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1、数学试卷一、填空题1.函数sin 2fxx的最小正周期是_。2.已知集合241 61AaB，若AB，则实数 a_3.复数 z 满足43zii(i 是虚数单位)，则z_4.函数 y 1 2x的定义域是 _5.从 1 2 3 4 5，这五个数中随机取两个数，则这两个数的和为6的概率为 _6.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的S的值为 _.7.已知数列na满足22log an1log an=1，则5331a aa a_8.若抛物线的准线经过双曲线的左顶点,则_.答案：2 9.如图，在直三棱柱111ABCA BC 中，M 为棱1AA 的中点，记三棱锥1A MBC 的体积为1V，四棱锥11
2、1ABBC C 的体积为2V，则12VV的值是 _10.已知函数4224)31(fxxxf af a，若，则实数 a 的取值范围为 _11.在平面直角坐标系xOy 中，过圆221()(41)Cxkyk：上任一点P作圆2221Cxy：的一条切线，切点为Q，则当线段PQ 的长最小时，k _12.已知 P为平行四边形ABCD 所在平面上任一点，且满足20PAPBPDrrr，0PAPBPCrrr，则 _13.已知函数3332,()34,xxa xaf xxxa xa若存在00 x，使得00fx，则实数a的取值范围是_14.在ABC中，已知2()sinAsinBsin Csin C，其中1tan022，
3、若112tanAtanBtanC为定值，则实数_15.如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，O 为对角线BD 的中点，,E F分别为棱,PC PD的中点，已知,PAAB PAAD.求证：(1)直线/PB平面 OEF；(2)平面 OEF平面 ABCD.二、解答题16.已知向量1(sin,1),cos2axbx，其中(0,)x(1)若/ab，求 x的值；(2)若2tanx，求 ab 的值17.如图，三个小区分别位于扇形OAB 的三个顶点上，Q 是弧AB的中点，现欲在线段OQ 上找一处开挖工作坑P(不与点 O，Q 重合)，为小区铺设三条地下电缆管线POPAPB，已知2OA千米，A
4、OB=3，记APQrad，地下电缆管线的总长度为y 千米(1)将 y 表示成的函数，并写出的范围；(2)请确定工作坑P的位置，使地下电缆管线的总长度最小18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222C:=1(ab0)xyab的左顶点为,A B是椭圆 C 上异于左、右顶点的任意一点，P是AB的中点，过点B 且与AB垂直的直线与直线OP 交于点 Q，已知椭圆 C 的离心率为12，点 A 到右准线的距离为6.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设点 Q 的横坐标为0 x，求0 x 的取值范围19.设,A B为函数 yfx 图象上相异两点，且点,A B的横坐标互为倒数，过点,A B分别作函数()
5、yf x的切线，若这两条切线存在交点，则称这个交点为函数fx 的“优点”(1)若函数2ln,01(),1xxf xaxx不存在“优点”，求实数a的值；(2)求函数2fxx的“优点”的横坐标的取值范围；(3)求证：函数fxlnx的“优点”一定落在第一象限20.已知首项不为0 的数列na的前 n 项和为nS，1232aaa，且对任意的,2nnN都有111()225.nnnnSnSSra(1)若213aa，求 r 的值；(2)数列na能否是等比数列？说明理由；(3)当1r时，求证：数列na是等差数列21.已知矩阵1252Mx的一个特征值为-2，向量416a求ma22.在平面直角坐标系xOy 中，已知
6、直线l 的参数方程为1212xtyt(t 为参数)，曲线 C 的参数方程为122xcosysin(为参数)若直线l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求线段AB的长23.如图，在正四棱柱111ABCDA B C D1中，131AAAB，.(1)求异面直线11ABAC与所成角的余弦值；(2)求平面1ABC 与平面1AC D 所成二面角的正弦值参考答案1.答案：解析：22T。2.答案：4解析：3.答案：5 解析：4.答案：11，解析：5.答案：15解析：6.答案：8 解析：代入程序前11IS符合6I,第一次代入后32IS,符合6I,继续代入；第二次代入后54IS,符合6I,继续代入;第三次代入后7
7、8IS,不符合6I,输出结果8S,故最后输出S的值为8.7.答案：4 解析：8.解析：本题考査抛物线和双曲线的标准方程.由题意知抛物线的准线为,双曲线的左顶点为,所以,.9.答案：14解析：10.答案：()1，解析：11.答案：2 解析：12.答案：34解析：13.答案：10)，解析：14.答案:510解析:15.答案：O 为BD的中点，F 为PD的中点，所以/PBFO.因为 PB平面 OEFFO，平面 OEF，所以/PB平面 OEF(2)连结AC，因为四边形ABCD为平行四边形，所以 AC 与BD交于点 O，O 为 AC 的中点因为 E 为 PC 的中点，所以/PAOE.因为PAAB，PAA
