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1、经典易错题会诊与2012届高考试题预测(十四)考 点14极限数学归纳法数列的极限函数的极限函数的连续性数学归纳法在数列中的应用数列的极限函数的极限函数的连续性经典易错题会诊命题角度1数学归纳法1.(典型例 题)已 知a0,数列 a j满足ai=a,an+i=a+L,n=l,2,.(I)已知数列a极限存在且大于零，求A=lim%(将A用a表示);一 8(II)设bn二3 人 加 二1,2,证 明：bn+l=-%；4(%+A)(III)|b n|,对n=l,2都成立，求a的取值范围。2”考场错解(I)由lima”,存在，且A=lim a”(A 0),对aa+i=a+，两边取极限得，A=a+.”8
2、一 8 an A解得 A=。土正+4.又 A0,；.A=+2+42 2(II)由 an+bn+A,an+i=a+M bn+i+A=a+!.%+4_ _b+A A b+A 4(%+4)即5+产-%对n=l,2都成立。A(b“+A)(HI)，.,对 n=l,2,“|b n|w L,则取 n=l 时,U 区工，得J+4 区L2 2 2 2I-ycT+4-a)l./.+4-a o2 2 2 专家把脉第HI问中以特值代替一般，而且不知 bn数列的增减性，更不能以b l取代bn.对症下药(I)(n)同上。(U)令|b 1|W L 得la-g(a +/2 +4)K；.I/+4 -a 区.2 2+4-a V
3、1,解得a 2.2现证明当。2之时，1%区 对n=l,2,都成立。22 当n=l时结论成立(已验证)。(i i)假设当n=k(k 2 l)时结论成立，即 电 区 与，那么电+/=v!x 2k I A(%+A)I Abk+A 2k 5 1故只须证明A 0+A I 2,即证A|b k+A 2 2对a 2 3成立2由于+庐五22“2+4-4而当a 2 3时,而 当 时,yla2+4-a 2.2 2 I 以 +A IN A I,巨 2 N 1,即 A|bk+A|22.故当时也+Jx盘=六.即n=k+l时结论成立。根据(i)和(i i),可知结论对一切正整数都成立。故j bn W 对n=l,2,都成立的
4、a的取值范围为222.(典型例题)已知数列2 中,ai=3,前n项和S满足条件S=6-2a同.计算a2,须、然后猜想a”的表达式。并证明你的结论。考场错解当 n22 时，a,1=S-S-l=6-2a,n-(6-2a)=2a-2aH,即 a.“=巾因为 a1=3,所以232=-31=/33=a2=/a4=a3=由此猜想 3n=N)当n=l时，a i=4 y=3,结论成立；21-1 假设当n=k(k2l)时结论成立，即孤=-7成立，则当n二k+1时，因为合卜+广工己口所以皿=又a=3,所以 an是首项为3公比为4的等比数列。由此得ak+1=3 叫2川,其 中n为大于2的整数，1暇川表示不超2 3
5、n 2过log2 n的最大整数。设数列 an的各项为正，且满足ai=b(b 0),an W “/一，n=2,3,4,.n+an(I)证 明:an W2b2+Z?log2w，n=2,3,4,5,;(1 1)猜测数列8是否有极限？如果有，写出极限的值(不必证明)；(I I I)试确定一个正整数N,使得当n N时，对任意b 0,都有an l.考场错解(1)利用数学归纳法证明不等式：为 二h1+/()/?1)当 a=3 时，an-3-为-=-3-3+做 _ 2 _ +i。22+12al=知不等式成立。1 +/(3)22)假设 n=k(k W 3)时,ak W1 +/W 则 e高翟T产T 百丁.叩曲1时
6、,4b3不等式成立。(I I)有 极 限,且 linan an=0./TTT 2/?2 人 2 1(lll)v-，令-1 0=1 02 4.取 N=1 02 4,有 an log2w.an a 2 i/L 1 1 1 ri 2+/?log2/i a lb,+-log2 n=-=an b 2 2b.an7-2-b-.2+Z?log2 n证法2：设 f(n)=+：+L 首 先 利 用 数 学 归 纳 法 证 不 等 式 见 n=3,4,5,.2 3 1 +f(n)b 当 n=3时,-:-他+12a).知不等式成立。l+/(3)b由“急(i i)假设当n=k(k 2 3)时，不等式成立，即&W2,i
