan30=t，S=S D0NK=ND0NK=tt=t2；（II）当 1.5t4.5 时，如答图 2 所示，此时重叠部分为四边形 D0E0KN AA0=2t，A0B=ABAA0=122t，A0N=A0B=6t，NK=A0Ntan30=（6t）S=S四边形D0E0KN=S A0D0E0S A0NK=33（6t）（6t）=t2+t；（III）当 4.5t6 时，如答图 3 所示，此时重叠部分为五边形 D0IJKN AA0=2t，A0B=ABAA0=122
9、t=D0C，A0N=A0B=6t，D0N=6（6t）=t，BN=A0Bcos30=（6t）；易知 CI=BJ=A0B=D0C=122t，BI=BCCI=2t6，S=S梯形BND0IS BKJ=t+（2t6）（6t）（122t）（122t）=t2+t 综上所述，S 与 t 之间的函数关系式为：S=（3）存在=30，75或 165，使 BPQ 为等腰三角形 理由如下：经探究，得 BPQ B1QC，故当 BPQ 为等腰三角形时，B1QC 也为等腰三角形（I）当 QB=QP 时（如答图 4），则 QB1=QC，B1CQ=B1=30，即 BCB1=30，=30；（II）当 BQ=BP 时，则 B1Q=B
10、1C，若点 Q 在线段 B1E1的延长线上时（如答图 5），B1=30，B1CQ=B1QC=75，即 BCB1=75，=75；若点 Q 在线段 E1B1的延长线上时（如答图 6），B1=30，B1CQ=B1QC=15，即 BCB1=180 B1CQ=18015=165，=165 综上所述，存在=30，75或 165，使 BPQ 为等腰三角形 7用如图，所示的两个直角三角形（部分边长及角的度数在图中已标出），完成以下两个探究问题：探究一：将以上两个三角形如图拼接（BC 和 ED 重合），在 BC 边上有一动点 P（1）当点 P 运动到 CFB 的角平分线上时，连接 AP，求线段 AP 的长；（2
11、）当点 P 在运动的过程中出现 PA=FC 时，求 PAB 的度数 探究二：如图，将 DEF 的顶点 D 放在 ABC 的 BC 边上的中点处，并以点 D 为旋转中心旋转 DEF，使 DEF 的两直角边与 ABC 的两直角边分别交于 M、N 两点，连接 MN 在旋转 DEF 的过程中，AMN的周长是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由 4/4 解：探究一：（1）依题意画出图形，如答图 1 所示：由题意，得 CFB=60，FP 为角平分线，则 CFP=30，CF=BCtan30=3=，CP=CFtan CFP=1 过点 A 作 AGBC 于点 G，则 AG=BC=，PG=
12、CGCP=1=在 Rt APG 中，由勾股定理得：AP=（2）由（1）可知，FC=如答图 2 所示，以点 A 为圆心，以 FC=长为半径画弧，与 BC 交于点 P1、P2，则 AP1=AP2=过点 A 过 AGBC 于点 G，则 AG=BC=在 Rt AGP1 中，cos P1AG=，P1AG=30，P1AB=4530=15；同理求得，P2AG=30，P2AB=45+30=75 PAB 的度数为 15或 75 探究二：AMN 的周长存在有最小值 如答图 3 所示，连接 AD ABC 为等腰直角三角形，点 D 为斜边 BC 的中点，AD=CD，C=MAD=45 EDF=90，ADC=90，MDA=NDC 在 AMD 与 CND 中，AMD CND（ASA）AM=CN 设 AM=x，则 CN=x，AN=ACCN=BCCN=x 在 Rt AMN 中，由勾股定理得：MN=AMN 的周长为：AM+AN+MN=+，当 x=时，有最小值，最小值为+=AMN 周长的最小值为