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1、数学试卷一、填空题1.已知集合2|10Ax x，0,B，则 ABI_ 2.已知角的始边为x 轴的正半轴，点1,22P是其终边上一点，则cos的值为 _ 3.“1m”是“2m”的 _条件.（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）4.若向量1,amr，3,2br，/abrr，则实数m 的值为 _ 5.函数21logyx 的定义域为 _6.若函数 yfx 为奇函数，当0 x时，2log1fxx，则7f的值为 _ 7.设nS 为等差数列na的前 n 项和，若35SS 且公差0d，则1ad的值为 _ 8.若4sin 5，则 cos2的值为 _ 9.若函数sin3cosf
2、xxx 的图象关于直线xa对称，则a 的最小值是 _ 10.若函数221,0,0 xaxxa xfxex在1,上是增函数，则实数a 的取值范围是_ 11.若数列na满足121aa，32a，且数列1nnaa是等比数列，则数列na的前 19 项和的值为 _ 12.如图，在ABC中，3AB，2AC，23ADABuuu ruu u r，13AEACuu u ruuu r，DEMEuuu ruuu r，BNNCuuu ruuu r，若 MNBC，则 cos A的值为 _ 13.在ABC中，1,2ACAB，D 为 BC 的中点，2CADBAD，则 BC 边的长为_ 14.设函数3223fxxxa，若对任意
3、的实数a，总存在00,2x，使得0fxm，则实数m 的取值范围是_ 二、解答题15.若函数2sin0,02fxx的图象经过点0,3，且相邻的两个零点差的绝对值为 6.（1）求函数fx 的解析式；（2）若将函数fx 的图象向右平移3 个单位后得到函数g x 的图象，当1,5x时，求 g x 的值域.16.设:p“R,sin2xxa”；:q“2fxxxa在区间1,1 上有零点”（1）若 p为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若pq为真命题，且pq为假命题，求实数a 的取值范围17.如图所示是某社区公园的平面图，ABCD 为矩形，AB=200 米，BC=100 米，为了便于居民观赏花草，现欲在矩形
4、ABCD 内修建 5 条道路 AE,DE,EF,BF,CF，道路的宽度忽略不计.考虑对称美，要求直线EF垂直平分边AD，且线段EF的中点是矩形的中心，求这5 条路总长度的最小值.18.如图，在ABC中，5AB，4AC，点 D 为ABC内一点，满足2BDCD，且50AB ACDB DCuu u ruuu ruuu ruuu r.（1）求sinsinABCBCD的值；（2）求边 BC 的长.19.在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成一个新数列，这样的操作叫做该数列的一次拓展.如数列 1，2，经过第1 次拓展得到数列1，3，2；经过第2 次拓展得到数列1，4，3，5，2.设数列 a，b，c 经
5、过第n次拓展后所得数列的项数记为nP，所有项的和记为nS.（1）求1P，2P，3P；（2）若2019nP，求 n 的最小值；（3）是否存在实数a，b，c，使得数列nS为等比数列？若存在，求a，b，c，满足的条件；若不存在，请说明理由.20.设函数1xf xe xx a,a 为常数.（1）当0a时，求函数fx的图象在点0,0Pf处的切线方程；（2）若函数fx有两个不同的零点12,x x.当Za时，求 a 的最小值；当1a时，求12xx的值.参考答案1.答案：1解析：2.答案：13解析：3.答案：必要不充分解析：4.答案：23解析：5.答案：2,)解析：6.答案：-3 解析：7.答案：72解析：8
6、.答案：725解析：9.答案：6解析：10.答案：0,1解析：11.答案：1534 解析：12.答案：66解析：13.答案：5解析：14.答案：5,2解析：15.答案：(1)()f xQ相邻的两个零点差的绝对值为6，记()2sin()(0,0)2f xx的周期为T，则62T,又2T，6.()2sin()(0)62f xx;()f xQ的图象经过点(0,3)，(0)2sin3(0)2f，3，函数()f x 的解析式为()2sin()63fxx(2)Q 将函数()f x 的图象向右平移3 个单位后得到函数g()x 的图象,由(1)得，()2sin()63f xx，函数 g()x 的解析式为g()2
7、sin(3)2sin()6366xxx；当 1,5x时，2,6633x，则 2sin()3,266x.综上，当 1,5x时，g()x 的值域为 3,2.解析：16.答案：(1)Q p 为真命题，则max2(sin)ax,1a；(2)Q pq 为真命题，na为假命题,则,p q一真一假.若q为真命题，则2axx 在 1,1x在有解，又2,1,1yxx x的值域为1,24，124ap真q假,1,124aaa或则121.4aa或p假q真,1,124aa则a无解综上，实数a 的取值范围是1 1,)(2,)4U.解析：17.答案：（法一）设(0,)2ADE，过E作EHAD于H，EFQ垂直平分AD，150
8、2DHBC(米)，50cosDE(米)，50tanEH(米)，又EFQ的中点是矩形ABCD 的中心，2002200100tanEFEH(米)，记这 5 条路总长度为()f(米)，则50()4200100tan(0,)cos2f，即2sin()200100(0,)cos2f，2(2sin)cos(2sin)(cos)()100cosf，化简得22sin1()100cosf，由()0f，可得6，列表如下：(0,)66()62，()f0()f200100 3由上表可知，当6时，()f取最小值122()200100200100 3632f(米)答：5条道路的总长度的最小值为200100 3(米).（法
