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1、2020 年 05 月 04 日 xx 学校高中数学试卷学校：_ 姓名：_ 班级：_ 考号：_ 一、填空题1.已 知 1,0,1,2A，|02BxRx，则ABI=_.2.若复数341i z(i 为负数)，则复数的z=_.3.某市有中外合资企业160 家，私营企业320家，国有企业240 家，其他性质的企业80 家，为了了解企业的管理情况，现用分层抽样的方法从这800家企业中抽取一个容量为的样本，已知从国有企业中抽取了12 家，那么=_.4.函数2yx的定义域是 _.5.如图所示的流程图的运行结果是_.6.高三（5）班演讲兴趣小组有女生3 人，男生2 人，现从中任选2 名学生去参加校演讲比赛,则
2、参赛学生恰好为1 名男生和1 名女生的概率是_.7.在平面直角坐标系xOy中，直线20 xy为双曲线222210,0 xyabab的一条渐近线，则该双曲线的离心率为_.8.已知5cos,0,452则sin24的值为 _.9.设公比不为1 的等比数列na满足1231a a a,且243,aaa成等差数列，则数列na的前 4 项和为 _.10.曲线1fxx在点4,3处的切线与直线10axy互相垂直，则实数的值为 _.11.已知2,0ab，且1ab，则242abb的最小值为 _.12.已知直线20axy与圆心为 C 的圆2214xya相交于 A，B 两点，且ABC为等边三角形，则实数 _.13.已知
3、平面向量,a b c满足3a，2b，,a b的夹角等于6，且0acbc，则c的取值范围是_.14.关于 x 的方程1ln2xax有 3 个不同的实数解，则实数a 的取值范围为 _.二、解答题15.在三角形ABC中,角,A B C的对边分别为,a b c若31sin,tan53AAB,角C为钝角,5b.（1）求sinB的值（2）求边c的长16.如图所示，在三棱柱111ABCA BC 中，11AAB B 为正方形，11BB C C 是菱形，平面11AA B B平面11BBC C（1）求证：/BC平面11AB C；（2）求证：11B CAC；17.已知椭圆E：2222:+10 xyEabab的离心率
4、为22，且过点23,22P右焦点为F（1）求椭圆E 的方程；（2）设过右焦点为F 的直线与椭圆交于 AB 两点，且3AFFBuuu ruu u r，求直线AB 的方程18.如图，两座建筑物,AB CD的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是10m和 20m，从建筑物AB的顶部 A看建筑物CD 的视角60CADoCBC1B1A1A（1）求 BC 的长度；（2）在线段BC 上取一点 P(点 P 与点 B,C不重合），从点P 看这两座建筑物的视角分别为,APBDPC问点 P在何处时，最小？19.已知数列,nnab满足：1121141nnnnnbaabba，.（1）证明：11nb是
5、等差数列，并求数列nb的通项公式；（2）设1223341.nnnSa aa aa aa a，求实数a 为何值时4nnaSb恒成立20.已知函数()lnxf xx（1）若曲线()yf x在点00(,()xf x处的切线方程为2xya，求0 x的值；（2）当1x时，求证：()lnf xx；（3）设函数()()lnF xf xbx，其中 b 为实常数，试讨论函数()F x的零点个数，并证明你的结论21.已知矩阵,1,4a bA，若矩阵A 属于特征值1 的一个特征向量为131a,属于特征值5 的一个特征向量为211a求矩阵A，并写出A 的逆矩阵.22.在极坐标系,02 中，求曲线2sin与cos1的交
6、点 Q 的极坐标23.在三棱锥 SABC 中,底面是边长为2 3的正三角形，点S在底面 ABC 上的射影O 恰是 BC的中点,侧棱 SA和底面成 45 角(1)若 D 为侧棱 SA上一点，当SDDA为何值时，BDAC；(2)求二面角 SACB的余弦值大小24.已知230123(1)(1)(1)(1).(1),nnnxaa xaxaxax（其中*nN）（1）当6n时，计算0a及135aaa；（2）记12nnSaaaL，试比较nS与2(2)22nnn的大小，并说明理由参考答案1.答案：解析：2.答案：15解析：3.答案：40 解析：4.答案：|2xx解析：依题意，得20 x，解得2x故答案为：2x
