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1、1/8 高中数学选修 2-2 综合测试题一 一、选择题（共 8 题，每题 5 分）1、复数(2)zi i在复平面内的对应点在（）A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 2、定积分1101dxx的值为（）A、1 B、ln2 C、2122 D、11ln222 3、某班一天上午安排语、数、外、体四门课，其中体育课不能排在第一、第四节，则不同排法的种数为（）A、24 B、22 C、20 D、12 4、已知17,35,4abc 则 a，b，c 的大小关系为（）A、abc B、cab C、cba D、bca 5、曲线332yxx上的任意一点 P 处切线的斜率的取值范围是（）A、3,)3 B
2、、3(,)3 C、(3,)D、3,)6、已知数列na满足12a，23a，21|nnnaaa，则2009a（）A、1 B、2 C、3 D、0 7、函数()lnf xxx的大致图像为（）8、ABCD-A1B1C1D1是单位正方体，黑白两只蚂蚁从点 A 出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”.白蚂蚁爬行的路线是 AA1A1D1，黑蚂蚁爬行的路线是 ABBB1，它们都遵循如下规则：所爬行的第 i+2 段与第 i 段所在直线必须是异面直线（iN*），设黑白蚂蚁都爬完 2007 段后各自停止在正方体的某个顶点处，则此时黑白蚂蚁的距离是（）A、2 B、1 C、0 D、3 二、填空题（共 6 题，30
3、 分）x y o A x y o B x y o C x y o D 1 1 1 1 A B C D A1 B1 C1 D1 2/8 9、已知2()ln(22)(0)f xxaxaa，若()f x在1)，上是增函数，则a的取值范围是 10、若复数1111iizii，则复数 z=_ 11、质点运动的速度2(183)m/svtt，则质点由开始运动到停止运动所走过的路程是 12、若abR，且22(i)(1i)32iab，则ab的值等于 13、为如图所示的四块区域涂色，要求相邻区域不能同色，现有 3 种不同颜色可供选择，则共有_种不同涂色方案（要求用具体数字作答）.14、若在区间-1,1上，函数3()
4、10f xxax 恒成立，则 a 的取值范围是_ 三、解答题（共 6 题，80 分）15、已知复数22(815)(918)zmmmmi在复平面内表示的点为 A，实数 m 取什么值时，（1）z 为实数？z 为纯虚数？（2）A 位于第三象限？16、观察给出的下列各式：（1）tan10 tan 20tan 20 tan60tan60 tan101；（2）tan5 tan15tan15 tan70tan70 tan51 由以上两式成立，你能得到一个什么样的推广？证明你的结论 13 题 3/8 17、设2(0)()cos1(0)xxf xxx ，试求21()f x dx 18、如图，设铁路 AB 长为
5、80，BCAB，且 BC10，为将货物从 A 运往 C，现在 AB 上距点 B 为 x 的点 M 处修一公路至 C，已知单位距离的铁路运费为 2，公路运费为 4.（1）将总运费 y 表示为 x 的函数；（2）如何选点 M 才使总运费最小？A B C M 4/8 19、已知函数）（）（023acxbxaxxf是定义在 R 上的奇函数，且1x时，函数取极值 1 （1）求cba，的值；（2）若对任意的1121，xx，均有 12fxfxs（）（）成立，求 s 的最小值；20、已知等腰梯形OABC的顶点AB，在复平面上对应的复数分别为1 2i、26i，且O是坐标 原点，OABC求顶点C所对应的复数z 5
6、/8 21、已知各项为正的数列na的首项为12sina（为锐角），22142nnaa，数列 nb满足12nnnba.（1）求证：当 x(0,)2时，sin xx；（2）求na，并证明：若4，则12naaa（3）是否存在最大正整数 m，使得sinnbm对任意正整数 n 恒成立？若存在，求出 m；若不存在，请说明理由.6/8 高中数学选修 2-2 测试题一参考答案 一、选择题（每题 5 分）1 5：B、B、D、C、D；6 8：A、A、C；二、填空题：9、12a；10、-1；11、108m.；12、2 13、18；14、33 20,2；三、解答题 15、解：（1）当2918mm0 即 m3 或 m6