7、+f(k)b则 ak+iW(k+l)4 _ 攵 +1 女 +1 _(k+l)b _ b _ b(氏+1)+4 =2+i-依 +i).l+/.)=(k+l)+(k+l)f(k)b+b=l+f(k)+J _b=+f(k +)b依 b k+1即当n=k+l时,不等式也成立。由(i)、(i i)知，an W -n=3,4,5,.1 +f(n)h又由已知不等式得%8(Ill),/-，令一-一 10,=n2l0=1024,故取2+ftlog2n log2 n log2 M 5N=1024,可使当nN时，都有a0)与直线1:尸x 相交于A1,作交x 轴 于 瓦 作 BA1 交曲线C于A2依此类推。(1)求点
8、A、Az、A：.和口、B2、B：4的坐标;答案：Aid,1).A2(拒+i,7 2-1).A3(V3+V2,V3-V2)、B i(2,0)、B2(2V2,0)B3(273,0)(2)猜想A“的坐标，并加以证明；答案：A n(，证明略.(3)1 而 IB为+JT8 8 _ 伉】答案：设 A n(,%),%(%,0).%由题图:Al(1,1),B1(2,0).,a E,b 尸 2 且:1%=+。%=-加 _ 1(丁 A 在 直 线 y=x%.Hm I B“B+11=Rm 9=lim 5苕,分 子 分 母 乘 以(而 T+向(而+g)|Bn I -8 2an -8。1及li m“一 8y/n+n-l
9、y/n 4-1 +yn3设 数 列a】，a 2,，a n,的 前n项 的 和S n和an的 关 系 是Sn=ba n-言 而 其 中b是 与n无关的常数，且 b HT。(1)求a 0和ae的关系式：答 案：a=$Sn T=-b(aa n-i)!+-!-=-b(a-(n 2)(l+h)n(1+(1+力”解得 a n=-n-1+(N 2)+b(+b)n+(2)猜 想a“的 表 达 式(用n和b表示);答 案：V a=s1=l-ba -a,=1 +6(1+初2b r b h.b3n=-1 1 H-9+-1 -r+b+b(1+b)(l+b)+lb 2 b2+b宣)+不 赤7 T,b 2 tb h +房
10、(-)-an-3-T T1 +6 +b(l+b)T (l+/?y/+,/b、2 b+b2+b3(币)味3+诉k .“由此猜想 a n=(2)T q +2 +/，3 +-；+1+0(l+b),+l把代入上式得(1+炉b-bn+an：b+b2+b”(1+b严(l-bW+b)n品咤)(3)当0bl时，求 极 限li m S.答案:1 b _ y+1(3).S =I-ban-=1-/?-(1+b)(l-/?)(l+*)n+lJ i)_L M(l+b)-b 1+b1*/0 b 8()A.-B.3 C.4 D.52 考场错解C.,.,xl=4.xZ uZ,x3=;(xl+x2)=3,x4=；(2+3)=|
11、,x5=；(3+|)=?，.当 n 7 8,由趋势可知4T2,故选C 专家把脉通过有限项看趋势，并不能准确描述极限。对症下药B 由 Xn=1(X n.i+X n-2)可得 2乂3 0 2+乂1,2乂4林+乂2,2乂5 0 4+乂3,2Xn=X x+X n 2两边相加得：22 xn+xn-i=2 x2+xi,两边取极限,2 xi=4+2,.*.xi=3.2.(05,浙江高考卷)li m 1 +2+3；-+=()“T 8 /A.2 B.4 C.-D.02 考场错解 D li m 2 +3；_tZ L=加(+N +-+2)=li m+li m 马+li m =o.专家把脉无穷数列的和的极限不能求极限
12、的和。对症下药 li m 支 要=li m”L Ln o o 2/1 一 8 2 23.(典型例题)已知数列lo g 2(a n T)(n N*)为等差数列，且 a】=3,a 2=5,贝！li m (!+!+-!-)=()8 a2-a j a3-a2 afl+1-anA.2 B.-C.1 D.-2 2 考场错解 D Va i=3,a2=5./.lo g2(a l-l)=l.lo g2(a2-l)=2.a n-i=2n.an=2 an-i.，v1lim-g an +i-a 故 li m (5-1-5+H-!)=5=-a2-a ay-a2 2 a 2 专家把脉无限项数列和的极限应变成有限项数列的极
