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1、3.2.1 几类不同增长的函数模型几类不同增长的函数模型第一课时第一课时 线性函数、指数函数和对数函数模型线性函数、指数函数和对数函数模型无条件函数模型的选择无条件函数模型的选择问题提出问题提出 1.1.函数来源于实际又服务于实际，客观世函数来源于实际又服务于实际，客观世界的变化规律，常需要不同的数学模型来描界的变化规律，常需要不同的数学模型来描述，这涉及到函数的应用问题述，这涉及到函数的应用问题.2.2.所谓所谓“模型模型”，通俗的解释就是一种，通俗的解释就是一种固定的模式或类型固定的模式或类型,在现代社会中，我们经在现代社会中，我们经常用函数模型来解决实际问题常用函数模型来解决实际问题.那
2、么，面对那么，面对一个实际问题，我们怎样选择一个恰当的模一个实际问题，我们怎样选择一个恰当的模型来刻画它呢？型来刻画它呢？3.2.1 几类不同增长的函数模型几类不同增长的函数模型问题问题1 1：假设你有一笔资金用于投资假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下方案供你选择，这三种方案的回报如下:方案一方案一:每天回报每天回报4040元；元；方案二方案二:第一天回报第一天回报1010元元,以后每天比前一以后每天比前一天多回报天多回报1010元；元；方案三方案三:第一天回报第一天回报0.40.4元元,以后每天的回以后每天的回报比前一天翻一番报比前一天翻一番
3、.请问，你会选择哪种投资方案？请问，你会选择哪种投资方案？3.2.1 几类不同增长的函数模型几类不同增长的函数模型思考思考1:1:设第设第x天所得的回报为天所得的回报为y元，那么上述三种投元，那么上述三种投资方案对应的函数模型分别是什么？资方案对应的函数模型分别是什么？思考思考2:2:上述三个函数分别是什么类型的函数？其单上述三个函数分别是什么类型的函数？其单调性如何？调性如何？思考思考3:3:这三个方案前这三个方案前1111天所得的回报如下表天所得的回报如下表,分析分析这些数据，你如何根据投资天数选择投资方？这些数据，你如何根据投资天数选择投资方？3.2.1 几类不同增长的函数模型几类不同增
4、长的函数模型818.8818.8409.6409.666066011011044044040401111409.2409.2204.8204.855055010010040040040401010204.4204.4102.4102.4450450909036036040409 9102.0102.051.251.2360360808032032040408 850.850.825.625.6280280707028028040407 725.225.212.812.8210210606024024040406 612.412.46.46.4150150505020020040405 56.0
5、6.03.23.2100100404016016040404 42.82.81.61.66060303012012040403 31.21.20.80.830302020808040402 20.40.40.40.410101010404040401 1累计回报累计回报当天回报当天回报累计回报累计回报当天回报当天回报累计回报累计回报当天回报当天回报方案三方案三方案二方案二方案一方案一天次天次3.2.1 几类不同增长的函数模型几类不同增长的函数模型思考思考4:4:分析上述三个函数的图象，你对指数函数模分析上述三个函数的图象，你对指数函数模型与线性函数模型的增长速度有何看法？你对型与线性函数模型的
6、增长速度有何看法？你对“指数爆炸指数爆炸”的含义有何理解？的含义有何理解？xyo思考思考5:5:到第到第3030天，三个方案所得的回报分别是多少元？天，三个方案所得的回报分别是多少元？3.2.1 几类不同增长的函数模型几类不同增长的函数模型 该例的启示该例的启示:实实 际际问问 题题读读 懂懂问问 题题将问题将问题简单化简单化数学数学建模建模解决解决问题问题基础基础过程过程关键关键目的目的3.2.1 几类不同增长的函数模型几类不同增长的函数模型问题问题2:2:某公司为了实现某公司为了实现10001000万元利润的目标，准万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案备制定一个激励销售人员的
