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1、数学试卷一、填空题1.已知集合1,0,1A,集合0Bx x,则AB_ 2.若复数12zi,22iza(i为虚数单位),且12z z为实数,则实数a_ 3.一组数据1,2,3,4,a的平均数为2,则该组数据的方差等于_ 4.如图是某一算法的伪代码,则输出值n等于 _ 5.一只口袋中装有5 个大小相同的球,其中 3 个黑球,2 个白球,从中一次摸出2 只球,则摸出 1 个黑球和 1 个白球的概率等于_ 6.已知函数222,(0)(),(0)xxxfxxaxx为奇函数,则实数a的值等于 _ 7.已知函数()sin(2)0f xx的一条对称轴是512x,则_ 8.已知等比数列na的前n项和为nS,若2
2、64,SS S 成等差数列,则246aaa的值为 _ 9.已知ABC的三边上高的长度分别为2,3,4,则ABC最大内角的余弦值等于_ 10.将一张半径为31 cm (的圆形纸片按如图所示的实线裁剪,并按虚线折叠为各棱长均相等的四棱锥,则折叠所成的四棱锥的体积为_3cm11.如图,已知AC与BD交于点E,/ABCD,3 10AC,26ABCD,则当tan3A时,BE CDu uu ru uu r_ 12.已知函数26f xx,若0ab,且f af b,则2a b的最大值是 _ 13.在斜三角形ABC中,已知11tan0tantanCAB,则tanC的最大值等于 _ 14.已知Ce的方程为:222
3、(3)(2)(0)xyrr,若直线 33xy上存在一点P,在Ce总存在不同的两点,MN使得点M是线段PN的中点,则Ce的半径r的取值范围是 _ 二、解答题15.已知4 3cos,0,721.求 sin4的值2.若11cos,0,142,求的值16.如图,已知矩形CDEF和直角梯形ABCD,/ABCD,90ADC,DEDA,M为AE的中点.1.求证:/AC平面DMF2.求证:BEDM17.如图,有一块半圆形的空地,政府计划在空地上建一个矩形的市民活动广场ABCD 及矩形的停车场 EFGH,剩余的地方进行绿化.其中半圆的圆心为O,半径为 r,矩形的一边在直径上,点,C D G H在圆周上,E F在
4、边 CD 上,且60BOG设BOC.1.记市民活动广场及停车场的占地总面积为f,求 f的表达式;2.当 cos为何值时,可使市民活动广场及停车场的占地总面积最大18.已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右顶点分别为,A B,离心率为12,点31,2P为椭圆上一点.1.求椭圆 C 的标准方程2.如上图,过点0,1C且斜率大于1的直线 l 与椭圆交于,M N两点,记直线AM的斜率为1k,直线BN 的斜率为2k,若122kk,求直线 l 斜率的值19.若对任意的实数,k b,函数()yf xkxb与直线 ykxb总相切,则称函数()f x 为“恒切函数”.1.判断函数2()fxx是否为“恒
5、切函数”2.若函数()ln0fxmxnx m是“恒切函数”,求实数,mn满足的关系式3.若函数()(e1)exxfxxm是“恒切函数”,求证:104m20.已知数列na的奇数项是首项为1的等差数列,偶数项是首项为2的等比数列,数列na前n项和为nS,且满足34523,Saaaa.1.求数列na的通项公式2.若12mmma aa,求正整数m的值3.是否存在正整数m,使得221mmSS恰好为数列na中的一项?若存在,求出所有满足条件的m值,若不存在,说明理由.21.已知直三棱柱111ABCABC,ABAC,3AB,4AC,11BCAC.现以A为原点,分别以1,AB AC AA 所在直线为,x y
6、z轴建立空间直角坐标系如图所示1.求1AA 的长度2.若1BP,求二面角1PACA的正弦值22.设*,2nfnabnNn,若 fn 的展开式中,存在某连续3项,其二项式系数依次成等差数列,则称fn具有性质P.（1）求证:7f具有性质P;（2）若存在2018n,使 fn 具有性质P,求 n 的最大值.23.选修 4-1:几何证明选讲 如图,Oe为ABC 的外接圆,BAC 的平分线交Oe于点D,过点D作Oe的切线分别与,AB AC交于点,E F.求证:/.BCEF24.选修 4-2:矩阵与变换 已知矩阵21mMn的两个特征向量为1210,01uu ruu r,若21,求5M.25.选修 4-4:坐