13、限，不能求极限的和。对症下药 C Va i=3,a2=5.A lo g2(a i-l)=l,lo g2(a2-l)=2.an-l=2 n,a n=2n+l.-1-+1 1 1=+-22-21 2 -22 2n+1-2n。2一1的 一。2 an+an2，li m (，+，+.+,T8 a2-a a3-a2 an+-an4 （典型例题）计算:li mi 3 +2 +1 考场错解li m 2；=li mT 8 3 +2”+T 8 专家把脉li m (-)M=0,而不是1。T 8 3 对症下药,1.3|1+|-2 _ .1-3li m -r-li m -3 +2向 T 8 1,r35 (典型例题)已知
14、 Un=a n T b+a 2 b2+a bn-i+bn(n N*,a 0,b 0).(I )当 a=b时，求数列 u“的前项n 项和So(n )求 li m 2。T 8 wn-l 考 场 错 解(I)当 a+b 时，rn=(n+l)an.Sn=2 a+3 a2+4 a3+a St l=2 a2+3 a3+4 a4+,+n an+(n+1)an”.两式相减：o _ (H+1)。？(+2)a +l c厂 +2 as=0k 117 h m h m -li m -a.8 wn_ j uan i T8 n 专家把脉(I)问运用错位相减时忽视a=l的情况。(I I )a=b是(I )的条件，当 a W
15、b 时，极限显然不一定是a.对症下药(I)当 a=b时，L=(n+l)a n.这时数列%的前n 项和Sn=2 a+3 a2+4 a3+,+n an-1+(n+1)an.式两边同乘以 a,得 a Sn=2 a2+3 a3+4 a4+n a +(n+1)an+,式 减 去 式,得(la)Sn=2 a+a2+a3+e*,+an-(n+1)an+IitrI+(n+l)an.则若 al,(l-a)Sn=a(ia，i)-(n+l)an+1+a-aS n=r+一百一5 +l)a +2 (+2严 -+2 ad-)2若 a=l,Sn=2+3+*+n+(n+l)=-(H)由(I),当 a=b 时,Un=(n+l)
16、a n,则 li m =li m 一 8 一1，I T 85 +1)。11TLia(n+1)h m -=a.n 8 n当 a W b 时，Un=an+an lb+,+a bn 1+bn=an 1+()2+()n l-(-)+1a-T T-a_ L _ g +l 一+1)此时,4-=_ 0一a-b un_x an-bn或 a b 0,c +l A”+lli m 二 li m -li m 8 un_ 8 an _ b 8a-h(-)na若 b a 0,li m -_=li m -=b.T8 u_!n-_ 专家会诊1.充分运用数列的极限的四则运算及几个重要极限l i m C=C.(C为常数).l i
17、 m 1=0.T 8 M-o o n l i m qn=0,|q|82.对于二型的数列极限，分子分母同除以最大数的最高次项，然后分别求极限。O O3 .运算法则中各个极限都应存在，都可推广到任意有限个极限的情况，不能推广到无限个。考场思维训练1若q为二项 式(-?尸)s的展开式的常数项，则l i m g=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.2 3&“T87+11答案：1/7解析：可求得q=7,l i m卫 二=L”7 8 7,+1-1 72已知点A (0,2)、B (0,-2)、C (4+2,0)其中n为正整数，设S”为三角形A B C外接n n n圆的面积，贝Ij lim Sn=T8
18、答 案：4 n 解 析；设 外 接 圆 的 半 径 为 降，则(-)2+(4+2-Rn)/：，n nR=+工 +2所以 lim/?=2,所以 lim S“=4万2n+n 一 8 一 83已知等比数列 x j的各项为不等于1的正数，数到%满足yn=210g凶(a O,a rl),设y=17,y7=l 1.(1)求数列 y“的前多少项最大，最大为多少？答案：由已知得,数列为关数列，兴=17,门=11,公差 d=-2.yn=4+(n-4)rf=25-2n,:.当1V”V 12时，加 0,当”13时,yn 8 I-q 3 34.S _ 1 lim8 -22r5r 3=.4 设 an=l+q+q2+q：