7、奖励方案:在销售在销售利润达到利润达到1010万元万元时，按销售利润进行奖励，且时，按销售利润进行奖励，且奖金奖金y(y(单位单位:万元万元)随销售利润随销售利润x(单位单位:万元万元)的增加而增加，但的增加而增加，但奖金总数不超过奖金总数不超过5 5万元，万元，同同时时奖金不超过利润的奖金不超过利润的25%.25%.现有三个奖励模型现有三个奖励模型:其中哪个模型能符合公司的要求其中哪个模型能符合公司的要求?有条件函数模型的选择有条件函数模型的选择3.2.1 几类不同增长的函数模型几类不同增长的函数模型思考思考1:1:根据问题要求，奖金数根据问题要求，奖金数y应满足哪几个应满足哪几个不等式？不
8、等式？思考思考2:2:销售人员获得奖励，其销售利润销售人员获得奖励，其销售利润x(单位单位:万元万元)的取值范围大致如何？的取值范围大致如何？思考思考3:3:确定三个奖励模型中哪个能符合公司确定三个奖励模型中哪个能符合公司的要求，其本质是解决一个什么数学问题？的要求，其本质是解决一个什么数学问题？思考思考4:4:对于模型对于模型y=0.25x，符合要求吗？为什，符合要求吗？为什么？么？3.2.1 几类不同增长的函数模型几类不同增长的函数模型思考思考5:5:对于模型对于模型 ，当，当y=5=5时，时，对应的对应的x的值约是多少？该模型符合要求吗？的值约是多少？该模型符合要求吗？x805.7238
9、05.723思考思考6:6:对于函数对于函数 ,当当x1010，10001000时，时，y的最大值约为多少？的最大值约为多少？3.2.1 几类不同增长的函数模型几类不同增长的函数模型思考思考7:7:当当x10 x10，10001000时，如何判断时，如何判断 是否成立？是否成立？思考思考8:8:综上分析，模型综上分析，模型 符合公司要求符合公司要求.如果某人的销售利润是如果某人的销售利润是343343万元，则所获奖金为多少？万元，则所获奖金为多少？3.2.1 几类不同增长的函数模型几类不同增长的函数模型3.2.1 几类不同增长的函数模型几类不同增长的函数模型3.2.1 3.2.1 几类不同增长
10、的函数模型几类不同增长的函数模型第二课时第二课时幂、指、对函数模型增长的差异性幂、指、对函数模型增长的差异性3.2.1 几类不同增长的函数模型几类不同增长的函数模型问题提出问题提出 1.1.指数函数指数函数 y=ax (a1)1)，对数函数，对数函数 y=logax(a1)和幂函数和幂函数y=x n(n0)0)在区间（在区间（0 0，+）上的单调性如何？）上的单调性如何？2.2.利用这三类函数模型解决实际问题，利用这三类函数模型解决实际问题，其增长速度是有差异的，我们怎样认识这种其增长速度是有差异的，我们怎样认识这种差异呢？差异呢？3.2.1 几类不同增长的函数模型几类不同增长的函数模型特殊幂
11、、指、对函数模型的差异特殊幂、指、对函数模型的差异 对于函数模型对于函数模型 ：y=2x,y=x2,y=log2x 其中其中 x 0.0.思考思考1:1:观察三个函数的自变量与函数值对应观察三个函数的自变量与函数值对应表表,这三个函数增长的快慢情况如何？这三个函数增长的快慢情况如何？1.7661.7661.5851.5851.3791.3791.1381.1380.8480.8480.4850.4850 0-0.737-0.737-2.322-2.322y=log2x11.5611.569 96.766.764.844.843.243.241.961.961 10.360.360.040.04
12、y=x210.55610.5568 86.0636.0634.5954.5953.4823.4822.6392.6392 21.5161.5161.1491.149y=2x3.43.43.03.02.62.62.22.21.81.81.41.41 10.60.60.20.2x x3.2.1 几类不同增长的函数模型几类不同增长的函数模型思考思考2:2:对于函数模型对于函数模型y=2x和和y=x2，观察下列自，观察下列自变量与函数值对应表：变量与函数值对应表：x0 01 12 23 34 45 56 67 78 8y=2x1 12 24 48 816163232 6464 128128 25625
