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1、数学试卷一、填空题1.全集1,2,3,54,U，集合,1,3,43,5AB，则()UABIe2.己知复数21iz，则 z的虚部为3.如图是样本容量为200 的频率分布直方图根据此样本的频率分布直方图估计，样本数据落在6,10)内的频数为4.现有三张识字卡片,分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字.将这三张卡片随机排序,则能组成“中国梦”的概率是 _.5.函数22log(32)yxx的定义域为6.己知3sin()5，且 2sin20，则tan()4的值为7.若正整数N 除以正整数m后的余数为r,则记为 Nmodrm,例如 102 mod4。下列程序框图的算法源于我国古代数学名著孙子算经中的“中国
2、剩余定理”，则执行该程序框图输出的i 等于8.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为_.9.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab，点,A B在双曲线C 的左支上，O 为坐标点，直线BO 与双曲线 C 的右支交于点M。若直线AB的斜率为 3,直线AB的斜率为 1，则双曲线C 的离心率为10.已知 na是首项为1，公比为2的等比数列，数列nb满足11ba，且*121121.(2,N)nnnnbaaaaaann，若(27)2019mmab，则 m 的值为11.在ABC中，已知3,2,ABBCD在AB上，13ADABuuu ruuu r.若3DB
3、DCuu u r uu ur，则 AC 的长是_12.在平面直角坐标系xOy 中,已知AB是圆22:1O xy的直径,若直线:310l kxyk上存在点P,连接AP与圆 O 交于点,Q 满足/BPOQ,则实数 k的取值范围是_.13.已知一个等腰三角形的底边长为4，则它的一条底的角平分线长的取值范围是14.设函数3Re(,exg xxa a为自然对数的底数)，定义在 R 上的连续函数()f x 满足：2()()ffxxx，且当0 x时，()fxx，若02|()()22xxffxxx，使得00g g xx，则实数a 的取值范围为二、解答题15.如图，在四棱柱1111ABCDABC D 中，已知平
4、面11AAC C平面 ABCD，且3ABBCCA，1ADCD1.求证：1BDAA；2.若 E 为棱 BC 的中点，求证：/AE平面11DCC D 16.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点()1,0A和点0()1,B，1OCuuu r，且AOCx，其中 O为坐标原点（1）若34x，设点 D 为线段 OA 上的动点，求OCODuu u ruuu r的最小值；（2）若0,2x，向量 mBCu ruu u r，(1cos,sin2cos)nxxxr，求 m nu rr的最小值及对应的x值17.如图，一楼房高AB为 19 3 米，某广告公司在楼顶安装一块宽BC为 4 米的广告牌，CD为拉杆，广告牌BC
5、 边与水平方向的夹角为60，安装过程中，一身高为3 米的监理人员EF站在楼前观察该广告牌的安装效果；为保证安全，该监理人员不得站在广告牌的正下方；设AEx 米，该监理人员观察广告牌的视角BFC（1）试将 tan表示为x的函数；（2）求点E的位置，使取得最大值18.已知椭圆C 的两焦点分别为12(2 3,0),(2 3,0)FF，点 E 在椭圆 C 上，且1260F EF，124EFEFu uu ru uu u r.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过 x轴正半轴上一点M 作直线 l，交椭圆C 于AB两点。问：是否存在定点M，使当直线l 绕点 M 任意转动时，2211AMBM为定值？若存在，求出
6、定点M 的坐标；若不存在，说明理由。19.设()f x 是定义在区间(1,)上的函数，其导函数为()fx。如果存在实数a和函数()h x，其中()h x 对任意的(1,)x都有()0h x，使得2()()(1)fxh xxax，则称函数()f x 具有性质()P a。(1)设函数2()ln(1)1bf xxxx，其中b为实数。(i)求证：函数()f x 具有性质()P b；(ii)求函数()f x 的单调区间。(2)已知函数()g x 具有性质(2)P，给定1212,(1,),x xxx,设m为实数，1212(1),(1)mxm xm xmx，且1,1，若12|()()|()()|ggg xg
7、 x，求m的取值范围。20.已知数列na的奇数项是首项为1 的等差数列，偶数项是首项为2 的等比数列.数列na的前 n和为nS，且满足5459342,Saa aaa.（1）求数列na的通项公式；（2）在数列na中，若12,mmmaaa成等差数列，求整数m 值；（3）是否存在正整数m 使得221mmSS恰好是na的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在说明理由.21.求曲线1xy在矩阵10103M对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积22.在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线l的参数方程为212(22xttyt为参数)，曲线C的极坐标方程为