19、“(nN+,qW)，An=C;ai+C)a+Can(1)用q和n表示A；答案：qWl,/.a.,=-i-q-An+i-q i-q -q-【(C：+&：+.+C)-(qC：+C,；+/C)1-4=7-(C,+C,1,+-+C)-(C+qC+q2C +qC)i-q=4 2 -(1 +泌(#1)1-4当-3ql时，求lim%的值;2”答案：=11-(-)l,v-3 8 2“1 -q命题角度3函数的极限L（典型例题）若 变（七 一 占）=1 则常数&b 的值为()A.a=-2,b=4C.a=-l,b=-4B.a=2,b=-4D.a=2,b=4考场错解 A lim 6g女=lim 0=1.故能约去(1-
20、x),.a=-2,b=4.x-l 1 X2 XT1(1+X)(l X)专家把脉（ax+a-b）中有在式（l-x）的求解中，注意a、b 的符号。对症下药C V l i ma1+x)-b1-x2_ ax+a-h,=h m -=1.X T 1 (l +x)(l -X)故 ax+a-b中必有因式(1-x),且极限为1。故 a=-2,b=-4.2.(典型例题)若 lim上3=1,则 lim A1=()x 1 X -1 x 1 f (2.2 x)A.-1 B.1 考场错解l i m针NWA-1x-1h m -.1 f2(x-)D2 考场把脉错误理解极限存在的条件。函数f（x）中必有因式（X-1）,对症下药
21、 U.理止1 =1,故 f(xT)=x-l.x-1A f(x)=x.:.lim X T1 2 2x1 _23.(典型例题)】im(!-=-)=()Il-3 x+2 x 4 x+3A-4B.2c-4D.-61-x 考场错解 B 原式=吧(x-2)(x-3)2 专家把脉在运算中注意符号的变化。对症下药A吧言律言-lim1-x=lim,t 1 (x l)(x 2)(x 3)A 1 (x 2)(x 3)24.(典 型 例 题)痴 乎=()X+3 X2-9A.-B.0 C.16 6D-i 考场错解B当X-3,x+3=0,故l i m手 上=0。一“一9 专家把脉求函数极限时，分母为0的因式应约去才可代入
22、。对诊下药A l i mx 3 x 3 6专家会诊1 .求函数的极限时，如果X-X o即X。是连续的点。即使函数f(x)有意义的点，只需求f(X o)的值。就是函数的极限值。2 .当f(x)在X。处不连续时，即x=x 0代入后使式子f(x)无意义，应考虑约去此因式，使之有意义时再求f(X o)的值，即为极限值。3 .L1知函数的极限，求出函数中的系数时，应满足两个条件，即存在性与极限值同时考虑。考场思维训练1 设 f(x)在 X o 处可导，f(X o)=O 则 lim nf(XO-)=.“T+8 fl答案：-f案X o)解析：lim /(殉 )+n/U o -)-/U o)=-1而-=-/(
23、x0).X-+o o _n2 lim-=()-1 2 x-x-lA.-B.-C.0 D.22 3答案：B.解析：略3已知lim三 丝 必=a,且函数y=ah?x+2+c在 1,e 上存在反函数，则()X T2 x-2 xA.be(-o o,o)B.b0(2 e,+8)C.be(-o o,o)U(2 e,+8)D.be(O,2 e)答案：c.解析：略4设f(x)是x的三次多项式，已 知lim 3=痴3=1,试 求lim 3 的值。(a为非零2 x-2a x-4a x 4a x 3a常 数).答案：解：由 于lim上 立=1,可知f(2 a)=0 XT 2 a x-2a同理 f (4 a)=0可知
24、f(x)必 含 有(x-2 a)与(x-4 a)有因式,由于f(x)是 x的三次多项式，故可设f(x)=A(x-2 a)(x-4 a)(x-C),这里A、C均为选定的常数，由 lim -=1,即 lim 4(x 2 a)&4a)G C)=而 A(x-4 a)(x-C)=1,得(2 a-4 a)(2 a-C)=1,即x-2 a x-2a x-2 a x-2a x-2 a4 a2 A-2 aC A=-l 同理，由于 lim 必 立=1,得4(4 a-2 a)(4 a-C)=l,*4 x 4a即 8 a2 A-2 A c a=l 山得 C=3 a,A=y,因 而/)二 y C r-2)(x-4“)(