13、6y=x20 01 14 49 916162525 363649496464 当当x 0 0时，你估计函数时，你估计函数 y=2x 和和 y=x2 的图的图象共有几个交点？象共有几个交点？两个两个:(2,4)(2,4)和和(4,16)(4,16)3.2.1 几类不同增长的函数模型几类不同增长的函数模型思考思考3:3:设函数设函数 f(x)=2x-x2 (x 0)0)，你能用二，你能用二分法求出函数分法求出函数f(x)的零点吗？的零点吗？思考思考4:在同一坐标系中这三个函数图象的相对在同一坐标系中这三个函数图象的相对位置关系如何？请画出其大致图象位置关系如何？请画出其大致图象.xyo11 24y
14、=2xy=x2y=log2x3.2.1 几类不同增长的函数模型几类不同增长的函数模型思考思考5:5:根据图象，不等式根据图象，不等式 log2x 2x x2 和和log2x x2 1,n0时时一般幂、指、对函数模型的差异一般幂、指、对函数模型的差异思考思考1:对任意给定的对任意给定的a1和和n0，在区间，在区间(0,+)上上ax是否恒大于是否恒大于xn?ax是否恒小于是否恒小于xn?思考思考2:当当a1，n0时，在区间时，在区间(0,+)上上,ax与与xn的大小关系应如何阐述？的大小关系应如何阐述？思考思考3:一般地，指数函数一般地，指数函数y=ax(a1)和幂函和幂函数数y=xn(n0)在区
15、间在区间(0,+)上，其增长的快慢上，其增长的快慢情况是如何变化的？情况是如何变化的？3.2.1 几类不同增长的函数模型几类不同增长的函数模型xyo11y=xny=logax3.2.1 几类不同增长的函数模型几类不同增长的函数模型当当a1,n1时时思考思考4:4:对任意给定的对任意给定的a 1 1和和n 0 0，在区间，在区间 (0,+)(0,+)上上,logax是否恒大于是否恒大于xn?logax是否恒是否恒小于小于xn?思考思考5:5:随着随着x的增大的增大,logax增长速度的快增长速度的快慢程度如何变化慢程度如何变化?xn增长速度的快慢程度如增长速度的快慢程度如何变化？何变化？思考思考
16、6:6:当当x充分大时充分大时,logax(a1)1)与与xn(n0)0)谁的增长速度相对较快？谁的增长速度相对较快？3.2.1 几类不同增长的函数模型几类不同增长的函数模型思考思考7:7:一般地，对数函数一般地，对数函数y=logax(a1)1)和幂函和幂函数数 y=xn(n(n 0)0)在区间在区间(0,+)(0,+)上，其增长的快上，其增长的快慢情况如何是如何变化的？慢情况如何是如何变化的？yxo1y=logaxy=xn3.2.1 几类不同增长的函数模型几类不同增长的函数模型当当a1,，on1)，对数函数，对数函数 y=logax(a1)和幂函数和幂函数 y=xn (n0)，总存，总存在
17、一个在一个 x0，使使 xx0 时时,ax,loga x,xn 三者的三者的大小关系如何？大小关系如何？思考思考9:指数函数指数函数 y=ax(0a1)，对数函数对数函数y=logax(0a1)和幂函数和幂函数 y=xn(n0),在区在区间间(0,+)上衰减的快慢情况如何？上衰减的快慢情况如何？3.2.1 几类不同增长的函数模型几类不同增长的函数模型xyo1y=axy=xny=logax3.2.1 几类不同增长的函数模型几类不同增长的函数模型当当0a1,，n0时时例例 在某种金属材料的耐高温实验中，温度在某种金属材料的耐高温实验中，温度y(C C)随着时间随着时间t(分钟分钟)的变化情况，由微
18、机处的变化情况，由微机处理后显示出如下图象，理后显示出如下图象，试对该实验现象作出试对该实验现象作出合理解释合理解释.yot5103.2.1 几类不同增长的函数模型几类不同增长的函数模型3.2.2 3.2.2 函数模型的应用实例函数模型的应用实例第一课时第一课时 函数建构和函数模型函数建构和函数模型问题提出问题提出 一次函数一次函数、二次函数、二次函数、指数函数、对数、指数函数、对数函数以及幂函数，不只是理论上的数学问题，函数以及幂函数，不只是理论上的数学问题，它们都与现实世界有着紧密的联系，我们如何它们都与现实世界有着紧密的联系，我们如何利用这些函数模型来解决实际问题？利用这些函数模型来解决
19、实际问题？问题问题1 1：一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示系如图所示 v/(km h)5065758090t/h3o12453.2.2 3.2.2 函数模型的应用实例函数模型的应用实例思考思考1:该图中反映的数据，应怎样理解？该图中反映的数据，应怎样理解？思考思考2:图中图中5个小矩形的面积之和为多少？它有什么实个小矩形的面积之和为多少？它有什么实际含义？际含义？思考思考3:3:假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为的读数为2004km2004km，那么行驶这段路程时汽车里程表读数，那么
