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1、函数模型及其应用函数模型及其应用3.2.13.2.1几类不同增长的函数几类不同增长的函数模型模型(1)(1)在教科书第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏在教科书第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透脑筋的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透脑筋18591859年，年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100100年，年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到7575亿只可爱的亿只可爱的
2、兔子变得可恶起来，兔子变得可恶起来，7575亿只兔子吃掉了相当于亿只兔子吃掉了相当于7575亿只羊亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种亚的主要牲口这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气算松了一口气 材料材料1：澳大利亚兔子数：澳大利亚兔子数“爆炸爆炸”在一个月内（按在一个月内（按30天计
3、算），我每天给你天计算），我每天给你10万万元钱，你第一天给我元钱，你第一天给我1分钱，第二天给我分钱，第二天给我2分钱，以分钱，以后每天给我的钱是前一天的两倍，这样互相给钱你后每天给我的钱是前一天的两倍，这样互相给钱你愿意吗？为什么？愿意吗？为什么？材料材料2：比一比聪明：比一比聪明 函数是描述客观世界变化规律的基本数学函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要不同的函数模型模型，不同的变化规律需要不同的函数模型来描述的，我们学过的函数模型有哪些呢？来描述的，我们学过的函数模型有哪些呢？一次函数一次函数 二次函数二次函数 指数函数指数函数 对数函数对数函数 幂函数幂函数 等
4、等等等 对于实际问题，我们如何选择一个恰对于实际问题，我们如何选择一个恰当的函数模型来刻画它呢？找出模型后又当的函数模型来刻画它呢？找出模型后又是如何去研究它的性质呢？是如何去研究它的性质呢？例例1、假设你有一笔资金用于投资，现在有假设你有一笔资金用于投资，现在有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：如下：方案一、每天回报方案一、每天回报40元；元；方案二、第一天回报方案二、第一天回报10元，以后每天比前一元，以后每天比前一天多回报天多回报10元；元；方案三、第一天回报方案三、第一天回报0.4元，以后每天的回报元，以后每天的回报比前一天翻一番。比前一
5、天翻一番。请问，你会选择哪种投资方案？请问，你会选择哪种投资方案？下面我们先来看两个具体问题下面我们先来看两个具体问题.我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据。供依据。解：设第解：设第x天所得回报为天所得回报为y元，则元，则 方案一：每天回报方案一：每天回报40元；元；y=40 (xN*)方案二：第一天回报方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回元，以后每天比前一天多回 报报10元；元；y=10 x(xN*)方案三：第一天回报方案三：第一天回报0.4
6、元，以后每天的回报比前元，以后每天的回报比前一天翻一番。一天翻一番。y=0.42x-1 (xN*)投资方案选择原则：投资方案选择原则：投入资金相同，回报量多者为优投入资金相同，回报量多者为优(1)比较三种方案每天回报量比较三种方案每天回报量(2)比较三种方案一段时间内的总回报量比较三种方案一段时间内的总回报量 哪个方案在某段时间内的总回报量最多，我们哪个方案在某段时间内的总回报量最多，我们就在那段时间选择该方案。就在那段时间选择该方案。(3)三个函数模型的增减性如何？三个函数模型的增减性如何？(4)要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析，
7、如何分析？行分析，如何分析？x/天天方案一方案一方案二方案二方案三方案三y/元元增长量增长量/元元y/元元增长量增长量/元元y/元元增长量增长量/元元140100.4240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.88400801051.225.694009010102.451.23040030010214748364.8107374182.4我们来计算三种方案所得回报的增长情况：我们来计算三种方案所得回报的增长情况：从表格中获取信息，体会从表格中获取信息，体会三种函数的
8、增长差异三种函数的增长差异。图-1我们看到，底为我们看到，底为2的指数函数模的指数函数模型比线性函数模型比线性函数模型增长速度要快型增长速度要快得多。从中你对得多。从中你对“指数爆炸指数爆炸”的的含义有什么新的含义有什么新的理解？理解？函数图象是分析问题函数图象是分析问题的好帮手。为了便于的好帮手。为了便于观察，我们用虚线连观察，我们用虚线连接离散的点。接离散的点。图112-1从每天的回报量来看：从每天的回报量来看：第第14天，方案一最多；天，方案一最多；每每58天，方案二最多；天，方案二最多；第第9天以后，方案三最多天以后，方案三最多.有人认为投资有人认为投资14天选择方案一；天选择方案一；