25、x-3 a),2 a2 2 a2lim/()一 二 lim-(x-2)(x-4。)=(一 )=-X T3 a X-3 X T3 a 2/2 a 2命题角度4函数的连续性L (典 型例题)极限lim f(x)存在是函数f(x)在点x=x。处连续的()XTX0A.充分而不必要的条件B.必要而不充分的条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件 考场错解c lim f (x)存在o f (x)在点x=X o 处连续。XTX0 专家把脉 lim f(x)w f(x o)时,则 f (x)在点x=X o 处不连续。XTX。对症下药B V lim仪外不一定等于函数值&。)，而 f(x)在点x=X o 处连续
26、。则有.2.5lim f (x)=f(X o).t-x02.(典型例题)已知函数f(x)=lim 工，试判别f(x)在定义域内是否连续，若不连续，“TO O 4 -xn求出其不连续点。考场错解：4-nx W0,.x nW4,x W-2.，f(x)的定义域为 3,-2)U (-2,+).当 x=0 时,f(x)=O,f(0)=0.故连续。故函数f(x)在定义域内连续。专家把脉错把函数f(x)=M上 二当作函数f(x)=J.“T8 4-xn 4-xn 对症下药(1)当|x|o o 4 X，1(3)当 X1 时，f(x)=lim一二一”-8 4-xn 3(4)当 x=l 时 f(x)=lim =-l
27、on t8 4 xn0*-fM =g-1-x X=1%1f(x)的定义域为(-8,-1)U(-1,+OO)0而在定域内，X=1时。lim f (x)=0.lim f (x)=-l.lim f(x)不存在。x-r x-l+X T1+故f(x)在x=l处不连续。f(x)在定义域内不连续。专家会诊1.在判断函数的连续性时，充分运用它的重要条件，即lim f(x)=f(x。).前提是f(x)在X。XT%。处的极限要存在。2.在求函数的不连续点时，或不连续区间。首先是定义之外的点或区域一定不连续。往往只须考虑定义域内的不连续部分。考场思维训练1 仪)在乂=1处连续，且 痴3=2,则f等于()XT1 X
28、1A.-1 B.0 C.1 D.2答案：B.解析：略9 r x2 ln(2 x)_2 hm-.X 1 4 arctan x答案：-解析：利用函数的连续性，即lim/(x)=/(x0),兀.x2-sin(2-x)I2-sin(2-l)1 lim-=-=X T.H 4 arctan/4 arctan 1 7tx3 设 f(x)=L210 x lx=l 则/Xx)的连续区间为()l x-lim/(x)=l#/(l)=iX T1 2即f(x)D x=l点不连续，显知f(x)在(0,1)和(1,2)连续。X(X 1)答案：解：不连续点是x=l,连续区间是(-8,1)U (1 +8).探究开放题预测预 测
29、 角 度1数学归纳法在数列中的应用1.已知数列 an满足条件(n-1)a“=(n+l)(a.T)且 a?=6,设 b“=a“+n(nGN*),(1)求 垢 的通项公式；(2)求 lim(-1-!-1-1-1-!)的值。“TOO b 2-2&-2 3-2 -2 解题思路(1)运用归纳一猜想一证明。(2)裂项法先求数列的和，再求和的极限。解答1.(1)当n=l时,代入已知式子中，得ai=l,当n=2时,得a=6,同理可得a&=2 8,再代入bn=an+n,得bi=2 b=8,b3=1 8,.猜想bn=2 r?,用数学归纳法证明：1。当n=l时，bi=a1+l=2.显然成立。n=2时,.结论成立。2
30、假设n=k(k 22)时命题成立,即bk=2k；即ak+k=2l 8 6 16 2n 2rlr 1 1 1 .1 r rlz l 1 1 1 1 1 1 1 1i 2 1x 3 2x 4(H-1)(/?+1)2 f o 2 3 2 4 3 5 -1 +1 4l i m 一 8(I d-)2 n n+82.设函数f(x)对所有的有理数m、n都有|f(m+n)-f(m)|证明：对所有正整数k有m力|f(2k)-f(2,)|W 若 解题思路运用数学归纳法证明。解答 1 0 当 k=l 时，左=0=右，命题成立。2。假设k=n 时，不等式成立，即|f(2，-f(2)|W如 心，则 k=n+l 时，|f
31、(2k，1)-f(2f)|=M2iiZ|f(2k+l)-f(2i)+f(2n)-f(2i)|f(2D-f(2i)|+如 1,=Z l f(2k+2n)-f(2i)|+i=l/=1 i=l-1)二 世 (T)二 +1)2 2 ,故当k=n+l 时，命题也成立。由 1。，2。可知原不等式成立。预测 角 度 2数列的极限1.已 知(X&-L)6的展开式的第五项等于竺，则 l i m(X-1+X-2+x-n)等于x 2 )8A.0 B.1 C.2 D.-1 解题思路利用二项式的通项公式求出x 的值，再求数列和的极限。3 解答 B T5=C46(X1)4()2=15x-l=y2.*.x 1=z/.l i