7、标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程为4cos.以极点为平面直角坐标系的的原点,极轴为x轴的非负半轴,建立平面直角坐标系.直线 l 的参数方程是1cossinxtyt(t 为参数)1.将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程;2.若直线 l 与曲线 C 相交于,A B两点,且|13AB,求直线 l 的倾斜角的值26.选修 4-5:不等式选讲 已知正实数,x y z满足 xyzxyz,求证:11132xyyzxz.参考答案1.答案：1解析：2.答案：4 解析：3.答案：2 解析：4.答案：4 解析：5.答案：35解析：6.答案：-2 解析：7.答案：3解析：8.答案：2 解析：9.答案：1
8、124解析：10.答案：4 23解析：11.答案：12 解析：12.答案：16 解析：13.答案：2 2解析：14.答案：4 10,15解析：15.答案:1.由4 3cos,0,72,得224 31sin1cos177,所以 sinsincoscossin44424 3214 622727142.因为,0,2,所以0,.又11cos14,则22115 3sin1cos11414,所以 sinsinsincoscossin5 34 311111471472,因为0,2,所以6解析:16.答案：1.证明:连接EC交DE于N,连接MN.矩形CDEF,EC DF相互平分,N为EC中点又M为EA中点,/
9、MNAC又AC平面DMF,且MN平面DMF./AC平面DMF2.证明:矩形CDEFCDDE.又/ABCD,ABDE.又直角梯形ABCD,/ABCD且90ADC,ABAD.DEADD,AB平面ADE又DM平面ADE,.ABDMADDE,M为AE的中点,AEDM又ABAEA,MD平面ABEBE平面ABE,BEMD解析：17.答案:1.半圆的半径为,.在直角三角形中,.又,由半圆的对称性可知,.为等边三角形,其中.2.令,即,解得:或(舍去).令,.当时,单调递增;当时,单调递减.当时,取得最大值答:当时,可使市民活动广场和停车场的面积总和最大解析:18.答案：1.椭圆的离心率为12,2ac.又22
10、2abc,3bc.椭圆的标准方程为:2222143xycc又点31,2P为椭圆上一点,22914143cc,解得:1c椭圆的标准方程为:22143xy2.由椭圆的对称性可知直线l的斜率一定存在,设其方程为1ykx.设1122(,),(,)M xyN xy.联列方程组:221431xyykx,消去y可得:22(34)880kxkx.由韦达定理可知:122834kxxk,1 22834x xk1112ykx,2212ykx,且122kk,1212222yyxx即221222124(2)(2)yyxx.又1122(,),(,)M xyN xy在椭圆上,2222112233(4),(4)44yxyx.
11、将代入可得:121224(2)22xxxx,即1212310()120 x xxx22883101203434kkk,即2122030kk解得:16k或32k.又1k,32k解析：19.答案：1.函数()f x 为“恒切函数”,设切点为00(,)xy.则0000()()f xkxbkxbfxkk,00()0()0fxfx对于函数2()f xx,()2fxx.设切点为00(,)xy,200020 xx,解得:00 x.2()f xx 是“恒切函数”2.若函数()ln0f xmxnx m是“恒切函数”,设切点为00(,)xy.()mfxnx,000ln00mxnxmnx,解得:0ln1x,即0 x
12、e实数,m n 满足的关系式为:0mne3.函数()(e1)exxf xxm是“恒切函数”,设切点为00(,)xy.()(22)xxfxexe,000000(1)0(22)0 xxxxexemexe,00000(1)22xxxmexeex考查方程 22xex的解,设()22xg xex.()21xg xe,令()0gx,解得:ln2x.当(,ln 2)x时,()0gx,()g x 单调递减;当(ln 2,)x时,()0g x,()g x 单调递增.min()(ln 2)ln 210g xg当(,ln 2)x时24(2)0ge,2(1)10ge.()22xg xex在(,ln 2)上有唯一零点0