7、5.答案：12 解析：6.答案：35解析：7.答案：52解析：直线20 xy为双曲线222210,0 xyabab的一条渐近线，可得2ba,即2224caa，可得5ca.8.答案：210解析：9.答案：54解析：10.答案：-4 解析：11.答案：144 6解析：12.答案：415解析：13.答案：131131,22解析：14.答案：11ln 22a解析：15.答案：（1）因为角C 为钝角,3sin5A,所以24cos1sin5AA，又1tan()3AB，所以02AB，且13sin(),cos()1010ABAB，所以33411sinsin()sincos()cossin()55101010B
8、AABAABAAB（2）因为sin3 10sin5aBbA且5b,所以3 10a,又9coscos()coscossinsin5 10CABABAB，则22292cos902523 105()1695 10cababC，所以13c解析：16.答案：（1）在菱形11BB C C 中，11/BCBC.因为 BC?平面11AB C，11BC平面11ABC，所以/BC平面11AB C（2）连接1BC如图：在正方形11ABB A中，1ABBBCBC1B1A1A因为 平面11AAB B平面11BB C C，平面11AA B BI平面111BB C CBB，AB平面11ABB A，所以AB平面11BB C
9、C因为1B C平面11BB C C，所以1ABBC在菱形11BB C C中，11BCBC因为1BC平面1ABC，AB平面1ABC，1BCABBI，所以1B C平面1ABC因为1AC平面1ABC，所以11BCAC解析：17.答案：（1）解：因为22e，所以2ac，bc，设椭圆 E 的方程为222212xybb将点 P的坐标代入得：213144b，所以，椭圆E 的方程为2212xy（2）因为右焦点为1,0F（），设直线AB 的方程为：1xmy，代入椭圆中并化简得：22(2)210mymy，设1122(,),(,)A xyB xy，因为3AFFBuuu ruuu r，所以1122(1,)3(1,)x
10、yxy，即123yy，所以1222222myyym，21222132yyym，即22213()22mmm，解得21m，所以1m，所以直线 AB 的方程为：10 xy或10 xy解析：18.答案：（1）作AECD，垂足为E，则10CE，10DE，设BCx，则22202tantantan(2)31001tan1CAExCADCAECAEx，化简得2320100 30 xx，解之得，10 3x或103x（舍）答：BC的长度为10 3m（2）设BPt，则10 3(010 3)CPtt，221020100 31010(10 3)10 3tan()102010 320010 3200110 3tttttt
11、tttt+设210 3()10 3200tf ttt+，22220 3500()(10 3200)ttfttt+，令()0ft，因为010 3t，得20 210 3t，当(0,20210 3)t时，()0ft，()f t是减函数；当(20210 3,10 3)t时，()0ft，()f t是增函数，所以，当20 210 3t时，()f t取得最小值，即tan()+取得最小值，因为210 32000tt+恒成立，所以()0f t，所以tan()0+，(,)2+，因为tanyx在(,)2上是增函数，所以当20 210 3t时，+取得最小值答：当 BP 为202103tcm 时，+取得最小值解析：19
12、.答案：（1）11(1)(1)(2)2nnnnnnnnbbbaabbb，11112nnbb12111111nnnnbbbb数列11nb是以4-为首项，1-为公差的等差数列14(1)31nnnb，12133nnbnn（2）113nnabn12231111114556(3)(4)444(4)nnnnSa aa aa annnn22(1)(36)8443(3)(4)nnannananaSbnnnn由条件可知2(1)(36)80anan恒成立即可满足条件，设2()(1)3(2)8f nanan，当1a时，()380f nn恒成立,当1a时，由二次函数的性质知不可能成立当1a时，对称轴3231(1)02
13、121aaa，f n在1,)为单调递减函数(1)(1)(36)84150faaa，154a，时4naSb恒成立综上知：1a时，4naSb恒成立解析：20.答案：（1）解：2ln1()lnxfxx所以过点00(,()xf x的切线方程为2xya，所以020ln12lnxx，解得0 xe或01xe（2）证明：即证2lnxx，因为1x，所以即证lnxx，设()ln(1)g xxx x，则112()22xgxxxx令()0g x，解得4xx(1,4)4(4,)()gx-0+()g x减极小2ln4增所以 当4x时，()g x取得最小值2ln40所以当1x时，()lnf xx（3）解：()0F x等价于