32、 m (x-1+x2+*,*+x-n)=l i m (+-+2=1.22 4 8 2n ii 12.选 B2.设 x n=4 4T i-向，求数列仅 户 的极限。解题思路 由于石，内）的极限都不存在，所以应先将x n 变形，使之变成极限可求的数列。因为 Xn=V n(7 +1 -V n)=V nT厂用G除分子和分母,Vn+l+V 解答由 1+L l 得知 1(T 8),n再应用除法运算,即求得l i m Xn-l i m 一 8 n o2j+l rZ+l*3.已知a、b 是不相等的正数，若 l i m 一 =2,则 b 的取值范围是（）an+bnA.0 bW 2 B.0 b2 D.b2 解题思
33、路B讨论a与b的大小后，分子、分母同除以 用或6用，后再求山极限值求范围。解答当ab时,aa+l-bn+llim-=limw 8l-(-)n+l-1=0=2.+-(-)a a c iA0b2.当a8=-b0不可能为2,故a22.求 lim G-2.”-4 x 4 解题思路将分子有理化，使分子分母极限存在。解答lim lim(4-2)(+2)=二X T4 X-4 .14(X-4)(Vx 4-2)X T4预测 角 度4函数的连续性x-41 1(x-4)(+2)Jx+2 4 1.函数f(x)在x()处有定义是lim(fx)存在的()XT&A.充分不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分
34、也不必要条件 解题思路利用极限在某点存在性判断 解答D .函数在X。处有定义，但在此点处极限不一定存在，反之也不一定，如 图(1)(2)。2.设 f(x)=a+bx(x 0)当a取何值时，函数f(x)是连续的？解题思路利用连续的存在性的充要条件，即lim(x)=f(x0),以及连续的定义。XTXo 解答x0连续,x0连续，只须判断，当x=0时;函数也连续时，从而求a的值。；f(x)在 x=0 处有定义,且 lim f(x)=l lim f(x)=a.x2 X T(F只有当a=(时。l i m f(x)才存在，且值为。2 x-x0 2又.f(O)=a；.当 =:时。f(x)是连续函数。专家会诊1
35、.深刻理解函数f(x)在 X。处连续的概念，即函数f(x)在 X。处有定义。耳 X)在 X。处有极限。l i m f(x)=W x o).函数f(x)在 X0处连续反映在图像上是f(x)在 Xo 处是不间断的。X-XQ2.由连续的定义，可以得到计算极限的一种方法：如果f(x)在定义区间内是连续的，则 l i mXT。f(x)=f(x0),只要求出函数值f(x O)即可。考点高分解题综合训练1 己知f(n)=(2n+7)-3n+9,存在自然数m,使得对任意n G N,都能使m整除f(n),则最大的m的值为()A.3 0 B.26 C.3 6 D.6答案：C.解析：V f (1)=3 6,f (2
36、)-1 0 8=3 x3 6,f (3)=3 6 0=1 0 x3 6 A f (1)f(2)、f(3)能被 3 6整除，猜 想 f(n)能被3 6 整流器除。证明：n=l、2 时,由 上 得 证,设 n=k(k l22)时,f (k)=(2k+7)3 4 9 能被3 6 整 除,则 n=k+l时，f(k+l)-f (k)=(2k+9)-3k+l-(2k+7)-3k=(6 k+27)-3-(2k+7)3=(4 k+2Q)-3k=3 6(k+5)a 1)能被 3 6 整除Yf 不能被大于3 6 的数整除，；.，所求最大的m的值等于3 6.2 记二项式(l+2x)”展开式的各系数和为a n,其二项
37、系数为b,贝 li m%二也等于()T8 b“+anA.1 B.-1 C.0 D.不存在答案：B 解 析:a=3,b=2,痴=隔二匕=妨初=7,所以选民T8 b+%2n+3 +|3 （xV7-L）6 的展开式中的第五项是,5“=尸+X-2+.+X-,则 li m S n 等于（）x2 一 8A.1 B.-C.-D.-2 4 6答案：A 解析：略H+1 ,UI M-1 ,in4 已知a、b R/a|b L 又 li m -li m -,则 a的取值范围是（）an“一8 anA.a l B.l-a l D.T a l答案：B 解析：略5若f(x)=在点x=0处连续,贝旺(0)等 于()3 J 1