9、二）过E作EHAD于H，设 EHx(米)(0100 x)因EF垂直平分AD，故1502AHBC(米)，又EFQ的中点是矩形ABCD 的中心，2002EFx(米)；在 Rt AEH 中，22500AEx(米)，由对称性可得，22500AEDECFBFx(米)；记这 5 条路总长度为()f x(米)，2()4 25002002,(0100)f xxxx.22224225002(22500)()25002500 xxxxfxxx.令()0,fx解得5033x(负值舍).列表如下：x50(0,3)350 3350 3(100)3，()fx0()f x200100 3由上表可知，当50 33x时，()f
10、 x取最小值 200100 3.答：5条道路的总长度的最小值为200100 3 米.（法三）同方法二得到2()425002002,(0100)f xxxx，以下可用判别式法.18.解：（1）设 BCa，ACb，ABc，由50AB ACDB DCuuu r uuu ruuu ruu u r，所以 5 4cos5 2 2cos0AD，即 coscosAD，又,A D为三角形的内角，所以sinsinAD，在ABC 中，sinsinabAABC，所以4sinsinaAABC，同理2sinsinaDBCD，所以42sinsinABCBCD，sin2sinABCBCD（2）在ABC 中，222222254
11、41cos22 5 440bcaaaAbc，同理28cos8aD，由（1）可得22418408aa，解得3 62BCa.解析：18.答案：（1）设 BCa，ACb，ABc，由50AB ACDB DCuuu r uuu ruuu ruu u r，所以 5 4cos5 2 2cos0AD，即 coscosAD，又,A D为三角形的内角，所以sinsinAD，在ABC 中，sinsinabAABC，所以4sinsinaAABC，同理2sinsinaDBCD，所以42sinsinABCBCD，sin2sinABCBCD（2）在ABC 中，22222225441cos22 5 440bcaaaAbc，同
12、理28cos8aD，由（1）可得22418408aa，解得3 62BCa.解析：19.答案：（1）因原数列有3 项，经第1 次拓展后的项数1325P；经第 2 次拓展后的项数2549P；经第 3 次拓展后的项数39817P.（2）因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，由数列经第n次拓展后的项数为nP，则经第1n次拓展后增加的项数为1nP，所以1(1)21nnnnPPPP，所以11222(1)nnnPPP，由（1）知114P，所以1114 22nnnP，121nnP，由1212019nnP，即122018n，解得10n，所以n的最小值为10.（3）设第n次拓展后数列的各项为123,ma
13、 a aaacL，所以123nmSaaaaacL，因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加这两项的和，所以11112223()()()()nmmSaaaaaaaaaaaccL，即11223332nmSaaaacL，所以13()nnSSac，所以13()22nnacacSS，11()322nnacacSS，又1()()232Saabbbccabc，所以()322nnacacSb，为使数列nS为等比数列，则0202acacb或0202acbac，所以，,a b c满足的条件为00acb或200bacb解析：20.答案：（1）当0a时，()(1)xf xexx，(0)1f，()1xfxxe，(0)
14、1f，故所求切线的方程为1(0)yx，即10 xy.（2）()1xfxxe，令()()1xg xfxxe，则()(1)xgxxe，当1x时()10 xg xxe恒成立，故()g x 在(,1)上递减，令()0g x得1x，故()g x 在(1,)上递增，又11()1022ge，(1)10ge，()g x 的图象在 1,)上连续不间断，所以存在唯一实数01(,1)2x使得0()0g x，故0 xx 时()0fx，0 xx 时()0fx，所以()f x 在0(,)x上递减，在0(,)x上递增，min0()()fxf x000(1)xexxa，由0()0g x得001xex，min001()1()f
15、xaxx，因为函数()f x 有两个不同的零点1x,2x，所以min()0fx，得0011()axx，由01(,1)2x易得00131()(,1)2xx，故整数1a,当1a时，(0)(1)0ff，满足题意，故整数a的最小值为1.（也可以用零点存在性定理给出证明）注：由0(0,1)x得0011()(,1)xx，不能得到1a.法一：当1a时，()(1)1xf xexx，由12()()f xf x得11111xxex，22211xxex，两式相乘得121212121212(1)(1)(1)(1)2()(1)(1)(1)(1)xxxxxxxxexxxx，得1212122()1(1)(1)xxxxexx
16、（）不妨设12xx，由(1)20f及()f x 的单调性可知121xx，故12(1)(1)0 xx，当120 xx时（）式成立；当120 xx时（）式左边大于1，右边小于1，（）式不成立；当120 xx时（）式左边小于1，右边大于1，（）式不成立；综上，120 xx.法二：当1a时，()(1)1xf xexx，不妨设12xx，由(1)20f及()f x 的单调性可知121xx，由1()0f x得111(1)10 xexx，111111111111(1)1()(1)110 xxxxxexxfxexxxee，故函数()f x 有两个不同的零点1x,1x，又由()f x 的单调性可知()f x 有且仅有两个不同的零点1x,2x，21xx，120 xx.解析：