20、行驶这段路程时汽车里程表读数s(kms(km)与时间与时间(h)(h)的函数关系如何？的函数关系如何？3.2.2 3.2.2 函数模型的应用实例函数模型的应用实例思考思考4:4:你能画出这个函数的图象吗？你能画出这个函数的图象吗？tyo123453.2.2 3.2.2 函数模型的应用实例函数模型的应用实例问题问题2 2;人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据供依据.早在早在17981798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然
21、状态下的人口增长模型：自然状态下的人口增长模型：其中其中t表示经过的时间，表示经过的时间，y0表示表示t=0=0时的人口数，时的人口数，r表示人口的年平均增长率表示人口的年平均增长率.下表是我国下表是我国1950195019591959年的年的人口数据资料：人口数据资料：6720767207659946599464563645636282862828614566145660266602665879658796574825748256300563005519655196人数人数195919591958195819571957195619561955195519541954195319531952
22、19521951195119501950年份年份3.2.2 3.2.2 函数模型的应用实例函数模型的应用实例思考思考1:我国我国1951年的人口增长率约为多少？年的人口增长率约为多少？思考思考2:2:如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率期的人口增长率(精确到精确到0.0001)0.0001)那么那么1951195119591959年期间年期间我国人口的年平均增长率是多少？我国人口的年平均增长率是多少？思考思考3:用马尔萨斯人口增长模型，我国在用马尔萨斯人口增长模型，我国在19501959年年期间的人口增长模型是什么？期间的人口增长模
23、型是什么？思考思考4:怎样检验该模型与我国实际人口数据是否相符？怎样检验该模型与我国实际人口数据是否相符？思考思考5:据此人口增长模型，大约在哪一年我国的人口达据此人口增长模型，大约在哪一年我国的人口达到到13亿？亿？年份年份19501950195119511952195219531953195419541955195519561956195719571958195819591959人数人数55196551965630056300574825748258796587966026660266614566145662828628286456364563659946599467207672073.2
24、.2 3.2.2 函数模型的应用实例函数模型的应用实例练习练习:有甲、乙两家兵乓球俱乐部，两家设备和有甲、乙两家兵乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同服务都很好，但收费方式不同.甲家每张球台甲家每张球台每小时每小时5 5元；乙家按月计费，一个月中元；乙家按月计费，一个月中3030小时小时以内以内(含含3030小时小时)每张球台每张球台9090元，超过元，超过3030小时的小时的部分每张球台每小时部分每张球台每小时2 2元元.小王准备下个月从这小王准备下个月从这两家中的一家租用一张球台开展活动，其活动两家中的一家租用一张球台开展活动，其活动时间不少于时间不少于1515小时，也不超过小
25、时，也不超过4040小时，问小王小时，问小王应选择哪家俱乐部较合算应选择哪家俱乐部较合算?3.2.2 3.2.2 函数模型的应用实例函数模型的应用实例3.2.2 3.2.2 函数模型的应用实例函数模型的应用实例第二课时第二课时函数最值和函数拟合函数最值和函数拟合问题提出问题提出 从实际问题出发，构建相应的函数关系，从实际问题出发，构建相应的函数关系，通过分析函数的有关性质解决实际问题，是函通过分析函数的有关性质解决实际问题，是函数应用的重点内容数应用的重点内容.对此类应用问题，我们应对此类应用问题，我们应如何展开研究？如何展开研究？3.2.2 3.2.2 函数模型的应用实例函数模型的应用实例1