38、+X-13 2A,-B.-C.1 D.02 3_(V i 7 7+)(V m-)2+.)2(J l+X+1)田(1 +x)2+y+X+1A/X+1 1 答案：A解析：略f(x)=包 耳 叁E Z 1:J l+x+16观察下列式子：1 +：3+5+!*1 +5+5+(则可归纳出.答案：i+-V -w i+-22 2(1 +1)22x1+11 +1 1 1 1 1 2x2+11 H z-+H-1-y 4-y 2答案：0解析：略8 a n是(3-4 )n的展开式中x项的系数(n=2,3,4,)贝ij lim(与+彳+)=_。“-8 j /a，1答案：1 8解析：略29 lim(?+1+an+b)=3
39、 贝Ia+b=_.“8 +1答案：3解析：略1 0已知数列 b是等差数列,bF l,b,+b2+-+b,o=145求数列 a。的通项公式bn;答案：解：设数列为 b“的公差为d由题意知瓦=】仅1 =110(10-1)=bn-in-210仇 +冈；3=145 d=3(2)设数列 a j的通项an=loga(l+J)(其中a0且a/l)记Sn是数列 a j的前n项和，试比较hnSn与pogabn+l的大小，并证明你的结论。答 案:证 明:由bn=3n-2知Sn=10gH(l+l)+10gH(l+-)+-+10ga(l+!)4 3 一2=log(1+1)(1+1)-(1+-1-)4 3/1-2而，l
40、og孤=逝 1 +1取 n=2,有(1+1)(1+1)8 7=3x2+14推测：(1+1)(1+)()1 +!丁3 +1(*)43 一2 当n=l时，已验证(*)式成立.假设 n二k(k N l 时(*)式成立，即(1+1)(1+)(1+!N3k+1 )4 3&-2则当 n二k+1 时，(1+1)(1+1)(1+!)(!+!)V3TH(1 +!)4 3k-2 3(攵 +1)-2 3&+1二”马3淡+13&+1-迎+1V-既&+4)3(31+2)3-(3%+4)(3&+1)2 _%+1 :0(3k+1)2(3k+1)2/.=个：(3k+2)N3k+4=3(k+l)+l从而(1+1)(1+：)(1
41、+-)(1 +)西 +1)+1,4 JrV 乙 3K 1即当联k+1时，(*)式成立由知，(*)式任意正整数n都成立.于是，当 al 时，Sn；logabn+1,当 0al 时，S n0 且 aW l),若数列：2,f(a1,f(2),f(aj,2n+4(ne N*)成等差数歹h(1)求数列 a j的通项a”；答案：2n+4=2+(n+2-l)d,Ad=2,Af(an)=2+(n+l-l)-2=2n+2/Aan=a2n+2(2)若0a8A 2 2 A答案：lim Sn=lim.，“一，“T8 1 a1 1 a(3)若a=2,令b=a f (a),对任意nN*,都有b)f-l(t),求实数t的取
42、值范围。答案：b=a-f (a)=(2n+2)a*”=(2n+2)-22n+2=(便).2-叫=有.4 1.b为递增数列；.b”中最小的项为bi=2-25=2i(t)2：；.262：；.t61 2设实数q满足数列 a j满足:ai=2,azWO,an u,产-q,求a”表达式，又如果lim S2 o o求q的取值范围。答案：解：；ai az=-q,ai=2,azWO,Q.q#O,a r,n n+2 Hnanrl二 q,H n+1.3=q,3n于 是,&=2,a3=2q,a=2q-猜想:a2n+尸一;q(=1,2,3,)综合，猜想通项公式为2 亦一 12&-1 时(A G N)一；qkn=2左
43、时(A G N)下证：(1)当n=l,2时猜想成立(2)设 n=2kT 时,a2k-i=2 qk 贝(J n=2k+l 时，由于 a2k+i=q,a2k-ia2 k M=2 q即 n=2k-l 成立.可推知n=2k+l也成立.设 n-2k 时,ak_；q)贝 U n-2k+2 时,由于 a2k+2=q,azk,所 以,azk可推知n=2k+2也成立.综合所述，对切自然数n,猜想都成立.这样所求通项公式为2 冰一 1 当 =2k-1 时(A w N)“一 gq如当 =2%时(A N)S2n=(al+a3 a2nT)+(a2+a4+a2n)=2(l+q+q2+,+q n T)-,(q+q2+qn)