8、D，ABADAABAD，平面 ABCD，所以PA平面 ABCD，所以 OE平面 ABCD因为 OE平面 OEF，所以平面 OEF平面 ABCD.解析：16.答案：(1)因为/ab，所以12sinxcosx，即21sin x因为(0,)x，所以4x(2)因为()2tanxcosx sinx，所以2.sinxcosx因为11abcosx 所以193(1cos2sin2cos2abxxx）解析：17.答案：(1)因为 Q为弧AB的中点，由对称性，知6PAPBAOPBOP，又,6APOOAP，由正弦定理，得sin()266OAOA，又，所以1,6PAOPsin，所以26sin3si)nc(os2yPA
9、PBOPPAOP，因为APQAOP，所以()15,62612OAQOQA，所以512(2)令(5322)1,fsinsincos，)0,3(212fsincos得，f在区间 3上单调递减，在区间(5(,)312上单调递增，所以当3，即33OP千米时，f有唯一的极小值，即是最小值，则2.minf答：当工作坑P与 O的距离为33千米时，地下电缆管线的总长度最小解析：18.答案：依题意，得26a解得21ac，所以椭圆 C 的方程为221.43xy(2)由(1)知，()2 0A ，设:2,0AB xmym，解得21234mm或20 xy即222681234 3)4(mmBmm，则22()8634 34
10、mPmm，所以,433:4OPmmkOPyx=因为 ABBQ，所以BQkm，所以直线BQ 的方程为326434mmBQymxm：，联立364mm得20228 321648348()34mxmm（），解析：19.答案：由题意可知，1fxf x对()()011x，恒成立，不妨取)1(0 x，则121afxxxf x恒成立，即12a，经验证，12a符合题意(2)设2()A tt，10)2(1Bttt且，因为2fxx，所以,A B两点处的切线方程分别为22122ytxtytxt，令22122txttxt，解得11,11,()2(xt，所以“优点”的横坐标取值范围为,1()1,()(3)设1(),(),
11、01A t lntbtlnt，因为1fxx，所以,A B两点处的切线方程分别为11,1ylntytxlnttx，令111lnttxlnttx，解得10 xt，所以1121121 212()1tylntlntttt tt，设22(1),10(1)h mlnmmmm，则2222101mh mmm（），（）所以 h m 单调递增，所以10h mh，即210.21tlntt因为210.21tt所以1110ylntt t，所以“优点”的横坐标和纵坐标均为正数，在第一象限解析：20.答案：令2n，得321149SSSra，即3212111()(+=9)4 aaaaaara，化简，得3211454.aaar
12、a因为12321,23aaaaa，所以111145534aaara，解得1.r(2)假设数列 an是等比数列，公比为q，则由1232aaa 得21112aa qa q，且10a，解得2q或1q，由111()5=22+nnnnSnSSra，得11=-42-2nnnSnaaran，所以11142=()-13nnnSnaaran，两式相减，整理得11223()nnnnaana，两边同除以1na，可得2()231.n qqq因为2q或1，所以20qq，所以上式不可能对任意3n恒成立，故数列na不可能是等比数列(3)1r时，令2n，整理得1231454aaaa，又由1232aaa 可知2131,35aa
13、 aa，令3n，可得4321611SSSa，解得417aa，由(2)可知11422nnnSnaaan，所以111(423)1nnnSnaaan，两式相减，整理得112233()nnnnaanan，所以212121()4()nnnnaanan，两式相减，可得212121()4()nnnnaanan因为4332()()0aaaa，所以1120()4)nnnnaaaan，即1120()4)nnnnaaaan又因为322112aaaaa，所以数列na是以 a1为首项，12a 为公差的等差数列解析：21.答案：将2代入2()215()0 xx，得3x，所以1,25,32M所以1,242851658,32
14、Ma解析：22.答案：由题意得曲线C 的直角坐标方程为2214()xy.将直线 l 的参数方程1t代入22=14()xy得1141tt，即24430tt，解得1213,22tt=-，则123|22ABtt.C.因为 32+=1ab c，所以111aabbc(2)1aabbcbc21(1)1aabbc2()11 6+4当且仅当=+a a b b c 时，等号成立，所以111aabbc的最小值为6+4.解析：23.答案：以1ABADAA，所在直线为x 轴，y 轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，则110 0 310()()()0113ABC，所以11 0 311()3()1BAACrr，所以1 911011=1155cos BAACrr，(2)由题意得110010()()CD，所以(),(),(),110311131113)010(A BA CACADrrrr，-，-，设平面1ABC 的一个法向量为1111()nxyz，则110Acn即1113 103 10 xzxyz令11z，则11()30n，设平面1AC D 的一个法向量为2222()nxyz，则20ADn即22200 xyy令21z，则231()0n，所以121?29 1412105n ncos nnnn，=所以平面 A1BC 与平面 AC1D 所成二面角的正弦值为35解析：