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1、1 第 64 课通项与求和(1)1.熟练掌握等差、等比数列的通项公式，能将一些特殊数列转化为等差、等比数列来求通项.2.掌握求非等差、等比数列的通项公式的常用方法.1.阅读：必修5 第 3739 页、第 5153 页.2.解悟：等差数列和等比数列通项公式形式的联系与区别；体会课本中推出等差数列和等比数列通项公式的方法；整理求数列通项公式的常用方法.3.践习：在教材空白处，完成第39 页思考、第41 页第 10 题，第 53 页思考、第54 页第 4题.基础诊断1.已知等差数列 an 的公差为d，则 anam(nm)d.解析：因为数列 an是等差数列，且公差为d，所以 anama1(n1)da1
2、(m1)d(nm)d.2.在数列 an中，a11，an1annn1，则 an1n.解析：当 n2 时，ana1a2a1a3a2a4a3anan11122334n 1n1n；当 n1时也成立，故an1n.3.若数列 an满足a11，annan1(n2，nN*)，则数列 an的通项公式为ann（n1）2.解析：由ann an1可变形为anan1n(n2，nN*)，由此可写出以下各式：anan1n，an1an2 n1，an2an3n2，a2a12，将以上等式两边分别相加，得an a1 n(n1)(n 2)2，所以an n(n1)(n 2)2 1n（n1）2.4.在斐波那契数列1，1，2，3，5，8，
3、13，中，任意连续的三项an，an1，an2的关系是an2anan1.范例导航考向?利用“累乘、累加”法求通项例 1已知数列 an满足 a112，数列 an 的前 n 项和 Snn2an(nN*)，数列 bn 满足 b1 2，bn12bn.求数列 an，bn的通项公式.解析：因为Snn2an(nN*)，当 n2 时，Sn1(n1)2an1，所以 anSnSn1n2an(n 1)2an1，所以(n1)an(n1)an1，即anan1n1n1.2 又 a112，所以ananan1an1an2an2an3a3a2a2a1 a1n 1n 1n2nn3n12413121n（n1）.当 n1 时，上式成立
4、，故an1n（n 1）.因为 b12，bn12bn，所以 bn 是首项为2，公比为2 的等比数列，故bn 2n.已知 a12，an1anln 11n，求数列 an的通项公式.解析：因为an1anln11n，所以 anan1ln 11n1lnnn1(n2)，所以 an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1lnnn1lnn1n2 ln32ln22 2lnnn1n1n23222lnn(n2).又 a12 满足上式，故an2lnn(nN*).【注】(1)形如 an1anf(n)的递推关系式利用累加法求出通项，特别注意能消去多少项，保留多少项.(2)形如 an1an f(n)的递推关系式可化为a
5、n1anf(n)的形式，可用累乘法，也可用ananan1an1an2 a2a1 a1代入求出通项.(3)求数列的通项公式，特别是由递推公式给出数列时，除叠加、迭代、累乘外，还应注意配凑变形法.变形的主要目的是凑出容易解决问题的等差或等比数列，然后再结合等差、等比数列的运算特点解决原有问题.求通项公式时，还可根据递推公式写出前几项，由此来猜测归纳出通项公式，然后再证明.考向?构造等差、等比数列求通项例 2(1)已知数列 an满足 a1 1，an13an2，求数列 an的通项公式；(2)已知数列 an满足 a12，an12an2n1，求数列 an的通项公式.解析：(1)因为 an1 3an2，所以
6、 an113(an1).又 a11，所以 a112，故数列 an 1是首项为2，公比为3 的等比数列，3 所以 an123n1，故 an23n11.(2)因为 an12an2n1，所以an12n1an2n1.又a121，故数列an2n是首项为1，公差为1 的等差数列，所以an2nn，即 ann 2n.已知数列 an满足 a12，an1an2，nN*，求数列 an 的通项公式.解析：因为a12，an1an2，所以 2a2n1an，且 an0，两边取对数，得lg 22lg an1lg an，即 lg an1lg 212(lg anlg 2).因为 lg a1lg 22lg 2，所以数列 lg an