9、58天选择方案二；天选择方案二；9天以后选择方案天以后选择方案三？三？下面再看累计的回报数：下面再看累计的回报数：结论：结论：投资投资16天天,应选择方案一应选择方案一;投资投资7天，天，应选择方案一或方案二；投资应选择方案一或方案二；投资8 10天，应天，应选择方案二；投资选择方案二；投资11天天(含含11天天)以上，应选择以上，应选择方案三。方案三。天天数数回报回报/元元方案方案一一二二三三401 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1180 120 160 200 240 280 320 360 400 440 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550
10、6600.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 818.8解决实际问题的步骤：解决实际问题的步骤：实际问题实际问题读读懂懂问问题题抽抽象象概概括括数学问题数学问题演演算算推推理理数学问题的解数学问题的解还还原原说说明明实际问题的解实际问题的解 题目中涉及了哪几类函数模型？本例的实质是什么？题目中涉及了哪几类函数模型？本例的实质是什么？线性函数、对数函数、指数函数线性函数、对数函数、指数函数对比三种函数的增长差异对比三种函数的增长差异例例2 某公司为了实现某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励
11、方案：在销售利润达到个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，万元时，按销售利润进行奖励，且奖金按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利（单位：万元）随销售利润润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的万元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：。现有三个奖励模型：其中哪个模型能符合公司的要求？其中哪个模型能符合公司的要求？分析：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，分析：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过奖金总数不超过5万元，万元，由于公
12、司总由于公司总的利润目标为的利润目标为1000万元，所以部门销售利润一般不会超过公司总的万元，所以部门销售利润一般不会超过公司总的利润。利润。同时奖金不超过利润的同时奖金不超过利润的25%，于是，只需在区间于是，只需在区间10,1000上，检验三个模型是否符合上，检验三个模型是否符合公司要求即可。公司要求即可。不妨先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步的结论不妨先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步的结论再通过具体计算，确认结果。再通过具体计算，确认结果。例例2 某公司为了实现某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售
13、利润达到个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，万元时，按销售利润进行奖励，且奖金按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利（单位：万元）随销售利润润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的万元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：。现有三个奖励模型：其中哪个模型能符合公司的要求？其中哪个模型能符合公司的要求？一次函数一次函数 对数函数对数函数 指数函数指数函数 模型限制条件：模型限制条件：1.奖金总数不超过奖金总数不超过5万元万元2.奖金不超过利润的奖金不超过利润的25%3.利润在利润
14、在10万到万到1000万之间万之间我们不妨先作出函数图象：我们不妨先作出函数图象：通过观察函数图象通过观察函数图象得到初步结论：按得到初步结论：按对数模型进行奖励对数模型进行奖励时符合公司的要求。时符合公司的要求。400600800 1000 1200200 1 2 3 45678xyo对数增长模型比对数增长模型比较适合于描述增较适合于描述增长速度平缓的变长速度平缓的变化规律。化规律。y=5y=0.25x下面列表计算确认上述判断：下面列表计算确认上述判断：y我们来看函数我们来看函数 的图象的图象:7综上所述综上所述:模型模型 确实符合公司要求确实符合公司要求.1log+=xy问题问题:当当 时