8、4cos；（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交点分别为,A B,点1,0P，求11PAPB的值.23.如图是某市3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图空气质量指数小于100 表示空气质量优良，空气质量指数大于200 表示空气重度污染某人随机选择3月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到达该市，并停留2天（1）求此人到达当日空气重度污染的概率；（2）设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望；24.记函数2()1.,1,2.2!nnxxfxxnn（1）证明：4()0fx；（2）证明：当 n 奇数时，方程()0nfx有唯一的
9、实根；当 n 偶数时，方程()0nfx没有实根.参考答案1.答案：1,2,4,5解析：2.答案：1 解析：3.答案：64 解析：样本数据落在6,10)内的频率为0.0840.32，所以样本数据落在6,10)内的频数为2000.3264.4.答案：16解析：5.答案：(3,1)解析：6.答案：17解析：7.答案：27 解析：8.答案：34解析：9.答案：2 解析：10.答案：10 解析：11.答案：10解析：由已知2,1,BDAD设,DCxBDC，则2 cos3DB DCxuuu r uuu r.又2444 cosxx，可得66,cos4x，则在ADC中，22261(6)2 16()104AC，
10、故10AC12.答案：4,3解析：13.答案：8,423解析：14.答案：e2a解析：15.答案：1.证明：在四边形ABCD 中，因为,BABC DADC，所以 BDAC，又平面11AAC C平面 ABCD，且平面11AAC C平面 ABCDAC，BD平面ABCD，所以BD平面11AAC C，又因为1AA平面11AAC C，所以1BDAA 2.在三角形ABC 中，因为ABAC，且E为 BC 中点，所以 AEBC，又因为在四边形ABCD 中，3ABBCCA，1DADC，所以60ACB，30ACD，所以 DCBC，所以/AEDC，因为 DC平面11,DCC DAE平面11DCC D，所以/AE平面
11、11DCC D 解析：16.答案：（1）设(,0)D t（01t），又22(,)22C所以22(,)22OCODtuuu ruuu r所以22211|22122OCODttttuu u ruu u r221()(01)22tt所以当22t时，|OCODuuu ru uu r最小值为22（2）由题意得(cos,sin)Cxx,(cos1,sin)mBCxxu ruuu r则221cossin2sincos1cos2sin 2m nxxxxxxu rr12sin(2)4x因为0,2x,所以52444x所以当242x，即8x时，sin(2)4x取得最大值1所以8x时，12sin(2)4m nxu r
12、r取得最小值 12所以 m nu rr的最小值为 12，此时8x解析：17.答案：（1）作 CGAE 于 G，作FHAB于H，交 CG 于M，作 BNCG 于 N，则CFMBFH；在直角BCN中，4BC，60CBN，则2BN，23CN；在直角CFM中，有20 3tan2CMCNNMCFMMFAEBNx；在直角BFH中，有18 3tanBHBFHHFx；tantantantan()1tantanCFMBFHCFMBFHCFMBFH220 318 32336 322108020 3 18 312xxxxxxx；再由题意可知：监理人员只能在G 点右侧，即(2,)x（2）由（1）得：222 336 3
13、18tan2 32108021080 xxxxxx；令18tx，则(20,)t；2213tan2 32 32 31440(18)2(18)108038144012 101938tttttttt，当且仅当1440tt即12 10t时，等号成立；此时，12 1018x；又易知：是锐角，即(0,)2，而tany在(0,)2是增函数；当12 1018x时，取最大值解析：18.答案：(1)在12F EF中，由余弦定理得222112122cos60EFEFEF EFF F即22121212()3EFEFEF EFF F因为124EFEFuuu r uu u u r，所以12cos60=4EFEFuu ur
14、 uuu u r即12=8EF EFu uu r u uu u r又12=2EFEFa，124 3F F所以2242445,18aa因为2 3c，所以2226bac所以椭圆 C 的标准方程为221186xy（2）设点(,0)M m1122(0),(,),(,)mA x yB xy当直线 l 与 x 轴不重合时，设l 的方程为 xtym代入椭圆的方程，得22()318tymy整理的222(3)2180tytmym则2121222218,33tmmyyy ytt所以22222211221111()()xmyxmyAMBM22222221086236236(18)1mtmmmt令22108 6123
15、6mm，解得29,m即3m此时2211AMBM为定值当直线 l 与 x 轴重合时，点(3 2,0),(3 2,0)AB，(3,0)M则2222111132 23222993(323)(323)AMBM综上所述，存在点(3,0)M满足题设要求.解析：19.答案：（1）(i)2212()(1)(1)bfxxbxxx1x时，1()0(1)h xx x恒成立，函数()f x 具有性质()P b；(ii)设222()1()1,()24bbxxbxxx与()fx 的符号相同。当210,224bb时，()0,()0 xg x，故此时()f x 在区间(1,)上递增；当2b时，对于1x，有()0fx，所以此时