14、()ln0f xbx，等价于21ln xbx，0 x且1x令2ln()xH xx，则222lnln()xxHxx令222lnln()0 xxHxx，得1x或2xe，x(0,1)1 2(1,)e2e2(,)e()Hx-0+0-()H x减极小 0 增极大24e减（I）当0b时，()0H x，所以()H x无零点，即Fx定义域内无零点（II）当214be即204eb时，若(0,1)x，因为1(1)0Hb，11121ln11()bbbbeH eebbe，所以在1(0,1)a v只有一个零点，而当1x时，241()H xeb，所以F x只有一个零点；（）当214be即24eb时，由（II）知在(0,1
15、)只有一个零点，且当2xe时，2241()H eeb，所以F x恰好有两个零点；（）当2140be即24eb时，由（II）、（）知在(0,1)只有一个零点，在2(1,)e只有一个零点，在2(,)e时，因为223222ln1 4()bbbbebH eebe，只要比较2be与34b的大小，即只要比较2b与ln 43ln b的大小，令()2ln 43lnT bbb，因为3()2T bb，因为2140be，所以223212()20eTbbe，所以2222()()ln 43ln62ln 404242eeeeT bT，即234beb，所以3221 41()bbbH ebeb，即在2(,)e也只有一解，所以
16、 F x 有三个零点；综上所述：当0b时，函数 F x 的零点个数为0；当2e04b时，函数 F x 的零点个数为1；当2e4b时，函数F x 的零点个数为2；当2e4b时，函数 F x 的零点个数为3解析：21.答案：由矩阵A 属于特征值1 的一个特征向量为131a可得,331,411a b，即33ab；由矩阵 A 属于特征值5 的一个特征向量为211a，可得,1151,411a b，即5ab，解得23ab即2,31,4A，A 的逆矩阵是43,551 2,5 5.解析：22.答案：将直线cos1与圆2sin分别化为普通方程得，直线1x与圆22(1)1xy，易得直线1x与圆22(1)1xy切于
17、点1 1Q，所以交点 Q 的极坐标是24，解析：23.答案：以O 点为原点,OC 为 x 轴,OA 为 y 轴,OS为 z轴建立空间直角坐标系因为ABC 是边长为 2 3 的正三角形，又SO 与底面所成角为45，所以45SAO，所以3SOAO所以0,0,03,0,00,3,00,0,3(),0,(03)OCASB，（1）设 ADa，则220,3,2(2)Daa，所以223,3,22BDaauuu r，3,3,0ACuuu r若BDAC，则233 302BDACau uu ruuu r，解得2 2a，而3 2AS，所以2SD，所以2122 2SDDA(2)因为0,3,3,3,3,0ASACuuu
18、 ruuu r设平面 ACS的法向量为1,nx y z,则21,3,3,0330,0,3,3330ACx y zxyASx y zynnzu uu ruuu r令1z，则3x，1y，所以13,1,1m而平面 ABC 的法向量为20,0,1n,所以1222230101 11cos,51131n n，又显然所求二面角的平面角为锐角，故所求二面角的余弦值的大小为55.解析：24.答案：（1）当6n时，取1x，得60264a，取2x时，得601263aaaaL，取0 x时，得012561aaaaaL，将-得：61352()31aaa，所以6135313642aaa（2）由（1）可知1232nnnnSa
19、aaL L，要比较nS与2(2)22nnn的大小，只要比较32nn与2(2)22nnn，只要比较32nn与222nnn，当1n时，左边=5，右边=4，所以左边右边；当2n时，左边=13，右边=16，所以左边右边；当3n时，左边=35，右边=42，所以左边右边；当4n时，左边=97，右边=96，所以左边右边；猜想当4n时，左边 右边，即23222nnnnn下面用数学归纳法证明：1 当4n时已证；假设当(4)nk k时23222kkkkk成立，则当1nk时，左边111323(32)3 22kkkkkk23(22)2kkkk，因为21223(22)2(1)22(1)23 2442kkkkkkkkkkkk224420kkk，所以11232(1)22(1)kkkkk，即当1nk时不等式也成立所以23222nnnnn对4n的一切正整数都成立综上所述：当2n或3n时，2(2)22nnSnn，当1n或4n时2(2)22nnSnn解析：