44、2_ 2(1-4)1 q(-qn)1-9 4-q-)=(-)(-)-q 2(1-g)1-2由于 q|l,lim=0,故 lim S?n=(1 )(1)一 8 1 q 2依题意知 上 纥 0,|q|l解得-lq0或 0q-2(1-g)51 3 若 Sn和 Tn分别表示数列 和 的前n 项和,对任意正整数an=-2(n+1),Tn-3S=4n.(I)求数列 bn 的通项公式；答案：Va=-2(n+l)Aai=4 d二 一 2Sn=-n2-3n Tn=3Sn+4n=-3n2-5n当 n=l 时，Tkbk 一 3-5二 一 8 当 n22 时，b=T-Tn-i=-6n-2 bn=_6n_2.(H)在平
45、面直角坐标系内，直 线 L 的斜率为b”.且与曲线y二 x2有且仅一个交点，与 y 轴交于 D”，记 d=l D,l+Dtl|-(2+7)求&;.I y =b,.x+in.答案：设I n:y=bnx+m.由不 得一一力/_机=鲍于仅有一个公共点y=x-呼+4/n=0.in=与=一(6：2)=_(3 +1)2 lf t:y=(一6 -2)x (3 +1)2,令 X=0 得y=-(3 n+l)“.二 D n(0,-3 (n+1)2)Dn*i (0,-3,(n+4)，；l)O +l=g(3 +4)2 _(3 +l)2 =6 +5A dn=|DnDn+1|-(2 n+7)=4n-2(I I I)若 x
46、1叶J-+%(n N)求证 lim (x i+x2+x n-n)=l.2 d n+ld”答案=曳若=受/=斫念R E+4-/)/.X l.X 2+，+X n-n=(1-)+(-)+-+(-!-!)=13 3 5 2 -1 2 +12 +1lim(X|+x2+-xn-n)=1 T814某学生在体育训练时弄伤了膝关节，医生给开了一些消炎药，并嘱咐每天早晚8点各服用一片药片，已知该药品每征2 2 0 m g,他的贤脏每次1 2小时从体内滤出这种药的6 0%,如果这种药在体内残留超过3 86m g,将产生副作用。请问：(1)该同学上午8时第一次服药后，到第二天早晨服药后，药在体内还残留多少？答案：设该
47、生第n次服药后，药在体内的残留量为a.m g,由题意得=2 2 0,且 at|=0.4a+2 2 0,nG N*.*a2=3 0 8,a：=3 43.2故到第二天早晨服药后，药在体内还残留3 43.2 m g(2)该同学若长期服用该药，会不会产生副作用？答 案:V an+1=0.4an+2 2 0.1 KX)1 1 0()、,an+i-=-)，a当 是公比为0.4的等比数列,，加 一 詈=(2 2。一 一)x 0.它/.an=(2 2 0-与)x o,4小 臂lim an-8 M n1 6 己知数列 a“中，ai=l,a.i=(an+2)(nWN*),且 aj存在极限。2 an(1)证明：aj
48、时先增后减数列，并求a0的最大值；答案：证明：.ai=l,a2=1(ai+)=1 02 4 7 214 I I 4/.当时册=一(如_+)-2 =2,当且仅当即_=2时取等号.但若存在某一 个 N*2 -1 2 V 味114当 2时有，则由 2)2an-得a n二 产二a n二a 1二2,这与条件矛盾,因此，a n关2对n N*恒成立.，当余22时,a n 2.又n 22时，an-an+l=an-g（册+）=-（22-4）=0,2 an 2 a 2a 2a,.,他生毡 a/ae 2,即 a j是行列增后减数歹！J,（an）m a x=a 2=1.（2）已知圆锥曲线C 的方程为：生 事I+（y+：，+i）=i（“e N*）设l i m C 0=C,求曲线C的方程片；+l f并求曲线C的面积。答案：由上可知，*。扉”,所以圆锥曲线g 为椭圆.由于同 存在极限,所以可设l i m o”=A,则l i m an+=l i m an=A./+1 n 一 8又由 an 0 得 A 0,从而 A=（A 4-）=A=2.即 l i m an=2.2 A AT8由 此 可 得 曲 线C的方程即是n -8时曲线cn的 方 程 为：2 2生 三 十 止4匚=L即为以（2 2）为圆心,2为半径的圆：*-2）2 +（丁-2）2=4,从而圆。的面积为欣2=4 4.22 22