16、()f x 在区间(1,)上递增；当2b时，()x 图像开口向上，对称轴12bx，而(0)1，对于1x，总有()0 x，()0fx，故此时()f x 在区间(1,)上递增；(2)由题设知，()g x 的导函数2()()(21)g xh xxx，其中函数()0h x对于任意的(1,)x都成立。所以，当1x时，2()()(1)0g xh xx，从而()g x 在区间(1,)上单调递增。当(0,1)m时，有12111(1)(1)mxm xmxm xx，12222(1)(1)mxm xmxm xx，得12(,)x x，同理可得12(,)xx，所以由()g x 的单调性知12()()(),()ggg x
17、g x、，从而有12()()()()ggg xg x，符合题设。当0m时，12222(1)(1)mxm xmxm xx，12111(1)(1)m xmxm xmxx，于是由1,1及()g x 的单调性知12()()()()gg xg xg，所以|，与题设不符。当时，同理可得，进而得12|()()|()()|ggg xg x，与题设不符。因此综合、得所求的m的取值范围是(0,1)。解析：)()(gg)()(21xgxg1m12,xx20.答案：（1）12,2 3,nnn nan为奇数为偶数（2）2m（3）1m或2m解析：（1）设13521,.,ka a aa的公差为 d.2462,.,.kaa
18、aa的公比为q 则4231912,1,4aaqq aadd aad由545412393411242Saaaaaaaaaadadq242233qddqdq故11222 3kkkaa q211(1)21kaakdk故12,2 3,nnn nan为奇数为偶数（2）由12mmma aa，若*2(N)mk k，则22122kkka aa即2131kk，即2m若*21(N)mkk，即21221kkkaaa即1(21)2 321kkk122 3121kk12 3kQ为正整数221k为正整数，即211k即1k，此时式为02 33不合题意综上，2m.（3）若221mmSS为 na中的一项，则221mmSS为正整
19、数又2113212422(.()(.)mmmSaaaaaa112(121)2(31)3123 1mmmmm222121221212(1)3331mmmmmmSSamSSm故若221mmSS为 na的某一项只能为123,a aa若2122(1)3131mmm,无解若212122(1)3231031mmmmm，显然1m不符合题意，2m符合题意当3m时，即12()31mf mm，则112()3ln32,()3(ln3)20mmfmm fm即()31ln32fmmm为增函数，故()(3)0fmf，即()f m 为增函数故()(3)10fmf，故当3m时方程12310mm无解即2m是方程唯一解若2212
20、2(1)33131mmmm即1m综上所述，1m或2m.21.答案：设点00(,)xy为曲线1xy上的任意一点，在矩阵10103M对应的变换作用下得到的点为(,)xy，则0010103xxyy，所以003xxyy所以曲线1xy在矩阵10103M对应的变换作用下得到的曲线为31xy，所围成的图形为菱形，其面积为1222233解析：22.答案：（1）:10lxy,曲线22:40Cxyx（2）将212(22xttyt为参数)代入曲线 C 的方程，得223=0tt212121 2414ttttt t121 211143ttPAPBt t解析：23.答案：(1)设 Ai表示事件“此人于3 月 i 日到达该
21、市”（i=1，2，13）根据题意，1()13iP A，且()ijAAijI设 B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则58BAAU58582()()()()13P BP AAP AP AU(2)由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，且36711367114(1)()()()()()13P XP AAAAP AP AP AP AUUU，1212131212134(2)()()()()()13P XP AAAAP AP AP AP AUUU5(0)1(1)(2)13P XP XP XX 的分布列为：X 0 1 2 P 513413413故 X 的数学期望5441201213131313EX解
22、析：24.答案：（1）43()()fxfx,22311()1(1)0222xfxxx，3()fx 是 R 上的的单调增函数。33(0)10,(3)20ffQ,可设30()0fx4()fx 在0,x递减，在0,x递增，024030()()04!xfxfx，4,()0 xR fx（2）证明：用数学归纳法证明21()0nfx有唯一解21nx且严格单调递增，2()0nfx无实数解。当 n=1 时，此时1()1fxx 有唯一解11x，且严格单调递增，而22()12xfxx无实数解，现在假设21()0nfx有唯一解21nx且严格单调递增，2()0nfx无实数解，2122()(),()=0nnnfxfxfx无实数解，所以2()0nfx恒成立，所以21()nfx 单调增因为21(0)10nf，当，21,xn2322110,0,02!3!(2)!(21)!nnxxxxxnn，所以21(21)0nfn所以21()nfx有唯一解21nx，222122212121()()0(22)!nnnnnnxfxfxn综上所述，对任意正整数n,当 n偶数时()0nfx无解，当n 奇数()0nfx有唯一解nx。解析：