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1、中考数学分类汇：几何综合图形变换某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：如图1，在正三角形ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若BON60，则BMCN；如图2，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若BON90，则BMCN；然后运用类比的思想提出了如下命题：如图3，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若BON108，则BMCN。任务要求：（1）请你从、三个命题中选择一个进行证明；（说明：选做对得4分，选做对得3分，选做对得5分）(2)请你继续完成下列探索：请在图3中画出一条与CN相等
2、的线段DH，使点H在正五边形的边上，且与CN相交所成的一个角是108，这样的线段有几条？（不必写出画法，不要求证明）如图4，在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE、EA上的点，BM与CN相交于点O，若BON108，请问结论BMCN是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由。BOCMNA图1ABCMNOD图2图4NMOEDCBA解 （1）以下答案供参考： （1） 如选命题 证明：在图1中，BON=601+2=603+2=60，1=3 又BC=CA，BCM=CAN=60BCMCAN BM=CN （2）如选命题证明：在图2中，BON=901+2=903+2=90，1=3 又BC=CD，B
3、CM=CDN=90BCMCDN BM=CN （3）如选命题证明；在图3中，BON=1081+2=1082+3=1081=3 又BC=CD，BCM=CDN=108BCMCDN BM=CN (2)答：当BON=时结论BM=CN成立 答当BON=108时。BM=CN还成立 证明；如图5连结BD、CE. 在BCI)和CDE中BC=CD, BCD=CDE=108,CD=DEBCD CDEBD=CE , BDC=CED, DBC=CEN CDE=DEC=108, BDM=CEN OBC+ECD=108, OCB+OCD=108MBC=NCD又DBC=ECD=36, DBM=ECN BDM CNE BM=C
4、N2已知正方形中，为对角线上一点，过点作交于，连接，为中点，连接（1）直接写出线段与的数量关系；（2）将图1中绕点逆时针旋转，如图2所示，取中点，连接，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明 （3）将图1中绕点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）解：（1） （2）（1）中结论没有发生变化，即证明：连接，过点作于，与的延长线交于点在与中， 在与中， 在矩形中， 在与中， （3）（1）中的结论仍然成立 3（满分13分）几何模型：条件：如下左图，、是直线同旁的两个定点问题：在直线上确定一点，使的值最小方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，则的值最小（不必证明）模型应用：（1）如图1，正方形的边长为2，为的中点，是上一动点连结，由正方形对称性可知，与关于直线对称连结交于，则的最小值是_；（2）如图2，的半径为2，点在上，是上一动点，求的最小值；（3）如图3，是内一点，分别是上的动点，求周长的最小值ABPlOABPRQ图3OABC图2ABECPD图1（第25题）P4 / 44 / 44 / 4