7、 时，z 为实数；3分 当28150mm，29180mm即 m5 时，z 为纯虚数.6分（2）当2281509180mmmm即3536mm即 3m5 时，对应点在第三象限.12分 16、解：可以观察到：10206090，5157090，故 可 以 猜 想 此 推 广 式 为：若2，且，都 不 等 于()2kkZ，则 有tantantantantantan1 证明如下：由2，得2，所以tan()tancot2，又因为tantantan()1tantan，所以tantantan()(1tantan)cot(1tantan)，所以tantantantantantantantantan(tantan)
8、tantantancot(1tantan)1 17、解：022110()()()f x dxf x dxf x dx02210(cos1)x dxxdx 20201(sin)3xxx 1413232 18、解：(1)依题，铁路 AM 上的运费为 2（50 x），公路 MC 上的运费为24 100 x，则由 A 到 C 的总运费为22(50)4 100(050)yxxx 6分 7/8（2）242(050)100 xyxx ，令0y，解得110,3x 2103x （舍）9 分 当1003x时，0y，y；当10503x时，0y，y 故当103x 时，y 取得最小值.12 分 即当在距离点 B 为10
9、3时的点 M 处修筑公路至 C 时总运费最省.13 分 19、解：(1)函数）（）（023acxbxaxxf是定义在 R 上的奇函数,），（）（xfxf即02bx对于Rx恒成立，0b.cxaxxf3）（,caxxf23）（1x时，函数取极值 1.103caca，,解得:2321ca，故1322，=0,abc 6 分 (2)xxxf23213）（,)1)(1(232323)(2xxxxf,11，x时0）（xf,1,1)(xxf在上是减函数,8 分 故1,1)(xxf在上最小值为(1)f1，最大值为(1)1f,因此当1121，xx时,12min()()2Maxf xf xfxfx（）（）12 分
10、12min()()Maxf xf xsfxfxs（）（），故 s 的最小值为 2 14 分 20、解：设i()zxyxyR，由OABC，OCAB，得OABCkk，CBAzzz，即2222261234yxxy，OABC，3x，4y 舍去 5z 21、解：（1）令()sin(0)2f xxxx，则()cos10(0)2fxxx 故()f x，()(0)0f xf，即 sinxx 3 分（2）由22142nnaa得2124(0)nnnaaa又12sina，8/8 2212422cos2sin2aa，2322422cos2sin24aa，猜想：12sin2nna 5 分 下面用数学归纳法证明：n1 时
11、，12sina，成立，假设 nk 时命题成立，即12sin2kka，则 nk1 时，221112424(2sin)22cos22kkkkaa2sin2k，即 nk1 时命题成立.由知12sin2nna对nN*成立.8 分 由（1）知122sin22nnna，nN*故121212 1()124 1()41222212nnnnaaa 因此4时，12naaa 11 分（3）12122sin2nnnnnba，故112sin2sin1221sin2sincoscos2222nnnnnnnnbb，nb为递增数列，因此要使sinnbm对任意正整数 n 恒成立，只需1sinbm成立，而18sinb，因此8m，故存在最大自然数 m8 满足条件。14 分 另证：由于1sinbm，可得8m，因此可猜想 m 的最大值8m，下面证明8sinnb，即证12 sin2sin2nn恒成立.n1 时，12sin2sinb，成立，假设 nk 时命题成立，即12 sin2sin2kk，则 nk1 时，112sincossin2sin2222sin2 2sin22222coscoscos222kkkkkkkkkkkksin，即 nk1 时命题成立.由知12 sin2sin2nn对nN*成立.即8sinnb对nN*成立，由8m 知正整数 m 的最大值为 814 分