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1、1/4 中考数学分类汇：几何综合图形变换 某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：如图 1，在正三角形ABC 中，M、N 分别是 AC、AB 上的点，BM 与 CN 相交于点O，若BON60，则 BMCN；如图 2，在正方形 ABCD 中，M、N 分别是 CD、AD 上的点，BM 与 CN 相交于点 O，若BON90，则 BMCN；然后运用类比的思想提出了如下命题：如图 3，在正五边形 ABCDE 中，M、N 分别是 CD、DE 上的点，BM 与 CN 相交于点 O，若BON108，则 BMCN。任务要求：（1）请你从、三个命题中选择一个进行证明；（说明：选做对得 4 分，选做对得
2、 3 分，选做对得 5 分）(2)请你继续完成下列探索：请在图 3 中画出一条与 CN 相等的线段 DH，使点 H 在正五边形的边上，且与 CN 相交所成的一个角是 108，这样的线段有几条？（不必写出画法，不要求证明）如图 4，在正五边形 ABCDE 中，M、N 分别是 DE、EA 上的点，BM 与 CN 相交于点 O，若BON108，请问结论 BMCN 是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由。解（1）以下答案供参考：（1）如选命题 证明：在图 1 中，BON=601+2=60 3+2=60，1=3 又BC=CA，BCM=CAN=60BCMCAN BM=CN （2）如选命题 证
3、明：在图 2 中，BON=901+2=90 3+2=90，1=3 又BC=CD，BCM=CDN=90BCMCDN BM=CN （3）如选命题 证明；在图 3 中，BON=1081+2=108 2+3=1081=3 B O C M N A 图 1 A B C M N O D 图 2 图 4 N M O E D C B A 2/4 又BC=CD，BCM=CDN=108 BCMCDN BM=CN (2)答：当BON=0(n-2)180n时结论 BM=CN 成立 答当BON=108时。BM=CN 还成立 证明；如图 5 连结 BD、CE.在BCI)和CDE 中 BC=CD,BCD=CDE=108,CD
4、=DE BCD CDE BD=CE,BDC=CED,DBC=CEN CDE=DEC=108,BDM=CEN OBC+ECD=108,OCB+OCD=108 MBC=NCD 又DBC=ECD=36,DBM=ECN BDM CNE BM=CN 2 已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EFBD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG CG，（1）直接写出线段EG与CG的数量关系；（2）将图 1 中BEF绕B点逆时针旋转45，如图 2 所示，取DF中点G，连接EG CG，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明 （3）将图 1 中BEF绕B点旋转任意角度，如图3
5、所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）图3图2 图1FEABCDABCDEFGGFEDCBA 解：（1）CGEG （2）（1）中结论没有发生变化，即CGEG 证明：连接AG，过G点作MNAD于M，与EF的延长线交于N点 在DAG与DCG中，3/4 ADCDADGCDG DGDG，DAGDCG AGCG 在DMG与FNG中，DGMFGN FGDGMDGNFG ，DMGFNG MGNG 在矩形AENM中，AMEN 在Rt AMG与Rt ENG中，AMEN MGNG，AMGENG AGEG EGCG MN图2 ABCDEFG（3）（1）中的结论仍然成立 G图3FEABC
6、D 3（满分 13 分）几何模型：4/4 条件：如下左图，A、B是直线l同旁的两个定点 问题：在直线l上确定一点P，使PAPB的值最小 方法：作点A关于直线l的对称点A，连结A B交l于点P，则PAPBA B的值最小（不必证明）模型应用：（1）如图 1，正方形ABCD的边长为 2，E为AB的中点，P是AC上一动点连结BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称连结ED交AC于P，则PBPE的最小值是_；（2）如图 2，O的半径为 2，点ABC、在O上，OAOB，60AOC，P是OB上一动点，求PAPC的最小值；（3）如图 3，45AOB，P是AOB内一点，10PO，QR、分别是OAOB、上的动点，求PQR周长的最小值 A B AP l O A B P R Q 图 3 O A B C 图 2 A B E C P D 图 1（第 25 题）P