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1、2019-2020 学年浙江省杭州市西湖区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共10 小题）.1（4 分）若二次函数2yax的图象经过点(1,4)P，则该图象必经过点()A(1,4)B(1,4)C(4,1)D(4,1)2（4 分）已知线段a是线段 b，c 的比例中项，则()AabbcBacbaCaccbDbcab3（4 分）16，73，90，四个实数，任取一个数是无理数的概率为()A14B12C34D14（4 分）如图所示，ABC 的顶点在正方形网格的格点上，则cos(B)A12B23C22D535（4分）ABC 中，90C，3AC，4BC，以点 C 为圆心，CA 为半径的圆与AB、BC 分别
2、交于点E、D，则 AE 的长为()A95B125C185D3656（4 分）在平面直角坐标系中，二次函数(5)(3)yxx的图象向右平移2 个单位后的函数为()A(5)(1)yxxB(5)(3)yxxC(5)(3)yxxD(7)(1)yxx7（4 分）如图，AB 为O 的直径，点 C 在O 上，若4AB，2 2AC，则 O 到 AC 的距离为()A1B2C2D 2 28（4 分）二次函数224yxx，当12x时，则()A14yB5yC 45yD 15y9（4 分）如图，在ABC 中，中线AD，BE 相交于点 F，/EGBC，交 AD 于点 G，下列说法：2BDGE；2AFFD；AGE 与BDF
3、 面积相等；ABF 与四边形 DCEF面积相等，结论正确的是()ABCD10（4 分）已知二次函数233yxmxn图象与 x 轴没有交点，则()A423mnB423mnC423mnD423mn二、填空题：单空题每题4 分，多空题每题6 分11（4 分）从 0，1，2，3，4 中任取两个不同的数，其乘积为0 的概率是12（4 分）已知点E 是线段 AB 的黄金分割点，且BEAE，若2AB，则 BE13（4 分）如图，ABC 是O 的内接正三角形，弦 EF 经过 BC 边的中点 D，且/EFAB，若6AB，则 EF14（4 分）当32x时，函数242(0)yaxaxa的最大值是8，则 a15（4
4、分）如图，ABC 的两条高线BD，CE 相交于点 F，已知60ABC，ABa，CFEF，则ABC 的面积为（用含 a 的代数式表示）16（4 分）二次函数1()(6)yxmxmm（其中0)m，下列命题：该函数图象过(6,0)；该函数图象顶点在第三象限；当3x时，y 随着 x 的增大而增大；若当xn时，都有 y 随着 x 的增大而减小，则132nm正确的序号是三、解答题：7 小题，共66 分17已知二次函数2(1)ya xh的图象经过点(0,4)A，(2,)Bm（1）求二次函数图象的对称轴；（2）求 m 的值18如图，在ABC 中，4AC，2CD，8BC，点 D 在 BC 边上（1）判断ABC
5、与DAC 是否相似？请说明理由（2）当3AD时，求 AB 的长19甲口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别为2 和 7，乙口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别为4 和 5，丙口袋中装有三个相同的小球，它们的标号分别为3，8，9 从这 3 个口袋中各随机地取出1 个小球（1）求取出的3 个小球的标号全是奇数的概率是多少？（2）若以取出的三个小球的标号分别表示三条线段的长度，请用列表或树状图法求三条线段能构成三角形的概率20在ABC 中，6AB，4BC，B为锐角且1cos2B（1）求B 的度数；（2）求ABC 的面积；（3）求 tanC 21如图，在O 中，弦 BC 垂直于半径OA，垂足为
