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1、全国2021年4月高等教育自学考试高等数学(一)试题课程代码：00020一、单项选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出。1、方程的解集为(B)A、B、(-2，4)C、(-4，2)D、【解析】由可得：，即，所以，解得。2、函数的定义域为(D)A、B、C、D、【解析】定义域就是自变量的取值范围。由题可知，当时，当时，因此自变量的取值范围为。3、极限(A)A、B、C、D、【解析】由题得：，根据重要极限和极限运算法则可知，4、已知时，是与等价的无穷小量，则(D)A、-2B、-1C、1D、2【解析】常见的等价无穷小有：当时，本题中，是
2、与等价的无穷小量，设，则有，解得。5、在处可导的函数是(C)A、B、C、D、【解析】函数在处可导，可以得出，函数在处存在极限，且该点的左导数，右导数都存在，且相等。A选项中，极限不存在。B选项中，极限不存在。C选项中，极限存在，且有D选项中，左导数不等于右导数。6、微分(C)A、B、C、D、【解析】某函数的微分就是这个函数的导数后面再乘以一个，因此有7、曲线的水平渐近线为(A)A、B、C、D、【解析】如果，则称直线是曲线在时的水平渐近线。本题中，所以是曲线的水平渐近线。8、曲线(B)A、没有拐点B、有一个拐点C、有2个拐点D、有三个拐点【解析】，令，解得；当，；当，；在左右两端异号，因此有一个
3、拐点。9、若无穷限反常积分，则常数(D)A、0B、1C、2D、3【解析】若是的一个原函数，则。本题中，解得。10、设函数，则全微分(C)A、B、C、D、【解析】本题中：所以：二、简单计算题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。11、求函数的反函数。解：因，所以、(3分)故该函数的反函数为、(4分)【解析】，把1移到左边得：根据对数与指数的关系：若则故：，即；所以该函数的反函数为12、求极限。解：原极限(2分)(4分)【解析】分子分母同时除以，得到，由极限运算法则：，可得：由常见等价无穷小：时，所以故：13、设函数，求导数。解：因，(3分)所以(4分)【解析】由复合函数的链式求导法则：本题中，
4、得：则有：所以14、求函数在闭区间0，2上的最值。解：，令，得在区间(0，2)内的驻点(2分)比较函数值，得，、(4分)【解析】首先，求出在(0，2)内和不存在的点；令，解得其次，计算函数值，；，最后，上述函数值最大者为最大值，最小者为最小值。故，15、求不定积分。解：元积分(2分)(4分)【解析】不定积分的基本性质：本题中，三、计算题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。16、设函数，讨论在处的连续性。解：因(3分)又，所以在处不连续、(5分)【解析】根据定理：在点连续本题中，由常见等价无穷小：时，即有故因为，所以在处不连续。17、已知函数，求。解：，(3分)(5分)【解析】由复合函数的链
5、式求导法则：本题中；根据二阶导数的定义：；根据导数四则运算：18、求极限。解：由洛必达法则，原极限(3分)(5分)【解析】本题中，因此可以使用洛必达法则：根据微积分基本定理：设函数在上连续，则积分上限函数在上可导，且导数为：本题中，在上连续，因此有故：根据常见等价无穷小：时，即有因此有19、计算定积分。解：(2分)(5分)【解析】根据牛顿莱布尼茨公式：故：20、求微分方程的通解。解：分离变量，(2分)两端积分得通解(5分)【解析】形如的微分方程成为可分离变量得微分方程。本题中，对原式分离变量得对两边不定积分，得微分方程的通解为：，其中，分别是，的一个原函数。故的通解为，即四、综合题：本大题共4
6、小题，共25分。21、(本小题6分)设某工厂生产某种产品公斤时销售收入为(万元)，成本函数为(万元)，且产销平衡，问产量为多少时总利润最大？并求最大利润。解：总利润函数(2分)令，得唯一驻点(4分)又因为，所以为的最大值点。故当产量公斤时，总利润最大，最大利润为万元、(6分)(注：若用“由问题的实际意义知最值存在且驻点唯一”论述最值亦可)【解析】处理实际问题时，首先需要建立目标函数(即欲求最值的那个函数)，即本题中的利润函数。利润收入成本(作为常识记忆)故利润函数为令，即，得唯一驻点此时需要进一步判断驻点是最大值还是最小值，因此计算二阶导数在驻点的正负，大于零为最小值，小于零为最大值。，因此为
7、的最大值点。22、(本小题6分)设曲线与直线及两坐标轴围成的平面图形为D，如图所示，求：(1)D的面积A。(2)D绕轴一周的旋转体体积。解：(1)(3分)(2)(6分)【解析】(1)由连续曲线()以及直线，和轴所围成的平面图形的面积为本题中，故有：(2)由连续曲线以及直线，和轴所围成的平面图形绕轴旋转所得旋转体体积为故有：23、(本小题6分)设是由方程所确定的隐函数，求偏导数。解：设(1分)则，(4分)于是，(6分)【解析】由方程所确定的二元隐函数，如果函数在点的某个领域内存在连续的偏导数，且，则：，本题中，(把之外的其他作为常数)；(把之外的其他作为常数)；(把之外的其他作为常数)；因此，。24、(本小题7分)计算二重积分，其中是由曲线与所围成的平面区域，如图所示：解：(3分)(5分)(7分)【解析】若积分区域可以表示为，其中函数，在上连续，并且直线与区域的边界最多交于两点，则称为型区域，则有：本题中，故有：