15、时,奖金是否不超过利润的奖金是否不超过利润的25%呢呢?xo102.51.02 2.1851.04 2.544.954.445.044.4424.55模型模型奖金奖金/万万元元利润利润102080081010001、四个变量 随变量 变化的数据如下表：1.0051.01511.04611.14071.42952.310751551301058055305337331758.294.478545053130200511305051305302520151050关于x呈指数型函数变化的变量是 。2、某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么每轮病毒发作时，这台计算机
16、都可能感染没被感染的20台计算机。现在10台计算机在第1轮病毒发作时被感染，问在第5轮病毒发作时可能有多少台计算机被感染？实际实际问题问题读懂问题读懂问题将问题将问题抽象化抽象化数学数学模型模型解决解决问题问题基础基础过程过程关键关键目的目的几种常见函数的增长情况：几种常见函数的增长情况：常数函数常数函数一次函数一次函数指数函数指数函数对数函数对数函数没有增长没有增长直线上升直线上升指数爆炸指数爆炸对数增长对数增长通过实例和计算机作图体会、认识直线上升、指数通过实例和计算机作图体会、认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型的增长的含义，认爆炸、对数增长等不同函数模型的增长的含义，认识数学
17、的价值，认识数学与现实生活、与其他学科识数学的价值，认识数学与现实生活、与其他学科的密切联系，从而体会数学的实用价值，享受数学的密切联系，从而体会数学的实用价值，享受数学的应用美的应用美作业：作业：P107 页页1、2题题(1)、由函数图象可以看出，它在区间、由函数图象可以看出，它在区间10,1000上上递增，而且当递增，而且当x=1000时，时，y=log71000+14.555,所以它符合资金不超过所以它符合资金不超过5万元的要求。万元的要求。模型模型y=log7x+1(2)、再计算按模型、再计算按模型y=log7x+1奖励时，资金是否不奖励时，资金是否不超过利润的超过利润的25%，即当，
18、即当x 10,1000时，是否有时，是否有成立。成立。令令f(x)=log7x+1-0.25x，x 10,1000.利用计利用计算机作出函数算机作出函数f(x)的图象，由图象可知它是递减的图象，由图象可知它是递减的，因此的，因此 f(x)f(10)-0.31670,即即 log7x+10.25x所以，当所以，当x 10,1000，令令 。利用计利用计算机作出函数算机作出函数 的图象，由图象可知它是递减的，因的图象，由图象可知它是递减的，因此此即即所以当所以当 时，时，。说说明按模型明按模型 奖金不会超过利润的奖金不会超过利润的25%。再计算按模型再计算按模型 奖励时，奖金是否奖励时，奖金是否不
19、超过利润的不超过利润的25%，即当，即当 时，是否有时，是否有 成立。成立。综上所述，模型 确实能很符合公司要求。(1)理解问题：理解问题：阅读理解，读懂文字叙述，认阅读理解，读懂文字叙述，认真审题，理解实际背景真审题，理解实际背景.弄清楚问题的实际背弄清楚问题的实际背景和意义，设法用数学语言来描述问题景和意义，设法用数学语言来描述问题.(2)简化假设：简化假设：理解所给的实际问题之后，领理解所给的实际问题之后，领悟背景中反映的实质，需要对问题作必要的悟背景中反映的实质，需要对问题作必要的简化，有时要给出一些恰当的假设，精选问题简化，有时要给出一些恰当的假设，精选问题中关键或主要的变量中关键或
20、主要的变量.(3)数学建模：数学建模：把握新信息，勇于探索，善于联把握新信息，勇于探索，善于联想，灵活化归，根据题意建立变量或参数间的想，灵活化归，根据题意建立变量或参数间的数学关系，实现实际问题数学化，引进数学符数学关系，实现实际问题数学化，引进数学符号，构建数学模型，常用的数学模型有方程、号，构建数学模型，常用的数学模型有方程、不等式、函数不等式、函数.归纳总结中学数学建模的主要步骤归纳总结中学数学建模的主要步骤(4)求解模型：求解模型：以所学的数学性质为工具对建以所学的数学性质为工具对建立的数学模型进行求解立的数学模型进行求解.(5)检验模型：检验模型：将所求的结果代回模型之中检将所求的
21、结果代回模型之中检验，对模拟的结果与实际情形比较，以确定验，对模拟的结果与实际情形比较，以确定模型的有效性，如果不满意，要考虑重新建模型的有效性，如果不满意，要考虑重新建模模.(6)评价与应用：评价与应用：如果模型与实际情形比较吻如果模型与实际情形比较吻合，要对计算的结果作出解释并给出其实际合，要对计算的结果作出解释并给出其实际意义，后对所建立的模型给出运用范围意义，后对所建立的模型给出运用范围.如果如果模型与实际问题有较大出入，则要对模型改模型与实际问题有较大出入，则要对模型改进并重复上述步骤进并重复上述步骤.归纳总结中学数学建模的主要步骤归纳总结中学数学建模的主要步骤(1)理解问题理解问题(2)(2)简化假设简化假设(3)(3)数学建模数学建模(4)求解模型求解模型(5)检验模型检验模型(6)评价与应用评价与应用归纳总结中学数学建模的主要步骤归纳总结中学数学建模的主要步骤确定函数模型确定函数模型利用数据表格、函数图象讨论模型利用数据表格、函数图象讨论模型体会直线上升、指数爆炸、对数体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型的增长含义增长等不同函数类型的增长含义 作作 业业教材教材110110 1,2,1,2,