6、E，D 是优弧 BC 上一点，连接BD，AD，OC，30ADB（1）求AOC 的度数；（2）若弦8BCcm，求图中劣弧BC 的长22已知二次函数21(0)yaxbxc a的图象经过三点(1,0)，(6,0)，(0,3)（1）求该二次函数的解析式；（2）若反比例函数24(0)yxx图象与二次函数21(0)yaxbxc a的图象在第一象限内交于点0(A x，0)y，0 x 落在两个相邻的正整数之间，请求出这两个相邻的正整数；（3）若反比例函数2(0,0)kykxx的图象与二次函数21(0)yaxbxc a的图象在第一象限内的交点为B，点 B 的横坐标为m，且满足 34m，求实数 k 的取值范围23
7、在等边三角形ABC 中，点 D，E 分别在 BC，AC 上，且 DCAE，AD 与 BE 交于点P，连接 PC（1）证明：ABECAD；（2）若 CECP，求证：CPDPBD；（3）在（2）的条件下，证明：点D 是 BC 的黄金分割点参考答案一、选择题：每小题4 分，共 40 分1（4 分）若二次函数2yax的图象经过点(1,4)P，则该图象必经过点()A(1,4)B(1,4)C(4,1)D(4,1)解：二次函数2yax的对称轴为y 轴，若图象经过点(1,4)P，则该图象必经过点(1,4)故选：A 2（4 分）已知线段a是线段 b，c 的比例中项，则()AabbcBacbaCaccbDbcab
8、解：线段 a 是线段 b，c 的比例中项，2abc，由 A得，2bac，故错误；由 B 得，2abc，故正确；由 C 得，2cab，故错误；由 D 得，2baac，故错误；故选：B 3（4 分）16，73，90，四个实数，任取一个数是无理数的概率为()A14B12C34D1解：在16，73，90，四个实数中，无理数是90，故任取一个数是无理数的概率为2142，故选：B 4（4 分）如图所示，ABC 的顶点在正方形网格的格点上，则cos(B)A12B23C22D53解：如图，取格点E，连接 CE 由题意：90BEC，2BEEC，2BC，2cos2BEBBC，故选：C 5（4分）ABC 中，90C
9、，3AC，4BC，以点 C 为圆心，CA 为半径的圆与AB、BC 分别交于点E、D，则 AE 的长为()A95B125C185D365解：在 Rt ABC 中，3AC，4BC，22345AB过 C 作 CMAB，交 AB 于点 M，如图所示，由垂径定理可得M 为 AE 的中点，1122ABCSAC BCAB CM，且3AC，4BC，5AB，125CM，在 Rt ACM 中，根据勾股定理得：222ACAMCM，即22129()5AM，解得：95AM，1825AEAM故选：C 6（4 分）在平面直角坐标系中，二次函数(5)(3)yxx的图象向右平移2 个单位后的函数为()A(5)(1)yxxB(5
10、)(3)yxxC(5)(3)yxxD(7)(1)yxx解：2(5)(3)(1)16yxxx，顶点坐标是(1,16)将其向右平移2 个单位后的顶点坐标是(1,16)所以平移后抛物线的解析式是：2(1)16(3)(5)yxxx，故选：B 7（4 分）如图，AB 为O 的直径，点 C 在O 上，若4AB，2 2AC，则 O 到 AC 的距离为()A1B2C2D 2 2解：连接 BC，作 OEAC 于 E AB 是直径，90ACB，22224(22)2 2BCABAC，OEAC，AEEC，AOOB，122OEBC，故选：C 8（4 分）二次函数224yxx，当12x时，则()A14yB5yC 45yD
11、 15y解：二次函数2224(1)5yxxx，该抛物线的对称轴为1x，且10a，当1x时，二次函数有最大值为5，当1x时，二次函数有最小值为：2(11)51，综上所述，二次函数224yxx，求当12x时，15y，故选：D 9（4 分）如图，在ABC 中，中线AD，BE 相交于点 F，/EGBC，交 AD 于点 G，下列说法：2BDGE；2AFFD；AGE 与BDF 面积相等；ABF 与四边形 DCEF面积相等，结论正确的是()ABCD解：中线 AD，BE 相交于点 F，BDCD，AECE，2BFEF，2AFFD，正确；/EGBC，BDFEGF，2BDBFGEEF，2BDGE，正确；2AFFD，
