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1、6.2.4 6.2.4 向量的数量积向量的数量积学习目标1.通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积.(数学抽象、数学运算)2.通过几何直观,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.(数学运算、直观想象)3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.(数学运算、逻辑推理)思 维 导 图复 习 回 顾问题：问题：我们已经学习了向量的哪些运算？我们已经学习了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？这些运算的结果是什么？向量的加法、减法及数乘运算向量的加法、减法及数乘运算这些这些运算的结果仍是一个向量运算的结果仍是一个向量探 究 新 知 如图，当力F和位移S存在一
2、个夹角时，力对物体所做的功是多少？从求功的运算中，能否抽象出某种数学运算？FS知 识 迁 移问题问题4 4：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？量，其结果又该如何表述？两个向量两个向量的乘积等于向量的大小的乘积等于向量的大小及其夹角余弦的乘积。及其夹角余弦的乘积。功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；类 比知 识 梳 理知识点一 数量积的定义(0)夹角 同向同向反向反向垂直垂直确定a,b的夹角时,起点要重合 2平面向量的数量积已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把数量_
3、叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab_规定：零向量与任一向量的数量积为0.|a|b|cos|a|b|cos 注意：两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算,与实数乘实数、数乘向量的乘法有着本质的区别,书写时一定要注意用ab表示,不能用ab或ab表示.知识点二 向量a在向量b上的投影向量投影投影向量投影向量：向量的数量积的运算结果与线性运算的结果有什么 不同？【提示】数量积的运算结果是实数，线性运算的运算性运算的运算结果是向量果是向量知识点三 平面向量数量积的性质|a|cos ab0知识点四 平面向量数量积的运算律交换律ab=ba数乘的结合律(a)b=(ab)=a(b)分配律(a+
4、b)c=ac+bc注意：(1)向量数量积的运算不适合约分,即ab=ac b=c.(2)向量数量积运算也不适合结合律,即(ab)c不一定等于a(bc),这是由于(ab)c表示一个与c共线的向量,而a(bc)表示一个与a共线的向量.题 型 探 究求平面向量的数量积求平面向量的数量积角度1数量积的简单计算例1.已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为120,求:(1)ab;(2)a2-b2;(3)(2a-b)(a+3b).分析依据向量的数量积、模、夹角的定义逐一进行计算即可.(2)a2-b2=|a|2-|b|2=4-9=-5.(3)(2a-b)(a+3b)=2a2+5ab-3b2=2|a|2+5|
5、a|b|cos 120-3|b|2=8-15-27=-34.角度2几何图形中向量数量积的计算 分析利用平行及EA=EB,求出EB=EA=2,将 转化为已知的边、角求解.答案-1 解析ADBC,且DAB=30,ABE=30.EA=EB,EAB=30,AEB=120.在AEB中,EA=EB=2,求向量的投影向量求向量的投影向量例3.如图,在ABC中,AB=AC=4,BAC=90,D是边BC的中点,求:解如图,连接AD,因为AB=AC=4,BAC=90,所以ABC是等腰直角三角形.又D是BC边的中点,所以ADBC,ABD=45,向量模的相关问题向量模的相关问题角度1利用数量积求向量的模例4 (1)已
6、知向量a,b满足|a|=|b|=5,且a与b的夹角为60,则|2a+b|=.角度2与模有关的最值问题例5.(1)若平面向量a,b,c满足:|a|=|c|=1,|b|=2,且c(a-b)=0,则|b-c|的取值范围是()答案(1)B(2)A 利用数量积解决向量的夹角与垂直问题利用数量积解决向量的夹角与垂直问题例6.(1)若非零向量a,b满足|a|=|b|,且(2a+b)b,则a与b的夹角为()A.30 B.60 C.120D.150(2)已知非零向量a,b满足|a|=|b|=|a+b|,求a与a+b的夹角及a与a-b的夹角.分析(1)将已知条件展开变形后利用数量积的定义求解.(2)可采用数形结合
7、的方法构造平面图形求解.(1)答案C 答案B 课 堂 练 习2.若|a|=4,|b|=2,a和b的夹角为30,设与b方向相同的单位向量为e,则a在b上的投影向量为()答案C 解析a在b上的投影向量为|a|cos 30e=4cos 30e=2 e,故选C.3.已知|a|=10,|b|=12,且(3a)=-36,则a与b的夹角为()A.60 B.120 C.135D.150答案B 4.若向量a与b的夹角为60,|b|=4,(a+2b)(a-3b)=-72,则|a|=()A.2B.4C.6D.12答案C解析因为(a+2b)(a-3b)=-72,所以a2-ab-6b2=-72,即|a|2-|a|b|c
8、os 60-6|b|2=-72,所以|a|2-2|a|-24=0.又|a|0,故|a|=6.5.已知两个单位向量a,b的夹角为60,若(2a+b)(a+b),则=.解析(2a+b)(a+b),(2a+b)(a+b)=0,2a2+2ab+ab+b2=0.|a|=|b|=1,且a与b的夹角为60,答案22 课 堂 小 结向量a与b的数量积的含义是什么？向量的数量积具有哪些运算性质？ab=|a|b|cos，其中为向量a与b的夹角设a，b是非零向量，它们的夹角是，e是与b方向相同的单位向量,则(1)ae=ea=|a|cos(2)ab ab=0(3)当a与b同向时，ab=|a|b|；当a与b反向时，ab=-|a|b|特别地，aa=|a|2或|a|=(4)|ab|a|b|（由|cos|1得到）