7、lg 2 是以 2lg 2 为首项，12为公比的等比数列，所以 lg anlg 2212n1lg 2，所以 an222n1.【注】(1)此题通过两边同时取对数，将一个复杂的数列转化为等比数列.通常来说，我们可以将等比数列取对数后转化成等差数列.将等差数列放到指数函数y ax中转化为等比数列.(2)形如 an1panq 的递推关系式可以化为an1 xp(anx)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键.考向?由 an与 Sn的递推关系求通项例 3记数列 an的前 n 项和为 Sn.若 a11，Sn2(a1an)(n2，n N*)，求 Sn.解析：方法一：当n2 时，S22(a1a2
8、)，从而得 a2 a1 1.当 n3 时，Sn12(a1an1)，所以 anSnSn12an2an1，即 an2an1.又 a22a1，所以数列 an是从第二项起以a2 1 为首项，2 为公比的等比数列，所以当 n2 时，Sn1（1）（12n1）1222n1.又 S1a11220，满足上式，所以 Sn22n1.4 方法二：当n2 时，S2 2(a1a2)，从而 a2 a1 1.当 n3 时，anSnSn1，所以 Sn2(1SnSn1)，即 Sn2Sn12，所以 Sn22(Sn12).因为 S22 2，S12 1，所以 S222(S12)，所以数列 Sn2是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，
9、所以 Sn2(1)2n1，即 Sn 22n1.已知数列 an共有 2k 项(k2，kN*)，数列 an的前 n 项和为 Sn，且满足a12，an1(p1)Sn2(n1，2，2k 1)，其中常数p1.(1)求证：数列 an是等比数列；(2)已知p222k1，数列 bn 满足：bn1nlog2(a1a2an)(n1，2，2k)，求数列 bn的通项公式.解析：(1)因为 an1(p1)Sn2(n1，2，2k1)，所以 an(p1)Sn12(n2，3，2k)，两式相减得an1an(p1)(SnSn1)，即 an1an(p1)an，所以 an1pan(n2，3，2k1).令 n1，得 a2(p1)a12
10、pa1，所以an1anp0(n1，2，2k1)，所以 an 是等比数列.(2)由(1)得 an a1pn1，且 a12，所以 bn1nlog2(a1a2an)1nlog2(a1 a1p a1p2 a1pn1)1nlog2(an1 p12n1)log2(a1 pn 12)1n12log2p1n1222k11n12k1.【注】一种思考方法是先求出数列 an的通项公式，再求它的前n 项和，所以将Sn转化为 an，通过研究an来求和；另一种思考方法是直接研究数列Sn，所以将 an转化为 Sn后再求它的通项.这是研究Sn与 an的关系问题时常用的两种解法，解题时要合理选择.自测反馈1.已知在数列 an
11、中，a11，an12anan2(n N*)，则 a1002101.解析：因为an12anan2，所以1an1an22an121an，即1an11an12.又因为1a11，所以5 数列1an是以 1 为首项，12为公差的等差数列，所以1an112(n1)1n2，所以 an21n，所以 a1002101.2.已知数列 an 满足 a11，ana2n11(n 2，nN*)，则 ann.解析：因为ana2n11，所以 an0，且 a2na2n11，即 a2na2n11，所以数列 a2n是以 1 为首项，1 为公差的等差数列，所以a2nn，故 ann.3.若数列 an的前 n 项和 Sn 2an1，则
12、an2n1.解析：因为Sn2an1，当 n2 时，Sn12an11，所以 anSnSn12an1(2an11)，即 2an1an，所以anan12.因为 a1S12a1 1，所以a11，所以数列 an是以 1为首项，2 为公比的等比数列，所以an2n1，当 n1 时，也满足上式，所以an 2n1.4.数 列 an 满 足a1 2a2 3a3 nan(n 1)(n 2)(nN*)，则an6，n1，22n，n2.解析：因为a12a2 3a3 nan(n1)(n2)，当n1 时，a1(11)(12)6；当 n2 时，a12a23a3(n 1)an1n(n 1)，得nan(n1)(n2)n(n1)2n2，所以 an2n2n22n(n2).当 n1 时，a16，不满足上式，所以an6，n1，22n，n2.1.注意数列条件限制，如正项数列、等比数列中任意一项均不为0.要分清第n1 项与第 n 项表达式之间的关系.2.已知 Sn求 an，要注意对n1 情况的讨论.3.你还有那些体悟，写下来：6