13、(2,1)x.又00001(1)(2)4xxmexexx,1,04m当(ln 2,)x时(0)0g,()22xg xex在(ln 2,)上有唯一零点0,0m综上可知:104m.解析：20.答案：1.设奇数项的等差数列公差为d,偶数项的等比数列公比为q.数列na的前 5项依次为:1,2,1,2,12dqd.34523Saaaa,42123dqdd,解得:23dq2.12mmma aa.若2N*mk k,则22122kkkaaa,12 3(21)2 3kkk,即 213k,1k,即2m若21N*mkk,则21221kkkaaa,1(21)2 321kkk,12122 312121kkkk.12 3
14、k为整数,221k必为整数,211k,1k,此时02 33.不合题意综上可知:2m3.21321242()()mmmSaaaaaa2(121)2(1 3)31213mmmmm21122122312 331mmmmmmSSamm222121221312(1)333131mmmmmSmmSmm若221mmSS为数列na中的项,则只能为123,a aa.2211mmSS,则2122(1)3131mmm,130m,m无解.2212mmSS,则2122(1)3231mmm,12310mm.当1m时,等式不成立;当2m时,等式成立;当3m时,令1221()31313xxf xxx.2ln3ln 3()32
15、,()3233xxfxx fx.当3x时,()0fx,()fx 在 3,)上单调递增.又(3)9ln360f,()0fx在 3,)上恒成立,()f x 在 3,)上单调递增.(3)10f,当3m时,方程12310mm无解.2213mmSS,则2122(1)3331mmm,210m,即1m综上可知:1m或2m解析：21.答案：1.设1AAt,则(0,0,0)A,1(0,4,)Ct,1(3,0,)Bt,(0,4,0)C.11(0,4,),(3,4,)ACtB Ctuu uu ruuu u r.11BCAC,110BCACuuu u ruu uu r,即2160t,解得:4t.14AA2.1BP,(
16、3,0,1)P,又1(3,0,)Bt,(0,4,0)C.11(0,4,4),(3,0,3)ACA Puuu u ruuur设(,)nx y zr是平面1PAC 的法向量.则1100n ACn A Pruu uu rruu ur,440330yzxz.令1z,则1x,1y,(1,1,1)nr是平面1PAC 的一个法向量直三棱柱111ABCA B C,1AA平面 ABC,AB平面 ABC1ABAA,又 ABAC,且1AAACAI.AB平面1AAC,(3,0,0)ABuuu r是平面 AA1C1AAC 的一个法向量3cos,3|AB nAB nABnuu u rruu u r ruu uu ruu
17、r26sin,1cos,3AB nAB nuuu r ruuu r r二面角1PACA 的正弦值为63.解析：22.答案：（1）7f的展开式中第二、三、四项的二项式系数分别为1237777,21,35CCC,1327772CCC,即123777,CCC 成等差数列,7f具有性质P.（2）设 fn 具有性质P,则存在*,11kNkn,使11,kkknnnCCC成等差数列,所以112kkknnnCCC,整理得224420knknn,即222knn,又2016n,所以22018n且为完全平方数,因为2244201845,所以n的最大值为24421934,此时989k或 945.解析：23.答案：证明
18、:连接BD.EF为Oe的切线,BDEBADAD为BAC 的平分线,BADDAF,则BDEDAF又CBDDAF (同弧所对的圆周角相等)CBDBDE/BCEF解析：24.答案：设矩阵M的两个特征向量12,uu r uu r相对应的特征值分别为1,2.111222MMuu ruu ruu ru u r,解得:0mn,12,21又1221022101uu ruu r55551211221064MM(2)264011uu ruu ruu ruu r解析：25.答案：1.4cos,24cos.又222cosxyx,224xyx曲线C的直角坐标方程为:2240 xyx.2.设,A B两点对应的参数值为12,t t,将1cossinxtyt(t 为参数)代入方程2240 xyx整理可得:22 cos30tt.由韦达定理可知:121 22cos3ttt t.2212121 2|()42 cos313ABttttt t,解得:1cos2又0,),3或23解析：26.答案：证明:,x y z为正实数,由基本不等式可得:1111112222xyzxyyzxzxyyzxzxyz.(当且仅当xyz时,等号成立)由柯西不等式可得:111122xyzxyzxyzxyzxyzxyz22213(111)22xyzxyzxyzxyz.(当且仅当xyz时,等号成立)解析：