12、ABF 的 面 积2 BDF 的 面 积23ABD 的 面 积13ABC 的 面 积，BDF的 面 积16ABC 的面积，/EGBC，AECE，AGEADC，12AEAC，211()24AGEADC的面积的面积，AGE 的面积14ADC 的面积18ABC 的面积，AGE 与BDF 面积不相等，不正确；BDCD，AECE，ABD 的面积ADC 的面积12ABC 的面积ABE 的面积BCE 的面积，ABD 的面积BCE 的面积，ABD 的面积BDF 的面积BCE 的面积BDF 的面积，即ABF 与四边形DCEF 面积相等，正确；故选：D 10（4 分）已知二次函数233yxmxn图象与 x 轴没有
13、交点，则()A423mnB423mnC423mnD423mn解：二次函数233yxmxn图象与 x轴没有交点，0，即2(3)4(1)(3)0mn，29120mn，234mn，抛物线开口向下，与x轴没有交点，30n，0n，当2x时，0y，即4630mn解得423mn故选：C 二、填空题：单空题每题4 分，多空题每题6 分11（4 分）从 0，1，2，3，4 中任取两个不同的数，其乘积为0 的概率是25解：根据题意画图如下：共有 20 种等可能结果，其中积为0 的有 8 种结果，则其乘积为0 的概率是82205；故答案为：2512（4 分）已知点 E 是线段 AB 的黄金分割点，且 BEAE，若2
14、AB，则 BE51解：E 是线段 AB 的黄金分割点，且BEAE，512BEAB，515125122BEAB，故答案为51 13（4 分）如图，ABC 是O 的内接正三角形，弦 EF 经过 BC 边的中点 D，且/EFAB，若6AB，则 EF3 5解：ABC 是O 的内接正三角形，弦EF 经过 BC 边的中点 D，且/EFAB，6AB，由相交弦定理可得9ED DFBD DC，9EG FGAG GC，132DGAB，(3)9DEFG，(3)9FGDE，33 52DEFG，3 5EF，故答案为：3 514（4 分）当32x时，函数242(0)yaxaxa的最大值是8，则 a27或32解：函数242
15、(0)yaxaxa的对称轴为直线422axa，当0a时，则3x时，函数242(0)yaxaxa的最大值是8，把3x代入得，91228aa，解得27a；当0a时，则2x时，函数242(0)yaxaxa的最大值是8，把2x代入得，4828aa，解得32a，故答案为27或3215（4 分）如图，ABC 的两条高线BD，CE 相交于点 F，已知60ABC，ABa，CFEF，则ABC 的面积为235a（用含 a 的代数式表示）解：设2BEx，CEAB，90AECCEB，60ABC，30BCE，4BCx，2 3CEx，EFCF，3EFx，BD 是ABC 的高，90CDFBEF，DFCBFE，ACEEBF，
16、AECBEF，ACEFBE，AECEEFBE，即2 323AExxx，3AEx，23ABaxx，15xa，21132 3225ABCaSAB CEax，故答案为：235a16（4 分）二次函数1()(6)yxmxmm（其中0)m，下列命题：该函数图象过(6,0)；该函数图象顶点在第三象限；当3x时，y 随着 x 的增大而增大；若当xn时，都有 y 随着 x 的增大而减小，则132nm正确的序号是解：21()(6)(61)6yxmxmmxmxm，对称轴为(61)1322mxmm，22(61)24(61)0mmm，当6x时，0y，该函数图象过(6,0)；故 正确；21()(6)(61)6yxmxm
17、mxmxm，对称轴为(61)13022mxmm，该函数图象顶点不在第三象限，故错误；当132xm时，y 随 x的增大而增大，故 错误；C、当xn时，y 随 x的增大而减小，即132xm，此选项正确；故答案为：三、解答题：7 小题，共66 分17已知二次函数2(1)ya xh的图象经过点(0,4)A，(2,)Bm（1）求二次函数图象的对称轴；（2）求 m 的值解：（1）二次函数2(1)ya xh该函数的对称轴是直线1x；（2）由（1）知，该函数的对称轴是直线1x，二次函数2(1)ya xh的图象经过点(0,4)A，(2,)Bm，4m，即 m 的值是 418如图，在ABC 中，4AC，2CD，8B
