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1、向量的数量积向量的数量积新知探究新知探究问题1前面我们已经学习了向量的加法和减法，请你归纳一下它们的结果有什么共同的特点？向量的加法和减法的运算结果仍是向量新知探究新知探究问题2向量与向量之间有没有“乘法”呢？如果有，这种新的运算结果又是什么呢？还有，向量的加法与减法都能从物理学知识找到“原型”，如力的合成与分解那么，在物理学中有没有关于向量乘法的“原型”呢？请你具体说说向量与向量之间有“乘法”，其运算结果是数如图所示，如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功WFscos，其中是F与s的夹角，注意要满足的条件是0180sFF1F2新知探究新知探究问题3物理学中“求力所做的功”是两
2、个矢量间的某种运算，在数学上，矢量不考虑作用点就是向量，如果是两个向量，你能“定义”这种新的运算吗？思考后完成下表两个矢量F和s两个向量a与bF和s的夹角WFscos ababcos a与b的夹角是新知探究新知探究问题4零向量有没有数量积呢？应该如何定义？有，零向量的数量积是零新知探究新知探究问题5向量夹角与数量积的符号有什么关系？当0 90时，ab0；当90时，ab0；当90180时，ab0；当0时，abab；当180时，abab新知探究新知探究A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D等腰直角三角形又B为ABC的内角，cos B0，B，故A正确2A新知探究新知探究问题7在初中我们学过的投影的定
3、义是什么？一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影新知探究新知探究水平的力在做功，即功还可以理解为力F的水平分力的大小Fcos 与位移的大小s的乘积问题8回到功的物理意义：小物块在力F的作用下在水平方向上运动位移s，如果把力F分解成水平分力和垂直分力，那么哪个力在真正做功呢？问题9再抽去物理意义，bcos 的含义是什么呢？向量b在a方向上的投影新知探究新知探究问题10根据上述分析，你能给出投影向量的定义吗？如图所示，已知两个非零向量a和b，acos称为投影向量r的数量，也称为向量a在向量b方向上的投影数量，BAAbrO可以表示为a a新知探究新知探究问题11
4、向量数量积的几何意义是什么？几何意义是：或a的长度a与b在a方向上投影数量bcos 的乘积a与b的数量积等于b的长度b与a在b方向上的投影数量acos 的乘积新知探究新知探究问题12已知两个非零向量a，b，为a与b的夹角，e为与b 方向相同的单位向量据数量积公式，计算ae，aaae a e cos a cos，aa a a cos 0 a 2新知探究新知探究追问追问1：若ab0，则a与b有什么关系？ab0，a0，b0，cos 0，90，ab追问追问2：当0和180时，数量积ab分别是什么？当0时，ab a b；当180时，ab a b新知探究新知探究问题13你能写出向量数量积的性质吗？u数量积
5、的性质数量积的性质（1）若e是单位向量，则eaaeacos（2）若ab0ab（4）cos （ab0）（5）abab，当且仅当ab时等号成立新知探究新知探究问题14a（bc）（ab）c成立吗？（ab）ca（bc），因为ab，bc是数量积，是实数，不是向量，因此，（ab）ca（bc）在一般情况下不成立所以（ab）c与向量c共线，a（bc）与向量a共线例1如图，已知向量a与b，其中a3，b4，且a与b的夹角是150初步应用初步应用（1）求ab；（2）求向量b在a方向上的投影数量，并画图解释（详解参考教材P102例1的解析）ababOBB1A初步应用初步应用例2已知向量a，b，c，其中a4，b6，且a
6、与c的夹角120，b与c的夹角60，求ab在c方向上的投影数量1（详解参考教材P103例2的解析）例1已知a4，b3，（2a3b）（2ab）43初步应用初步应用（1）求a与b的夹角；（3）若（ab）（ab），求实数的值（2）求ab；解答：解答：（1）（2a3b）（2ab）4a28ab3b2648ab2743，ab6，即abcos 12cos 6，cos ，120，3 例1已知a4，b3，（2a3b）（2ab）43初步应用初步应用（1）求a与b的夹角；（3）若（ab）（ab），求实数的值（2）求ab；（2）ab2（ab）2a22abb21612937，（3）（ab）（ab），（ab）（ab）0，
7、即a2（1）abb2166（1）90，103解得：初步应用初步应用追问追问1：若ab，则ab等于多少？反之成立吗？ab0ab追问追问2：ab与ab的大小关系如何？为什么？abab因为ababcos 由cos 1，可得abab初步应用初步应用追问追问3：对于向量a，b，如何求它们的夹角？求夹角时先求两个向量a，b夹角的余弦值然后根据向量夹角的取值范围求角课堂练习课堂练习练习：练习：教科书第103页练习1，2，3，4归纳小结归纳小结（1）从向量运算角度看，数量积是向量与向量之间的一种运算，数量积运算既有数量关系的表达式，又有明显的几何意义（2）从知识间联系的观点看，数量积的表达式中有向量、向量的模
8、、向量的夹角，这比以前的任何一种运算都丰富（3）从解决问题的角度看，在一定的条件下，可以运用向量的数量积，用代数运算的方法求向量的模的大小、向量的夹角的大小，进而可以解决几何问题中的有关平行、垂直的证明或角度等问题（4）有一句话：如果没有运算，向量只是一“路标”，因为有了运算，向量的力量无限问题15本节课我们学习了平面向量的一种新型运算平面向量的数量积，与前面几种运算相比，请你说说这种运算具有怎样的特点？作业布置作业布置作业：作业：教科书第107页，A组1，2，3，B组1，21目标检测目标检测A已知a1，b2，a与b的夹角为 ，则ab等于（）A1B2C3D43解析：解析：ab12cos 1，故选A32目标检测目标检测D已知a8，b4，120，则向量b在a方向上的投影为（）A4B4C2D2解析：解析：向量b在a方向上的投影为bcos4cos 12023目标检测目标检测2已知两个单位向量a，b的夹角为60，cta（1t）b若bc0，则t_解析：解析：因为bc0，所以bta（1t）b0，即tab（1t）b20，又因为ab1，a，b的夹角为60，所以 t1t0，所以t2124目标检测目标检测ABCD436