26、.1.函数最值问题函数最值问题 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为定成本为200200元，每桶水的进价是元，每桶水的进价是5 5元，销售单价与元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：日均销售量的关系如表所示：240240280280320320360360400400440440480480日均销日均销售量售量/桶桶1212111110109 98 87 76 6销售单销售单价价/元元3.2.2 3.2.2 函数模型的应用实例函数模型的应用实例销售单销售单价价/元元6 67 78 89 9101011111212日均销日均销售量售量/桶桶480
27、480 440440 4004003603603203202802802402403.2.2 3.2.2 函数模型的应用实例函数模型的应用实例思考思考1:1:你能看出表中的数据有什么变化规律？你能看出表中的数据有什么变化规律？思考思考2:2:假设每桶水在进价的基础上增加假设每桶水在进价的基础上增加x元元,则日则日均销售量为多少？均销售量为多少？思考思考3:3:假设日均销售利润为假设日均销售利润为y元，那么元，那么y与与x 的的关系如何？关系如何？选取自变量选取自变量建立函数式建立函数式确定定义域确定定义域回答实际问题回答实际问题求函数最值求函数最值3.2.2 3.2.2 函数模型的应用实例函数
28、模型的应用实例思考思考4:4:上述关系表明，日均销售利润上述关系表明，日均销售利润y元是元是x的函数，的函数，那么这个函数的定义域是什么？那么这个函数的定义域是什么？思考思考5:这个经营部怎样定价才能获得最大利润？这个经营部怎样定价才能获得最大利润？思考思考6:你能总结一下用函数解决应用性问题中的最你能总结一下用函数解决应用性问题中的最值问题的一般思路吗？值问题的一般思路吗？2.2.函数拟合问题函数拟合问题 某地区不同身高某地区不同身高(单位：单位：cm)的未成年男性的未成年男性的体重的体重(单位：单位：kg)平均值如下表：平均值如下表：55.0555.0547.2547.2538.8538.
29、8531.1131.1126.8626.8620.9220.92体重体重170170160160150150140140130130120120身高身高17.5017.5015.0215.0212.1512.159.999.997.907.906.136.13体重体重1101101001009090808070706060身高身高3.2.2 3.2.2 函数模型的应用实例函数模型的应用实例思考思考1:1:上表提供的数据对应的散点图大致如何？上表提供的数据对应的散点图大致如何？思考思考2:2:根据这些点的分布情况，可以选用那个函数根据这些点的分布情况，可以选用那个函数模型进行拟合，使它能比较近似
30、地反映这个地区未成年模型进行拟合，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重男性体重y(kg)与身高与身高 x(cm)的函数关系？的函数关系？思考思考3:3:怎样确定拟合函数中参数怎样确定拟合函数中参数a，b的值？的值？身高（身高（cm）体重（体重（kg）o3.2.2 3.2.2 函数模型的应用实例函数模型的应用实例思考思考4:4:如何检验函数如何检验函数 的拟合程度？的拟合程度？思考思考5:若体重超过相同身高男性体重的若体重超过相同身高男性体重的1.2倍为倍为偏胖，低于偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为高为175cm,体重为体重为78kg的在校男生的体重是否的在校男生的体重是否正常？正常？思考思考6:你能总结一下用拟合函数解决应用性问你能总结一下用拟合函数解决应用性问题的基本过程吗？题的基本过程吗？3.2.2 3.2.2 函数模型的应用实例函数模型的应用实例收集数据收集数据画散点图画散点图选择函数模型选择函数模型求函数模型求函数模型检验检验用函数模型解用函数模型解释实际问题释实际问题YesNo3.2.2 3.2.2 函数模型的应用实例函数模型的应用实例身高（身高（cm）体重（体重（kg）o3.2.2 3.2.2 函数模型的应用实例函数模型的应用实例