18、C，点 D 在 BC 边上（1）判断ABC 与DAC 是否相似？请说明理由（2）当3AD时，求 AB 的长解：（1）ABC 与DAC 相似，理由是：2CD，8BC，4AC，ACCDBCAC，CC，ABCCAD；（2）ABCCAD，ACABCDAD，4AC，2CD，3AD，423AB，解得：6AB19甲口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别为2 和 7，乙口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别为4 和 5，丙口袋中装有三个相同的小球，它们的标号分别为3，8，9 从这 3 个口袋中各随机地取出1 个小球（1）求取出的3 个小球的标号全是奇数的概率是多少？（2）若以取出的三个小球的标号分别表示三
19、条线段的长度，请用列表或树状图法求三条线段能构成三角形的概率解：（1）根据题意得：111122312P；（2）画树状图如下：，所有等可能的情况有12 种，其中三条线段能构成三角形的情况有：2，4，3；2，5，3；7，4，8；7，4，9；7，5，3；7，5，8；7，5，9，共 6 种，则 P（三条线段能构成三角形）6112220在ABC 中，6AB，4BC，B为锐角且1cos2B（1）求B 的度数；（2）求ABC 的面积；（3）求 tanC 解：（1）B 为锐角且1cos2B，60B；（2）作 ADBC 于 D，如图所示：60B，906030BAD，132BDAB，33 3ADBD，ABC 的面
20、积1143 36 322BCAD；（3）4BC，3BD，1CDBCBD，3 3tan3 31ADCCD21如图，在O 中，弦 BC 垂直于半径OA，垂足为 E，D 是优弧 BC 上一点，连接BD，AD，OC，30ADB（1）求AOC 的度数；（2）若弦8BCcm，求图中劣弧BC 的长解：（1）连接 OB，OABC，ABAC，AOCAOB，由圆周角定理得，260AOBADB，60AOCAOB；（2）OABC，142BEBC，在 Rt BOE 中，60AOB，8 3sin603BEOB，劣弧 BC 的长8 312016 33()1809cm 22已知二次函数21(0)yaxbxc a的图象经过三点
21、(1,0)，(6,0)，(0,3)（1）求该二次函数的解析式；（2）若反比例函数24(0)yxx图象与二次函数21(0)yaxbxc a的图象在第一象限内交于点0(A x，0)y，0 x 落在两个相邻的正整数之间，请求出这两个相邻的正整数；（3）若反比例函数2(0,0)kykxx的图象与二次函数21(0)yaxbxc a的图象在第一象限内的交点为B，点 B 的横坐标为m，且满足 34m，求实数 k 的取值范围解：（1）设抛物线解析式为(1)(6)ya xx，将(0,3)代入，解得12a抛物线解析式为215322yxx（2）画出二次函数215322yxx的图象以及反比例函数24(0)yxx在第一
22、象限内的图象，由图象可知，交点的横坐标0 x 落在 1 和 2 之间，从而得出这两个相邻的正整数为1 与 2（3）由函数图象或函数性质可知：当34x时，对2115322yxx，1y 随着 x 增大而增大，对2(0)kykx，2y 随着 x 的增大而减小因为 B 为二次函数图象与反比例函数图象的交点，所以当3m时，由反比例函数图象在二次函数上方得21yy，即215333322k，解得27k同理，当4m时，由二次函数图象在反比例上方得12yy，即215443224k，解60k，所以 k 的取值范围为2760k23在等边三角形ABC 中，点 D，E 分别在 BC，AC 上，且 DCAE，AD 与 B
23、E 交于点P，连接 PC（1）证明：ABECAD；（2）若 CECP，求证：CPDPBD；（3）在（2）的条件下，证明：点D 是 BC 的黄金分割点【解答】证明：（1）ABC 是等边三角形，ABACBC，60BACABCACB，且 CDAE，()ABEACD SAS（2）ABECAD，ABEDAC，60DACDABBAC，60ABEDABBPD，CECP，CPECEP，AEBBPC，60AEBEBCECBEBC，60BPCBPDDPCDPC，EBCDPC，即CPDPBD；（3）ACBC，AECD，BDCE，且 CECP，BDCP，CPDPBD，且PCDPCB，PCDDCP，CDPCPCBC，2PCBC CD，2BDBC CD，点 D 是 BC 的黄金分割点